解析几何坐标系变换.ppt

定义 设 ， 令 称矩阵 为矩阵 与 矩阵的乘积，记为 。,方法如下：,矩阵的乘法,记为,例如,不存在.,主对角元全为1而其他元素全为零的n阶方阵称为n阶单位矩阵，记为 或 ,即,定义,称为单位矩阵（或单位阵）.,，,一. 仿射坐标系,定义:空间中一点O与三个不共面向量 e1,e2,e3 一起构成空间的一个仿射标架,记O, e1,e2,e3. 称e1,e2,e3为它的坐标向量. O称为它的原点. 对于空间任意一点A, 把向量OA(称为A的定位向量)对e1,e2,e3 的分解系数构成的有序数组称为点A关于上述仿射标架的仿射坐标.,仿射坐标系O; e1, e2, e3.,任意点P, 存在唯一的有序数组,(a, b, c)使得OP= ae1 + be2 + ce3.,坐标原点,点P的定位向量,坐标向量或基,P的坐标,在不同的坐标系下，同一个点的坐标是不同的，从而图形的方程也是不同的。 问题1：对于给定的图形，怎样选坐标系？使得它的方程最简单。 问题2：在不同的坐标系下，同一图形的不同方程之间有什么关系？,设在空间中我们取定两个仿射坐标系，它们的标架分别为 和,M,设 在 中的坐标依次为,用矩阵表示为,矩阵,称为从坐标系 到 的过渡矩阵，它是以 在 中的坐标为各个列向量的三阶矩阵。,设向量 在 和 中的坐标分别为,它们与 和 之间的位置关系有直接相关的。,于是由坐标的定义，,这说明 在 中的坐标为,用矩阵表示为：,向量的坐标变换公式：,下面讨论点的坐标变换公式。设点M在 和 中的坐标分别为 ，它们分别是向量 在 中的坐标和向量 在 中的坐标。 由公式得 在 中的坐标为,由于 ，如果设点 在 中的坐标为 ，则,这就是点的坐标变换公式的矩阵形式。点的坐标变换公式的一般形式为,曲面的方程的变换公式。 设S是一张曲面，它在 中的一般方程为 求它在 中的一般方程。 对于点M，如果它在 中的坐标为 ，则在 中的坐标为,因此点M在S上充要条件为：,把上式左端的函数式记作 则 是S在 中的一般方程，称它为由S在 中的方程 经过坐标变换化为S在 中的方程。,过渡矩阵的性质,因为 中的坐标向量 是不共面的，所以过渡矩阵的行列式 ，即 是满秩矩阵。,命题 设有三个仿射坐标系 。 到 的过渡矩阵为 ， 到 的过渡矩阵为 ，则 到 的过渡矩阵为,直角坐标变换的过渡矩阵，正交矩阵,设 和 是空间中的两个直角坐标系， 到 的过渡矩阵为,因为 是直角坐标系，C的各个列向量依次是 在 中的坐标，所以它们之间的内积为,又 是直角坐标系，所以,于是,实方矩阵 ，满足 ，则称 为正交矩阵。,命题 两个直角坐标系之间的过渡矩阵是正交矩阵。,对于平面上两个直角坐标系，它们的过渡矩阵是正交矩阵。则它是二阶正交矩阵，设为,则,于是,于是二阶正交矩阵只有下面两种形式：,平面直角坐标变换公式,一个是旋转, 一个是旋转加反射.,现考虑在一个右手直角坐标系中，一个二次方程,做法是通过转轴和移轴，寻找一个新的右手直角坐标系，使得方程最简，从而看出其几何形状。,下面用转轴消去交叉项。,新方程的二次项部分由原方程的二次项部分得,