根与系数之间关系应用一.doc

2013根与系数关系应用一填空题（共30小题）1（2012泸州）设x1，x2是一元二次方程x23x1=0的两个实数根，则x12+x22+4x1x2的值为_2（2012鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2+5x3=0的两个实根，且，则a=_3（2011苏州）已知a、b是一元二次方程x22x1=0的两个实数根，则代数式（ab）（a+b2）+ab的值等于_4（2011德州）若x1，x2是方程x2+x1=0的两个根，则x12+x22=_5（2010雅安）已知一元二次方程x2mx+m2=0的两个实数根为x1、x2，且x1x2（x1+x2）=3，则m的值是_6（2010芜湖）已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=_7（2010成都）设x1，x2是一元二次方程x23x2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为 _8（2009天津）若分式的值为0，则x的值等于_9（2008鄂州）已知，为方程x2+4x+2=0的二实根，则3+14+50=_10（2007芜湖）已知2是一元二次方程x24x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_11（2007宿迁）设x1，x2是方程x（x1）+3（x1）=0的两根，则|x1x2|=_12（2006株洲）已知a、b是关于x的方程x2（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是_13（2006日照）已知，关于x的方程x2+=1，那么x+1的值为_14（2006南充）如果、是一元二次方程x2+3x1=0的两个根，那么2+2的值是_15（2001甘肃）如果二次三项式3x24x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是_16（2001东城区）若2x25x+5=0，则2x25x1的值为_17（2000辽宁）已知，是方程x2+2x5=0的两个实数根，则2+2的值为_18（1999温州）若m、n是关于x的方程x2+（p2）x+1=0的两实根，则代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值等于_19（1999福州）已知m、n是一元二次方程x23x+1=0的两根，那么代数式2m2+4n26n+1999的值=_20（2013南通二模）设m，n是方程x2x2012=0的两个实数根，则m2+n的值为_21（2013昆山市一模）如果、是一元二次方程x2+3x2=0的两个根，则2+2的值是_22（2013海门市二模）已知，为方程x2+4x+2=0的两实根，则24+5=_23（2012思明区质检）已知m2=m+1，4n2=2n+1，若m2n，则m+2n=_24（2012启东市模拟）已知a，b为一元二次方程x2+2x9=0的两个根，那么a2+ab的值为_25（2012梁子湖区模拟）将代数式x2+4x1化成（x+p）2+q的形式为_26（2012锦江区一模）已知m、n是方程x22010x+2011=0的两根，则（n22011n+2012）与（m22011m+2012）的积是_27（2012汉川市模拟）如果，是一元二次方程x2+4x1=0的两个根，则2+3的值是_28（2012房山区二模）把代数式m2+4m1化为（m+a）2+b的形式，其中a、b为常数，则a+b=_29（2011郑州模拟）若P=a2，Q=a2+3a（a为实数），则P、Q的大小关系为 _30（2011宜兴市模拟）已知a+b=4m+2，ab=1，若19a2+149ab+19b2的值为2011，则m=_2013年10月薛淼的初中数学组卷参考答案与试题解析一填空题（共30小题）1（2012泸州）设x1，x2是一元二次方程x23x1=0的两个实数根，则x12+x22+4x1x2的值为7考点：根与系数的关系4217802分析：根据根与系数的关系得出x1+x2=3，x1x2=1，把x12+x22+4x1x2化成+2x1x2代入求出即可解答：解：x1，x2是一元二次方程x23x1=0的两个实数根，x1+x2=3，x1x2=1，则x12+x22+4x1x2=+2x1x2=32+2（1）=7故答案为：7点评：本题考查了根与系数的关系的应用，关键是把所求的代数式化成含有x1+x2和x1x2的形式，题目比较好，难度适中2（2012鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2+5x3=0的两个实根，且，则a=10考点：根与系数的关系4217802专题：计算题分析：利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将已知的等式整理后，把求出的两根之和与两根之积代入列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值解答：解：x1、x2是一元二次方程x2+5x3=0的两个实根，x1+x2=5，x1x2=3，x22+5x2=3，又2x1（x22+6x23）+a=2x1（x22+5x2+x23）+a=2x1（3+x23）+a=2x1x2+a=4，6+a=4，解得：a=10故答案为：10点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b24ac0时，方程没有实数根3（2011苏州）已知a、b是一元二次方程x22x1=0的两个实数根，则代数式（ab）（a+b2）+ab的值等于1考点：根与系数的关系4217802专题：计算题分析：欲求（ab）（a+b2）+ab的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可解答：解：a、b是一元二次方程x22x1=0的两个实数根，ab=1，a+b=2，（ab）（a+b2）+ab=（ab）（22）+ab，=0+ab，=1，故答案为：1点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法4（2011德州）若x1，x2是方程x2+x1=0的两个根，则x12+x22=3考点：根与系数的关系4217802专题：计算题分析：先根据根与系数的关系求出x1+x2和x1x2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把x1+x2和x1x2的值整体代入计算即可解答：解：x1，x2是方程x2+x1=0的两个根，x1+x2=1，x1x2=1，x12+x22=（x1+x2）22x1x2=（1）22（1）=1+2=3故答案是：3点评：本题考查了根与系数的关系、完全平方公式解题的关键是先求出x1+x2和x1x2的值5（2010雅安）已知一元二次方程x2mx+m2=0的两个实数根为x1、x2，且x1x2（x1+x2）=3，则m的值是3或1考点：根与系数的关系4217802专题：计算题分析：由一元二次方程x2mx+m2=0的两个实数根为x1、x2，利用根的判别式得出m为任意实数时，方程都有解，故再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知的等式x1x2（x1+x2）=3中，得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值解答：解：一元二次方程x2mx+m2=0的两个实数根为x1、x2，b24ac=m24（m2）=m24m+4+4=（m2）2+440，m取任意实数，方程都有解，x1+x2=m，x1x2=m2，代入x1x2（x1+x2）=3得：m（m2）=3，整理得：m22m3=0，即（m3）（m+1）=0，解得：m1=3，m2=1，则m的值为3或1故答案为：3或1点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解法，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b24ac0时，方程有解，设方程的解为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=6（2010芜湖）已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=1考点：根与系数的关系；一元二次方程的解4217802分析：由于x1、x2是方程的两根，根据根与系数的关系可得到两根之和的值，根据方程解的定义可得到x12、x1的关系，根据上面得到的条件，对所求的代数式进行有针对性的拆分和化简，然后再代值计算解答：解：x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，x12=3x11，x1+x2=3；x13+8x2+20=（3x11）x1+8x2+20=3x12x1+8x2+20=3（3x11）x1+8x2+20=9x1x1+8x2+23=8（x1+x2）+23=24+23=1故x13+8x2+20=1点评：此题是典型的代数求值问题，涉及到根与系数的关系以及方程解的定义在解此类题时，如果所求代数式无法化简，应该从已知入手看能得到什么条件，然后根据得到的条件对所求代数式进行有针对性的化简和变形7（2010成都）设x1，x2是一元二次方程x23x2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为 7考点：根与系数的关系4217802分析：根据根与系数的关系，可求出x1+x2以及x1x2的值，然后根据x12+3x1x2+x22=（x1+x2）2+x1x2进一步代值求解解答：解：由题意，得：x1+x2=3，x1x2=2；原式=（x1+x2）2+x1x2=92=7点评：熟记一元二次方程根与系数的关系是解答此类题的关键8（2009天津）若分式的值为0，则x的值等于2考点：分式的值为零的条件；解一元二次方程-因式分解法4217802专题：计算题分析：要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0解答：解：由x2x2=0x=2或x=1当x=2时，分母x2+2x+1=90，分式的值为0；当x=1时，分母x2+2x+1=0，分式没有意义所以x=2点评：由于该类型的题易忽略分母不为0这个条件，所以常以这个知识点来命题9（2008鄂州）已知，为方程x2+4x+2=0的二实根，则3+14+50=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解4217802专题：压轴题分析：由于，为方程x2+4x+2=0的二实根，根据根与系数的关系和方程的解的意义知，+=4，2+4+2=0，3=422=4（42）2=14+8，代入3+14+50中，即可求解解答：解：、是x2+4x+2=0的二实根+=42+4+2=02=423=422=a（42）2=14+83+14+50=14+8+14+50=14（+）+58=14（4）+58=56+58=2故本题答案为：2点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系根与系数的关系为：x1+x2=，x1x2=10（2007芜湖）已知2是一元二次方程x24x+c=0的一个根，则方程的另一个根是考点：根与系数的关系4217802分析：由于已知方程的一根2，并且一次项系数也已知，根据两根之和公式可以求出方程的另一根解答：解：设方程的另一根为x1，由x1+2=4，得x1=2+点评：根据方程中各系数的已知情况，合理选择根与系数的关系式是解决此类题目的关键11（2007宿迁）设x1，x2是方程x（x1）+3（x1）=0的两根，则|x1x2|=4考点：解一元二次方程-因式分解法4217802分析：x（x1）+3（x1）=0，整理可得（x1）（x+3）=0，解得x1=1，x2=3，然后就可以求出所求代数式的值解答：解：x（x1）+3（x1）=0，整理可得（x1）（x+3）=0，解得x1=1，x2=3，所以|x1x2|=4故填空答案为4点评：本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0的求解，当方程的左边有公因式时，利用因式分解法解一元二次方程可以使计算简便12（2006株洲）已知a、b是关于x的方程x2（2k+1）x+k（k+1）=0的两个实数根，则a2+b2的最小值是考点：根与系数的关系4217802专题：压轴题；配方法分析：根据a2+b2=（a+b）22ab=（2k+1）22k（k+1），根据一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，代入即可得到关于k的代数式，转化为求代数式的最小值问题解答：解：由题意知，a+b=2k+1，ab=k（k+1）a2+b2=（a+b）22ab=（2k+1）22k（k+1）=4k2+4k+12k22k=2k2+2k+1=2（k+）2+，a2+b2的最小值是点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法13（2006日照）已知，关于x的方程x2+=1，那么x+1的值为2考点：换元法解一元二次方程；解一元二次方程-配方法4217802专题：整体思想分析：先将方程变形，再将x+1看作一个整体来解解答：解：原方程可化为x2+（）2+2x+2（x+）+1=2+2x（x+1）2=4x+1=2或x+1=2（舍去）故答案为：2点评：本题两次运用配方法，将x+1看作一个整体来解，会很简单，若试图直接解出x的值，比较难，同学们可以自己试一下14（2006南充）如果、是一元二次方程x2+3x1=0的两个根，那么2+2的值是4考点：根与系数的关系；一元二次方程的解4217802专题：转化思想分析：根据2+2=2+3=2+3（+），利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得两根之积或两根之和，再根据方程的解的定义可得2+3=1，代入求值即可解答：解：，是方程x2+3x1=0的两个实数根，+=3，2+31=0即2+3=1，又2+2=2+3=2+3（+），将+=3，2+3=1代入得，2+2=2+3（+）=1+3=4故填空答案：4点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法15（2001甘肃）如果二次三项式3x24x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，则k的取值范围是k考点：根的判别式4217802分析：如果二次三项式3x24x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积，那么方程3x24x+2k=0有实数根，由此得到=b24ac0，从而得到关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围解答：解：a=3，b=4，c=2k，=b24ac=（4）2432k=1624k0，解得k故填空答案：k点评：如果二次三项式3x24x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的乘积的形式，那么方程3x24x+2k=0有实数根，即=b24ac016（2001东城区）若2x25x+5=0，则2x25x1的值为2或0考点：解一元二次方程-因式分解法；换元法解分式方程4217802专题：压轴题；换元法分析：本题可运用换元法，令y=2x25x+1，则2x25x=y1，代入方程，即可转化为一个关于y的方程，解求解解答：解：令y=2x25x+1，则原式可变形为：y1+5=0去分母得：y2y+85y=0即y26y+8=0y=2或4经检验y=2或4都是方程的解则2x25x1=2x25x+12=y2则2x25x1的值为2或0点评：本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法本题运用的是因式分解法和换元法的结合17（2000辽宁）已知，是方程x2+2x5=0的两个实数根，则2+2的值为0考点：根与系数的关系4217802专题：压轴题分析：欲求2+2=（+）+2的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可解答：解：，是方程x2+2x5=0的两个实数根，+=2，又2+2=（+）+2，2+2=2+2=0故填空答案：0点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法18（1999温州）若m、n是关于x的方程x2+（p2）x+1=0的两实根，则代数式（m2+mp+1）（n2+np+1）的值等于4考点：根与系数的关系；一元二次方程的解4217802专题：压轴题分析：将m、n分别代入方程中，可求得m2+mp+1及n2+np+1的表达式，然后再代值求解解答：解：m、n是关于x的方程x2+（p2）x+1=0的两实根，m2+（p2）m+1=0，即m2+mp+1=2m；n2+（p2）n+1=0，即n2+np+1=2n；（m2+mp+1）（n2+np+1）=2m2n=4mn；由根与系数的关系，易知：mn=1；故原式=4mn=4点评：能够发现所求代数式与原方程的关系是解答此题的关键19（1999福州）已知m、n是一元二次方程x23x+1=0的两根，那么代数式2m2+4n26n+1999的值=2011考点：根与系数的关系；一元二次方程的解4217802专题：压轴题分析：根据方程的根的定义，把x=m，x=n分别代入方程，等式成立，然后将已知式子变形降次，结合根与系数的关系，得出结果解答：解：m、n是一元二次方程x23x+1=0的两根，m23m+1=0，n23n+1=0，m+n=3，m2=3m1，n2=3n1，2m2+4n26n+1999=2（3m1）+4（3n1）6n+1999=6m2+12n46n+1999=6（m+n）+1993=63+1993=2011点评：此题主要考查了方程的根的定义及根与系数的关系，将它们与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法20（2013南通二模）设m，n是方程x2x2012=0的两个实数根，则m2+n的值为2013考点：根与系数的关系；一元二次方程的解4217802分析：利用一元二次方程解的定义，将x=m代入已知方程求得m2=m+2012；然后根据根与系数的关系知m+n=1；最后将m2、m+n的值代入所求的代数式求值即可解答：解：m，n是方程x2x2012=0的两个实数根，m2m2012=0，即m2=m+2012；m+n=1，m2+n=m+n+2012=1+2012=2013；故答案为：2013点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键21（2013昆山市一模）如果、是一元二次方程x2+3x2=0的两个根，则2+2的值是5考点：根与系数的关系；一元二次方程的解4217802专题：计算题分析：由、是一元二次方程x2+3x2=0的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，且将x=代入方程得到关于的等式，将所求式子变形后，把两根之和与关于的式子整理后代入，即可求出值解答：解：、是一元二次方程x2+3x2=0的两个根，+=3，=2，且2+32=0，即2+3=2，则2+2=2+3=2+3（+）=2（3）=5故答案为：5点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b24ac0时，方程有解，分别设为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=22（2013海门市二模）已知，为方程x2+4x+2=0的两实根，则24+5=19考点：根与系数的关系；一元二次方程的解4217802分析：利用一元二次方程解的定义，将x=代入已知方程求得2=42，然后根据根与系数的关系知+=4，最后将2、+的值代入所求的代数式求值即可解答：解：，为方程x2+4x+2=0的两实根，2+4+2=0，2=42，+=4，24+5=424+5=4（+）+3=4（4）+3=19；故答案为：19点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解，根据韦达定理求出+的值和正确理解一元二次方程的解的定义是解题的关键23（2012思明区质检）已知m2=m+1，4n2=2n+1，若m2n，则m+2n=1考点：根与系数的关系4217802专题：计算题分析：由已知的两等式的特点，得到m与2n为方程x2x1=0的解的两根，利用根与系数的关系求出两根之和，即为m+2n的值解答：解：由m2=m+1，4n2=2n+1，得到m与2n为方程x2x1=0的解，则m+2n=1故答案为：1点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0），当b24ac0时，方程有解，设方程两解分别为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=24（2012启东市模拟）已知a，b为一元二次方程x2+2x9=0的两个根，那么a2+ab的值为11考点：根与系数的关系；一元二次方程的解4217802分析：根据题意，解方程x2+2x9=0，解得a和b的值，然后代入求值即可解答：解：解方程：x2+2x9=0得：ab=9，a+b=2，b=2a，把代入得：a2+2a9=0a1=，a2=，b1=，b2=，当a1=，b1=时，a2+ab=（）2+（）（）=11当a2=，b2=，a2+ab=（）2+（）（）=11故答案为11点评：本题主要考查根与系数的关系，解一元二次方程，关键在于通过解方程求出a和b的值25（2012梁子湖区模拟）将代数式x2+4x1化成（x+p）2+q的形式为（x+2）25考点：配方法的应用4217802分析：此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算解答：解：x2+4x1=x2+4x+441=（x+2）25故答案为：（x+2）25点评：此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤注意在变形的过程中不要改变式子的值26（2012锦江区一模）已知m、n是方程x22010x+2011=0的两根，则（n22011n+2012）与（m22011m+2012）的积是2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解4217802分析：由m、n是方程x22010x+2011=0的两根，根据方程根的定义与一元二次方程根与系数的关系，即可得n22010n+2011=0，m22010m+2011=0，m+n=2010，mn=2011，又由（n22011n+2012）（m22011m+2012）=（n22010n+2011+1n）（m22010m+2011+1m），即可求得答案解答：解：m、n是方程x22010x+2011=0的两根，n22010n+2011=0，m22010m+2011=0，m+n=2010，mn=2011，（n22011n+2012）（m22011m+2012）=（n22010n+2011+1n）（m22010m+2011+1m）=（1n）（1m）=1（m+n）+mn=12010+2011=2故答案为：2点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程解的定义此题难度适中，注意将（n22011n+2012）（m22011m+2012）变形为（n22010n+2011+1n）（m22010m+2011+1m）是解此题的关键27（2012汉川市模拟）如果，是一元二次方程x2+4x1=0的两个根，则2+3的值是5考点：根与系数的关系；一元二次方程的解4217802专题：计算题分析：根据根与系数的关系得到+=4，再根据一元二次方程的解的意义得到2+41=0，即2+3=1，则2+3=