功率谱密度曲线的解析表达式.doc

功率谱密度曲线的解析表达式陈庚超（中国电子科技集团公司第39研究所 西安710065）摘要 本文主要论述了在用有限单元法对结构进行随机振动分析时传统功率谱密度值计算方法的缺点，用分段函数给出了功率谱密度曲线的标准解析表达式和近似解析表达式，使得功率谱密度值的计算简单易行。关键词 功率谱 随机振动 解析表达式The Analytic Expression of the Power Spectrum Density（PSD）Curve.Chen Gengchao(The North West China Research Institute of Electronic Equipment. Xian,710065,China) Abstract This paper mainly discusses the defects of the traditional PSD value calculating method when analyzing the structures random vibration by FEA method. Put forward the standard analytic expression of the PSD curve and the approximate analytic expression by segmental function. This makes the PSD value calculation simply and easily.Keywords power spectrum random vibration analytic expression 1 引言在对结构做随机振动试验或用有限元软件对结构做随机振动分析时，施加在结构上的随机激励载荷条件（即功率谱密度曲线）通常是用不同频率范围内单位倍频程所对应的分贝数来表达的。典型的随机激励载荷的表达形式如表1所示（g为重力加速度），其在对数坐标系下功率谱密度值随频率变化的曲线如图1所示。表1：典型随机激励载荷条件图1：典型随机激励载荷的功率谱密度曲线频率（Hz)谱值随机激励10200 Hz+6dB/oct2001500 Hz0.12g2/Hz15002000 Hz-12dB/oct总均方根加速度14.4g用有限元软件对结构做随机振动分析时，需要以表格的形式按离散点给出不同频率所对应的功率谱密度值来拟合出相应的功谱密度曲线。用传统的方法来计算不同频率所对应的功率谱密度值，比较繁琐，效率很低。为此，我们用分段函数给出了功率谱密度曲线的标准解析表达式和方便计算的近似解析表达式，使得功率谱密度值的计算简单易行。2 传统功率谱密度值的计算方法假设频率对应的功率谱密度值为，频率对应的功率谱密度值为，用来表示对的倍频程数，则有关系式： 式（1）用表示单位倍频程使功率谱密度值增加的分贝数，相当于对数功率谱密度曲线中直线段的斜率，对应表1中的“+6”或“-12”，则有关系式： 式（2）如果知道某频率对应的功率谱密度值，则可由式（1）和式（2）可得到频率对应的功率谱密度值。如果知道某频率对应的功率谱密度值，则可由式（1）和式（2）可得到频率对应的功率谱密度值。以表1所给的载荷条件为例。已知200Hz时的功率谱密度值为0.12g2，求10Hz时的功率谱密度值。由式（1）可得200Hz对10Hz的倍频程数为：，由式（2）则有，可得到10Hz时的功率谱密度值为0.0294。表2：通用随机激励载荷条件已知1500Hz时的功率谱密度值为0.12g2，求2000Hz时的功率谱密度值。由式（1）可得2000Hz对1500Hz的倍频程数为：，由式（2）则有，可得到2000Hz时的功率谱密度值为3.661。用此方法可求出各所需频率点的功率谱密度值。随机激励 HzdB/oct Hzg2/HzHzdB/oct总均方根加速度g3 功率谱密度曲线的解析表达式假设通用的随机激励载荷条件以表2的形式给出。通过分析频率和功率谱密度值的关系，对表2给出的载荷条件，我们用分段函数给出的功率谱密度曲线的表达式如下： Hz 式（3） 为常值 Hz 式（4） Hz 式（5）把频率、和它们所对应的功率谱密度值分别代人式（3）和式（5），可确定常数A和B。 式（6） 式（7）对表1所给载荷条件，=6、=0.12、=-12、=200、=1500，由式（6）和式（7）可得到,。则用分段函数给出的功率谱密度曲线的表达式如下： Hz 式（8） 为常值 Hz 式（9） Hz 式（10）由式（8）和式（10）可得到10 Hz和2000Hz时的功率谱密度值分别为0.0294和3.661，与传统计算方法得到的值相同。这也验证了解析表达式的正确性。4 功率谱密度曲线的近似解析表达式在式（3）中，假设常数为3的整数倍，即（为正或负的整数）。由于，所以式（3）可近似表达为：。 同理，在式（5）中，如果常数为3的整数倍，即（为正或负的整数）。则式（5）可近似表达为：。故对表2给出的载荷条件，当常数和为3的整数倍时，我们用分段函数给出的功率谱密度曲线的近似表达式如下： Hz，常数为3的整数倍 式（11） 为常值 Hz 式（12） Hz，常数为3的整数倍 式（13）把频率、和它们所对应的功率谱密度值分别代人式（11）和（13），可确定常数A和B。 式（14） 式（15）对表1所给载荷条件，=6、=0.12、=-12、=200、=1500，由式（14）和式（15）可得到,。则用分段函数给出的功率谱密度曲线的表达式如下： Hz 式（16） 为常值， Hz 式（17） Hz 式（18）由式（16）可得到10 Hz时的功率谱密度值为0.0288，与传统计算方法得到的值0.0294相比，误差为2.04%。由式（18）可得到2000Hz时的功率谱密度值为3.647，与传统计算方法得到的值3.661相比，误差为0.382%。所以，近似表达式的计算精度是足够的。由于功率谱密度曲线的近似表达式是幂函数，可很方便地通过积分得到曲线下的面积，从而得到随机激励的总均方根值。对表1所给的随机激励载荷条件，按近似表达式（16）、（17）、（18）进行积分，得到总均方根加速度为14.1g，与14.4g的准确值的误差为2.08%，可满足计算精度要求。7 总结在用有限单元法对结构进行随机振动分析时，用传统的方法来计算不同频率所对应的功率谱密度值，比较繁琐，效率很低。本文结合实例，用分段函数给出了功率谱密度曲线的标准解析表达式，并进一步给出了特殊情况下的近似解析表达式，使得功率谱密度值的计算简单易行。作者简介:陈庚超：男，1971年2月生，陕西西安人，中国电子科技集团