初二数学同步辅导教材(第2讲).doc

初二数学同步辅导教材（第2讲）【教学进度】 代数第二册 3.1 3.2 3.3【主要内容】1关于三角形的一些概念2三角形三条边的关系3三角形的内角和【重点、难点剖析】一、关于三角形的一些概念 1三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。对于三角形定义应从三个方面来掌握 （1）不在同一条直线上；（2）三条线段；（3）首尾相接，其中“首尾相接”是关键词语，它揭示了三角形三条边不但不在同一条直线上，而且构成了封闭图形。 2三角形中的重要线段 三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段。学习这三种重要线段，需注意以下一些问题。 （1）要注意“三角形的角平分线”与“角的平分线”的区别，前者是一条线段，可以量得它的长度，后者是一条射线，不能测量其长度，类似地，三角形的中线、高线均是线段。 （2）在画三角形高线时，要注意锐角三角形的三条高都在三角形的内部；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部（如图1所示）；在直角三角形中，有两条高恰是三角形的两条边。 （3）三角形的三条内角平分线、三条中线交于一点，锐角三角形或直角三角形的三条高交于一点，钝角三角形的三条高线的延长线交于一点，作三角形的高线通常需有直角符号且标明垂足。 （4）三角形三种重要线段，每一种线段的表示方法有下面几种方式： 图1 AD是ABC的角平分线，AD平分BAC，交BC于D；BAD=DAC=BAC AM是ABC的中线，AM是ABC边的中线，点M是BC的中点，BM=MC=BC AE是ABC的高，AE是ABC边BC上的高，AEBC，垂足为E，AEB=AEC=900二、三角形三条边的关系1三角形的分类三角形有边和角两类元素，一般采用按边的相等关系或角的大小来分。三角形按边的相等关系分类如下：三角形2三角形三条边的关系 （1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 由此得出：三角形任何一边都小于其它两边的和，注意“都”这个字，实际应用这一定理时，只要两条较短边的长度的和大于第三条线段即可判定这三条线段能够构成一个三角形，例如：a=3,b=5,c=6，因为3+56，所以，a,b,c三条线段不能构成三角形。 （2）若线段a,b,c(bc)，能构成三角形，根据三角形三边关系定理知，需满足：即当b-cac）时，线段b,c能构成三角形，由此可知，不失一般性，若三条线段满足两边之和大于第三边且这两边之差小于第三边即可构成一个三角形。（3）三角形三条边的关系定理及其推论的作用是可以用来证明有关线段（和）的不等式。三、三角形的内角和（1）三角形的内角和定理 定理：三角三个内角的和等于1800 这个定理给出了关于三个内角的一个基本关系式。（2）三角形的分类 由三角形内角和定理可知，一个三角形或者三个内角都是锐角，或者有一个角是直角，或者有一个角是钝角，没有其它情况。 按照三个内角中有无直角，可将三角形分成直角三角形和斜三角形两类，在斜三角形中按是否有大于900的角可进一步分为另两类。 三角形按角分类：例1如图2，图中共有（ ）个三角形（A）4 （B）5 （C）6 （D）8分析：根据三角形的概念，不重复、无遗漏地找出所有的三角形，为此应按照某种顺序去找。解：（1）以BC为边的三角形有ABC、BEC、BFC、BDC共4个。（2）以AC为边的三角形有AEC、ABC两个，但ABC已计入（1）中，所以，只能算1个。（3）以AB为边的三角形有ABD、ABC不计重复只能算1个。（4）以CD为边且与以前不重复的三角形是DFC，共1个。（5）以AD为边的三角形ABD已计。（6）以AE为边的三角形AEC已计。（7）以BE为边的三角形BEF有1个。所以图中共有三角形4+1+1+1+1=8个故应选（D）例2在图3中，用式子把下列条件表示出来（1）AD是ABC的高（2）BE是ABC的角平分线（3）CF是ABC的中线解（1）AD是ABC的高，可以表示为，或ADB=900，或ADC=900，或ADB=ADC（2）BE是ABC的角平分线，可表示为ABE=EBC，或ABE=ABC，EBC=ABC（3）CF是ABC的中线，可表示为AF=BF，或AF=，BF=例3下列命题中，真命题是（ ）（1）首尾相连的三条线段组成的图形是三角形（2）有三个角的平面图形是三角形（3）三角形的顶点到对边的距离是三角形的高（4）三角形的高所在直线交于一点，这点不在三角形内就在三角形外（5）三角形的角平分线是射线（6）任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线分析：解答本题关键是要准确把握有关三角形的概念，三角形的角平分线、中线、高的概念，注意三角形的高与一般意义的“高”及“距离”之间意义上的区别。注意钝角三角形、直角三角形高的特点。解：真命题是（ 6 ）例4一个三角形的三条边长分别为8cm、10cm和xcm，那么x的取值范围是（ ）（A）x8cm (B) x10cm (C) 8cmx10cm (D) 2cmxEB （三角形两边的和大于第三边） （1）同理CE+EDCD （2）(1)+(2) 得AE+CE+AB+EDED+DB+CD AE+CE+ABDB+CD又 AE+CE=AC.AB=AC 2ABDB+CD即 例6在ABC中，A+B=1000，C=2B 求A、B、C的度数分析：本题除了普遍成立的条件：“A+B+C=1800”外，又给出了两个独立条件，可通过解方程组的方法来解。 解：根据题意，得 解此关于A、B、C的三元一次方程组得 例7如图5，在ABC中，ABC、ACB的平分线相交于O点 求证：BOC=900+ 证明： BO平分ABC，OC平分ACB A+21+22=1800 A 例8如图6，在ABC中，O是高AD和BE 的交点，则C与DOE之间具有怎样的数量关系？证明你的结论。分析： C与EOD两个角不在同一三角形内，CEOD是一个四边形，可以通过添加辅助线，将此四边形划分成两个三角形，以利用三角形内角和，间接可得C与DOE的关系。证明：连结CO，在CEO和COD中，有BEC+EOC+ACO=1800 （1） ADC+DOC+DCO=1800 （2） （1）+（2）BEC+ADC+EOC+DOC+ECO+OCD=3600 （3）由题意，BEAC，ADBCBEC=ADC=900 代入（3）得ACB+EOD=1800【巩固练习】一、判断题1过三角形的一个顶点且平分这个角的射线称为三角形的角平分线（ ）2平分三角形一边的线段叫做三角形的中线（ ）3三角形的三条高中，至少有一条高在三角形的内部（ ）二、填空题4如图，图中有 个三角形，它们分别是 ；其中ADC的三个顶点是 ，三个内角是 ，C的对边是 5如图，D为ABC的一边BC上的一点，则CA+AB+BC 2AD6 ABC中，A是B的2倍，C比A+B还大120，则这个三角形是 角三角形7三角形中有一条边比第二条边长3cm，这条边又比第三条边短4cm，这个三角形的周长为28cm，则这个三角形最短边的长为 cm8如果三角形的三边长分别为m-1,m,m+1(m为正数)，m的取值范围为 三、选择题9以下列各组线段为边能构成三角形的是（ ） （A） 6、10、3 （B） 6、9、3 （C） 6、2、3 （D） 6、8、310如图，D、E分别为AB、AC上的点，DB、EC相交于F，则A+B+C+EFB( ) （A） 等于3600 （B） 等于1800 （C） 小于1800 （D） 大于180011已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是( ) （A） 1、2、1 （B） 2、2、1 （C） 1、3、1 （D）2、2、512三角形的三条高相交于一点，这个交点的位置在（ ） （A） 三角形内 （B） 三角形外 （C） 三角形的边上 （D） 要根据三角形的形状才能确定13如图，画ABC一边上的高，下列画法正确的是（ ）14已知等腰三角形的两边长分别为4cm，7cm，则这三角形的周长为（ ） （A） 15cm （B）18cm （C） 15cm或18cm （D） 不确定三、解答题15如图，ABCD，CBAB，若AB=4cm，ABC的面积12cm2,求ABD中AB上的高。16已知：如图，O是ABC内一点，且AB=AC，OB=OC，求证ABOB17如图，在ABC中，BC,AD是BC边上的高，AE是BAC的平分线，求证：DAE=（B-C）18如图，D、E是ABC内的任意两点，求证：AB+ACBD+DE+EC19已知ABC的三边a,b,c均为正整数，且,b=4问满足条件的三