数学教学中的人文建构主义.docVIP

人 文 建 构 主 义 教 学 实 践1.1 数 学 意 义 的 建 构 人文建构主义认为，知识是在原有的认知结构的基础上，在一定的知识背景和恰当的人文情境下，通过人文协作、交流，建立起新的、更加高级的认知结构的过程。它不是一个孤立的、独立于人脑之外的和固定不变的所谓“真理”，而是随着人的认识过程不断变化、升级（我认为类似于电脑的自动升级）的一个过程。在这个过程中，其中的程序化、结构化、模式化的“精华”部分被保留，并在日后的学习中被优化，而陈述性的辅助部分被淡化。下面我举一个例子，就是初中就早己学过的一元二次方程根的判别式，当时，我们只要求学生记住一元二次方程各项系数，并会计算出正确结果。但随着学习的不断深入，我们关于它的建构体系在不断的升级和变化中。例1己知a、b、c均为实数，且满足等式：，试确定系数a、b、c三者之间的关系 。这样的一道题曾是竞赛题，学生初接触不会立即有恰当的思路，我们先作如下变形：分析:将其变形为作者：这样变形后的目的是什么？（学生并不能往判别式想，因为在他们看来，得先有方程）作者：方程何时有实根呢？学生L：当然是作者：那么方程与上述有根的方程有什么关系呢？学生C：是它的一个根。 （至此，学生才有所顿悟） 如果说上述的例子是由于初中的思维定势的话，那么下面的问题又给我们一个什么启示呢？例2己知抛物线，它的顶点在抛物线上任意移动，求所扫过的区域。解：设动抛物线的顶点坐标为（，），则动抛物线的方程为：即：因为为一切实数，所以即：，这就是所求的区域。 这个例子告诉我们，在构造 一元二次方程的过程中，若未知数作为实数一定存在的话，则这个一元二次方程的根的判别式一定是非负数。这种方法也常常被用来求形如：（d、e、f不全为0，且）的函数的值域。请看题三。例3证明：证明：设 因为的根的判别式，所以分母可为一切实数。式去分母并整理得：由y1时，由x为实数可知， 解得：。由于y=1时x=0在定义域内，所以命题成立。 在以上的例子中，虽然，给出的数学问题多种多样，但建构意义的核心是一致的，那就是设法转化为一元二次方程根的判别式的问题。1.2 数学模式识别在数学问题的解决过程中，如何通过己有的意义建构来对面临的新问题进行模式识别，是学生在学习过程中进行信息转移的关键所在。在高中数学学习过程中，相关模式多种多样，如果能够在大量的题目中，能够准确地进行模式识别，并采取相应的对策，那么就会节省大量的时间，这也是学生学力的一个表现。下面我对三角函数中形如：的问题的模式举几个例子，以便对这个问题有所理解。例1己知函数，求这个函数的最大和最小值。这个问题的解法很多，可以转化为单位圆与直线的关系来解决，也可以化为半角再用判别式法，但简单易行的方法还是化为上述的的形式更加快捷。解：把己知的式子变形整理 即： （其中，）即：由正弦函数的有界性有：，解得：。例2己知：对于圆上任意一点P（x，y）不等式恒成立，求实数m的取值范围。解：把。化为参数方程：x=cos且y-1=sin，其中是的角。由恒成立，得：恒成立。 即：m 此题表面上看，先分离常数，再化为最值问题是其一般解决方法，但如果了解，三角化后有形如上述所说的建构模式的话，都可以用正弦或余弦的有界性来处理。例三使关于不等式有解的实数k的最大值是什么？分析：这个题用其它的方法都不是很顺手，如果我们注意到左式中两个根号的平方和为常数的话，就可以化：的形式。解：由于与的平方和为3，因此，我们对己知的不等式两边同时除以。得： 设，其中是0，的角。则原式可化为： 即有： （为时取到等号） 因此，符合条件的k值是。 这个例子告诉我们，平方和为常数的两个式子都有可能用正余弦的三角变换，当然，这种问题一定要注意到最后函数的定义域，也即是否可以取到最值。1.3 关于解题策略解题策略不同于一般的解题方法，有时它是一种具体的模式，而有时它又是一种哲学式的指导原则。如：正难则反；一般化和特殊化；问题的严谨性和完备性的统一；关系反映原则等等。在学习的过程中，策略的运用是否娴熟和恰当，也是学者学力强弱的一个表现，是拒绝题海战术的一条重要途径。 下面我举一些证明不等式的一些例子，以试图说明运用策略的一些途径。例1设都是正整数，证明对任意正整数n，不等式均成立。分析；本题乍看上去自然想到数学归纳法，当然可以解决，但由于式子涉及到二次型，由此联想到一元二次方程根的判别式，从而构造一个相关的二次函数，处理起来就很方便。证明：由题意，构造二次函数 : 又由于 f（x）的二次项系数为正数，因而，对应的一元二次方程的根的判别式：，即有原不等式对一切正整数n均成立。本题还可以用其它的方法，但都没有用构造法这么简捷流畅。例2己知a、b、c为三角形的三边，且有，n是大于2的正整数，求证：。分析：本题 有两个较好的策略，一个是两边除以，用函数的单调性来解决；另一个是作三角变换。解：由a、b、c均为正数，且 ，得：，作三角变换：， ,由于时， 。例3x为实数，证明：。分析；左式变形为：则u可以看成是动点（P在抛物线上运动）与定点A（3，2）及B（0，1）的距离之差，即。 由三角形的两边之差小于第三边，有，显然，当P为AB的延长线与抛物线的交点时，y取到最大值。 说明：将距离的和或差结合几何图形进行合理转化，是我们在求解值域以及最值问题中常常使用的策略。例4求证：分析：这个问题的解法也是很多的，如果采用规化的思想，过程是很简捷的。首先，把原式的中间部分视为：，若设：x=cos，y=sin，则问题可以转化为直线与单位圆是否相交。易知，两个极端的位置的斜率正好是，则原不等式成立。例5求证：。分析：如果没有较好的解题策略，对于这种题我们是很无奈的。由的结构 特点，我们联想到什么呢？设y=（y0），可知其图像是椭圆的上半部分。又设，因为m为直线在y轴上的截距，于是问题转化为过椭圆上半部分的点且斜率为2的直线在y轴上截距的最值。显然当直线过点（，0）时，m有最小值-；当直线与椭圆的上半部分相切时，m有最大值。联立与解得： 令其根的判别式为零，解得m的值为 。构造恰当的圆锥曲线模型，结合平面规化的思想，常常是解决这类问题的利器。例6己知锐角满足求证：。分析：由己知的三角式，我们联想到什么内容呢？这与长方体的体对角线与其各棱的夹角的关系很像。因此，我们构造一个长方体，使其三条棱的长为a、b、c，体对角线与其共顶点的三条棱的夹角分别为，于是有： （当且仅当长方体为正方体时等号成立）。 在许多看来较复杂，但是却具有“美感”的式子，如轮换对称等特征的，大多与几何模式相联系，我们可以把它转换为几何图形，然后利用几何图形的对称性直观地解决它。 例7设任意实数x、y，满足求证：。分析：这道题的证明，由于涉及x，y，两个变量，有一定的难度，如果我们用正余割的变换，也很难得到所要求的结果。考虑所给条件的特征，则有：。我们可以采用无穷递缩等比数列的和式展开。= = = 从这道题的解证过程，我们体会到：思维定势有时会给我们产生干扰。解数学题时，只要策略得当，就会带来巧妙简捷的效果。例8己知：a、b为实数，且，求证 ：分析：策略之一：把左式看成，由柯西不等式，问题立即得证。 策略之二：由求证的左式想到两个向量的数量积，故设则：而由即可得证。本题虽然从不同的角度去考虑问题，但证明的过程却基本一致，而向量的方法更具有常规性，而且从另一角度表明，数学问题的解决虽然策略各异，但却能殊途同归。例9己知实数a，b，c，满足条件：求证：。分析：本题 由条件可能想到正多边形、三角函数等。