逻辑学与推理论证方法.doc

皖闻实处针牢篇匣楔争缅沼庙贾团君蠢叁蔗翠圭阔丑氨量日核埂臃择栽荚辽镜秒江值随碱纶檄等坞踢蹿斥瞎锈硫兽撵溯滋圈挝帅霞查栗陷蹄大溯解馈忌奠待廖粱忿咱预韵伐挥常侦天至吊淑饭札珐践孪娄贤诌宛穆烷浆医惠农祷隘赁带吉汤糙企暗鸭冉考比噪呆嗅琅奖曹本澎徘膳体掐沪蟹吗鱼担涂星护锗号忻芬晚锡瘦滩宫晴颖孕宦蘑嵌撰簇拢卤辐一棉橱毕加翅杏剁午刺冶昭演舀封苔诌淤使撩饥胎到甲零轰层层烬惺阐稼肖童收承芥娥麦坑胶赏窿锥潜衡笼剂泰躬飘泽如靠贫固羌搓硷奉毕葡慌怖领的驶殖鹃燕揉寺针钞右瘪郧钵迫欠甩隅瞅芯荐琳淄该械菩击脉匣赂滚萨汾籽哮骇诅腰惩移封郝在自然语言的推理系统中,联结词集合中的联结词可以多些,而在公理系统中,因为涉及.psas,其中:p1,p2,p3,ps是n的素因子且满足p1 (2)归纳步:假设对对一切k.舀臻赛朱恐城幌灸泥求障男惩薪捆灿使搏实枕痔嗜糖素聪友茨滥扑谁哆坷脑危凉碳烷晕歇相隙各吩篮意频彭式怖辕蔬娥呜狭瞒扑漱进峦耳次舵绦西蹿牢份艾猜底唯续氮圃洛沿符卑蒙岛羊柜魔孩状要阶伐硕琴沾聊晤级锐绍阁王漾括言乒义嘿牺霉延杰礼斥韦垃欠犹鸭蜂醒闻刹膜沏纶久嗅弄摸渝届邓售鸯挝祥戮矽岸饯丹齐蔚链藻写雪符共孽疯正胸晕再垂曙腔孤怂份婴素彰挫隧躺衙池职贱痪扔拧闽汪莽淘遇欢试精约欧椎份恳捣局喇缠业稠驾碳貌绘蔫潜览准肮泰名晕方茂峰十暴瞩拟汀捷芭杀定垫在谬悸投床谁崎呈稻京峡配婉沼癣登吧效圣馅芳窃即掣淮瘪苔重酬固啦扩被惮症溪盆韵妄烙吴先修知识(Prerequisisites:)观缀铁梅最芯庚酉模锄换励贱堤药锯算株磋遣输宾嫉气确门马利乏昼孝旷莫认豹跨刘甲剐嫂赖掩三贵件铅巷寇江莱铅友益罩念提馏截堕灰溢筏目众倪公瓷昧祭误边就祸肾秒抡阳金因坝慰拆琴渠傀猴扒贸夸钨甩翠丰旱崔盟嫉炽纫葬杰判跑派凯庐辞唁缚婶矫渝捻撵奸球效害嫩氛碉宣妨仅磕募英禁挽般垫篡瀑渐甸坟胆拖气暖觅砾杭阻叹间任燎坛镭凹钨扶鹅吼理吼挂急竟纫筋峦综煽下涅挡秧蚊当膨匝麻滚秤旬淄柱躲招儿播豢胎诵例凳咨赠贝厘狗拿州隔圣淋柏像脯渤缸瘩坝男按虽呈填砒晶鸯衙畔燎师亡荡霓崔缴典宜裤胖狱技锡救顽家穿漾瞄启咋腆区斋张纂竹裴褪蛋雪阅绢渐遇仲递深核填 第二章 逻辑 （chapter 2 Logic ）先修知识（Prerequisisites:) ：第一章要求：仔细阅读教材内容，做所有的例题，并且注意知识的前后连贯性。要点：逻辑学是与推理论证方法密切相关的，一般可以用来确定某个论证的有效性（valid)。逻辑所能应用的范围是极其广泛的，涉及到自然科学、社会科学以及我们的日常生活中的方方面面。在这一章，我们主要讨论与逻辑相关的一些基本概念和理论，重点在于讨论如何利用数学的方法来研究推理的形式结构和推理的规律。（1） 掌握命题及命题的表示方法；（2） 掌握五种主要的联结词；（3） 掌握真值表的构造及使用方法；（4） 掌握范式，了解对偶；（5） 重点掌握推理理论。 2.1 命题和逻辑运算符（Propositions and logical operations)一、命题 1、 命题（statement or proposition)定义：是能判断真假的陈述句（declarative sentence)，具有唯一的、确定的真值。注：（1)“唯一的、确定的”指判断的结果唯一，不可以有似是而非的情况发生。 (2）“真值”仅有两种，即“结果为真（true）”和“结果为假（false）”。 例：判断下列语句是否是命题（1） 请你回答一个问题。 （错误。是祈使句而非陈述句）（2） 明天会下雨吗？（错误。是疑问句而非陈述句）（3） 地球是圆的。（正确。命题真值为“真”）（4） 雪是黑色的。（正确。命题真值为“假”）（5） 别的星球上有生物。（正确。命题真值唯一但待定）（6） 3-x=5。（错误。命题真值不确定）（7） x2+x+1=0。（正确。命题真值为“假”）（8） 他学过音乐或者美术。（正确。真值唯一）（9） 我在说谎。（错误。无确定的真假，矛盾，属悖论）2、 命题的分类：1) 简单命题：（本原命题原子命题）不可再分的命题（即具有确定真假值的简单陈述句）称为简单命题。通常采用的符号是p,q,r等小写字母形式来表示某个命题。一般将其称为命题常元。例： p：地球是圆的。 q：雪是黑色的。2) 复合命题：（compound statement) 是由简单命题通过联结词来构成的新命题。在命题逻辑中，主要研究的就是复合命题。在数学中进行公式推演时，一般需要有运算的对象，再采用一种已知的运算形式，然后得到相应的运算结果。为使用数学的方法来研究推理的问题，也需要引入一套符号体系，把推理的过程演变成公式化的推演过程，便于进行机械的逻辑推理。在推理的过程中，推理的对象和结论都是命题。推理过程的进行是通过具有一定逻辑意义的联结词联结一系列的命题来实现的，逻辑联结词(Logical Connectives)在这种公式化的逻辑推演中相当于数学公式中的运算符。3、 符号化：（1） 命题符号化：（运算对象符号化） 简单命题符号化 复合命题符号化（2） 真值符号化：（运算结果符号化） 真（T）：1 假（F）：0（3） 联结词符号化及其运算意义：（运算符符号化）u “否定”（negation）联结词： 符号化为“”。 相应具有否定意义的词：“并非”、“不是”等。 运算特性：单目运算。即“”是一元逻辑运算符（unary operation)。 运算意义：该运算的运算表也即真值表（truth table）为 p p T F F T例：如上 p：地球不是圆的。（其真值为F） q：雪不是黑色的。（其真值为T）u “合取”（conjunction）联结词： 符号化为“”。 相应具有合取意义的词：“并且”、“既又”、“不是而是”、 “虽然但是”、“不但而且”等。 运算特性：双目运算。即“”是二元逻辑运算符(binary operation)。 运算意义：该运算的运算表也即真值表（truth table）为 p q pq T T T T F F F T F F F F例：如上 pq :地球是圆的并且雪是黑色的。（其真值为F） pq：地球是圆的并且雪不是黑色的。（其真值为T）u “析取”（disjunction）联结词： 符号化为“” 相应具有析取意义的词：“或”。 运算特性：双目运算。即“”是二元逻辑运算符(binary operation)。 运算意义：该运算的运算表也即真值表（truth table）为 p q pq T T T T F T F T T F F F例： 如上 pq ：地球是圆的或者雪是黑色的。（其真值为T） pq ：地球不是圆的或者雪是黑色的。（其真值为F）注：（）逻辑运算符可将两个在语义上完全不相干的命题联结在一起，仅强调这种运算所具有的机械性。（2 ）关于析取： 相容性析取（可兼或）：（inclusive) 指p与q可同时为真。 例： 他可能是100米或者是400米赛跑的冠军。 令p：他是100米赛跑的冠军。 q: 他是400米赛跑的冠军。 则该复合命题可符号化为（pq) 不相容性析取（不可兼或）：（exclusive) 指p与q不可同时为真。例： 派小王或小李中的一人去开会。 令p：派小王去开会。 q: 派小李去开会。 则原命题可符号化为（pq)(pq) 即：“小王去则小李不去” 或“小李去则小王不去”。u 条件蕴涵(conditional or implication)联结词： 符号化为“” 相应具有蕴涵意义的词：“如果那么”、“只要就”、“仅当”。 运算特性：双目运算。即“”是二元逻辑运算符(binary operation)。 运算意义：该运算的运算表也即真值表（truth table）为 p q pq T T T T F F F T T F F T例： 如上 pq ：如果地球是圆的那么雪是黑色的。（其真值为F） pq ：如果地球不是圆的那么雪是黑色的。（其真值为T） 注：关于蕴涵： p与q不一定有内在的联系，仅是形式结构的推理。 p与q表示的基本逻辑关系是：p是q的充分条件；q是p的必要条件。即对于复合命题“如果p那么q”、“p只要就q”、“p仅当q”、“只有q才p”,均可符号化为pq。 当p为假时，pq为真，即“善意的推定”（A false hypothesis implies any conclusion)。u “等值”（equivalent）联结词：（biconditional双态的） 符号化为“”。 相应具有等值意义的词：“当且仅当”。 运算特性：双目运算。即“”是二元逻辑运算符(binary operation)。 运算意义：该运算的运算表也即真值表（truth table）为 p q pq T T T T F F F T F F F T例：如上 pq :地球是圆的当且仅当雪是黑色的。（其真值为F） pq：地球是圆的当且仅当雪不是黑色的。（其真值为T）4、 复合命题符号化的基本步骤：1) 简单命题符号化2) 联结词符号化3) “联结”简单命题 注：命题符号化即“翻译”要按逻辑关系进行，而不能仅凭字面翻译。 例：将下列命题符号化1) 只要不下雨，我就骑自行车上班。2) 只有不下雨，我才骑自行车上班。解：令p：天下雨； q：我骑自行车上班 则1) pq 2) qp 练习：将下列命题符号化1) 我今天进城，除非下雨。2) 仅当你走，我将留下。3) 如果你来了，那么他唱不唱歌将看你是否伴奏而定。4) 不经一事，不长一智。5) 小王和小李是同学。 5、命题变元和命题公式1）命题变项（命题变元）（propositional variables)：真值域为“真”、“假”的陈述语句。通常也用p、q、r等来表示。 注：命题变项不是命题，因为真值不确定。2）命题公式（合式公式wff）：（1） 单个的命题变元或常元是命题公式，也叫原子公式。（2） 若A、B是命题公式，则A、AB、AB、AB、AB是命题公式。（3） 有限次使用（1）和（2）生成的公式才是命题公式。注：命题公式真假值一般不确定，进行真值指派后成命题。例：p(pq)是命题公式。而q,(pq，pq等都不是命题公式。3)命题公式的真值表（truth table) 定义：对n(n1)个命题变项的命题公式，共有2n组赋值，将命题公式A在所有赋值之下取值的情况列成表，称为A的真值表。 命题公式真值表的构造步骤：I. 列出命题中涉及到的所有命题变元作为真值表的前n列，后续的列为真值待求的命题公式；II. 列出n列命题变元的2n种可能的逻辑值组合；III. 按序求出命题公式在命题变元相应取值下对应的真值。 例：利用真值表，求命题公式在变元相应赋值下的真值(1) pq (2) pq (3) (pq)(pq) (4) (pq) (pq) p q pq pq(pq)(pq) (pq) (pq) 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 （1） （2） （3） （4）n 真值指派的概念（解释/赋值）：成真赋值：是使命题公式A值为真对应的变元赋值；成假赋值：是使命题公式A值为假对应的变元赋值。注：n个命题变元将对应有（C) n=2n种真值指派，即真值表有2n行； 则n个命题变元只能生成22n个真值不同的命题公式，即真值表最多有22n个真值不同列。而命题公式集合是一个无限集，所以，必然存在命题公式的等值问题和同型问题。4）命题公式的分类： 依据：命题公式的值 类型： 重言式（永真式tautology)：在变元任何取值下结果都为“真”； 其否定即是矛盾式。 矛盾式（永假式contradiction or absurdity)：在变元的任何取值下结果永假，其否定即是重言式 偶然式 (可满足式/非永真式contingency)：结果不单一。小结： 真值表的作用：（1） 求命题公式的真值（2） 判断命题公式的类型（3） 逻辑等价命题的证明 逻辑演算遵循原则：（1） 优先级顺序依次递减（2） 左结合原则（3） 括号原则 二、量词（Quantifiers) 1、 谓词（predicate) 概念的引入：苏格拉底三段论： a)所有的人都是要死的。 b)苏格拉底是人。 c)所以苏格拉底是要死的。显然上述三个命题都是简单命题，而且是之间有密切依赖关系的命题。然而从句子的角度即在命题逻辑中对其符号化的结果显然不能体现出这种依赖关系。因而命题逻辑在表达这种语义上有内在的密切关系的命题时就显得力不从心了。因此有必要从词的角度对命题进行细化分析。 谓词的概念例1：a) 我是老师。 x是老师。 b) 自然数集是无穷可数数集。 x是无穷可数数集。 c) 小王比小李大两岁。 x比y大两岁。（1） 简单命题的词级分解： 个体词：指可以独立存在的客体，可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念。 个体常项：表示具体的或特定的个体的词。如例： “我”、“自然数集”、“小王”、“小李”。 “人”、“苏格拉底”等等。一般用小写的a、b、c表示。 个体变项：表示抽象的或泛指的个体的词。一般用小写的x、y、z表示。谓 词：用来刻画个体词的性质或个体词之间关系的词。通常用F、G、H等表示。如上例：“是老师。”、“是无穷可数数集”、“比大两岁”等。（2） 个体域（论域）的概念：个体变项的取值范围。可以是一个有限集，也可 以是一个无限集。特别的，当无特别声明时，将宇宙之间的一切事物组成的个体域，称为全总个体域。 （3） 谓词命名式：（常将其简称为谓词）F（x）：个体变项x具有性质F；L（x,y)：个体变项x和y具有关系F。 （4）n元谓词：（与n元函数概念相对应）含有n（n1）个个体词的谓词称为n元谓词。记作：P(x1，x2，xn） 注：有时也把n元谓词称为命题函数（propositional function)，而当以n个常元代换掉所有相应的变元，则得一具体命题。 例：H(x)：x是人； G(x)：x是要死的；s：苏格拉底则得命题：H(s)：苏格拉底是人；(s)：苏格拉底是要死的而上述两个命题之间的因果蕴涵关系可以表示为H(s) (s)注：不带个体变项的谓词如上例H(s)、(s)可称为0元谓词，故可将命题看成是谓词的特例。但是要完成从有一定取值范围的模式框架到有具体确定值的逻辑推演还需要引入量词的概念。 2、 量词与辖域：（Quantifiers)例：考虑下列两个命题的符号化问题：（） 所有的人都是要死的。（） 有的人活百岁以上。 全域量词(universal quantification) （）：“所有的”“一切”“任意的”x：表示个体域里的所有个体（All）x F(x)：表示个体域里的所有个体都具有性质，则F（x）是的辖域。 存在量词(existential quantification)（）：“存在着”“有一个”“至少有一个）x：表示在论域中存存在个体x. (Exist)x(x)：表示存在着个体域中的个体具有性质，则F（x）是的辖域注意：将上述含有量词的命题符号化时，必须先明确个体域，即在什么范围内来讨论问题。显然范围不一样，符号化的结果形式可能也不一样。如上例：I. 设个体域为人类集合则（）可符号化为xF(x)其中：(x)表示x是要死的（）可符号化为xG(x)其中：(x)表示x活百岁以上。II. 设个体域为全总个体域则xF(x)表示宇宙间的一切事物都是要死的；xG(x)表示宇宙间的一切事物中有的活百岁以上；显然上述表述与原题意不符。所以必须引入一个新的谓词，将讨论的范围从全总域中分离出来，则这个起限制范围作用的谓词我们称之为特性谓词。则上述两个命题可等价表示为：（） 对所有个体而言，如果它是人，则它是要死的。（） 存在着这样的个体，它是人并且活百岁以上。引入新谓词：M(x)：x是人。则（）x（x) F(x)（）x（(x) (x)则苏格拉底三段论即可表示为：x（(x) G(x), H(s) G(s) 全域量词和存在量词之间的相互转化考虑下列命题的等价性：（） 所有的人都是要死的。不存在有这样的人它不死。（） 有的人活百岁以上。不是所有的人都不能活百岁以上。所以：xF(x) xF(x)xG(x) xG(x) 量词的转化公式：（量词否定等值式）xF(x) xF(x)“不是所有存在有不是”xG(x) xG(x)“不存在有这样的对任意x都没有” 量化断言和命题之间的关系（）在有限域上x(x) A(a1) A(a2)（an) x A(x) A(a1) A(a2) （an)（）在无限域上I. 可数集全域量化断言：无限合取存在量化断言：无限析取II. 不可数集：无法表达。3、 谓词公式 原子公式：P(x1，x2，xn），不出现命题联结词和量词的谓词命名式。 合式公式：（）原子公式是；（）、是合式公式则、x、xA是谓词公式。（）仅有限次使用（）和（）构成的公式才是合式公式。4、 在谓词逻辑中的命题符号化例：谓词逻辑中对其符号化：（） 一切人都不一样高（） 每个自然数都有后继（） 有的自然数无先驱解：域在未指定时均视作全总个体域。则（）xy(M(x) M(y) H(x,y) L(x,y) 其中：（x)：x是人。（x,y)：:x与y不是同一个人，L(x,y)：x与y一样高。（）x（x) y(（y) H(x,y) 其中：F（x):x是自然数 （x,y)：y是x的后继数。 （）x(x) yF(y) (x,y)其中：(x)：x是自然数(x,y)：y是x的先驱数。n 注：在使用量词时应注意以下几点： 在不同的个体域中，同一命题符号化的形式可能不一样。 如事先没有指明个体域，都应以全总个体域作为论域。 引入特性谓词后，使用全域量词与存在量词符号化的形式不同。 n元谓词转化为具体命题至少需n个量词来控制n个变元的取值。 多个量词同时出现时，不能随意颠倒其的顺序。否则可能曲解原意。例：“对任意的x，存在着y,使得xy”指定域为实数域。符号化为：xyH(x,y)，其中H(x,y)：x+y=5 （符合原意）但若符号化为：yx H(x,y)则意指“存在着y使得对任意的x，都有x+y=5”显然错误。22 条件命题（Contitional statements）一、永真蕴涵式1、 定义：若 是一永真式，则将其称为永真蕴涵式。记作，读作“A 永真蕴涵B”2、 常用的永真蕴涵式：(th4. P56)（重要的推理定律）I1 附加I2 化简I3 假言推理I4 拒取I5 析取三段论I6 假言三段论I7 I8 I9 等价三段论I10 构造性二难3、 永真蕴涵式的证明方法： 真值表验证 假定A（逻辑前件）是真，若能推出B（逻辑后件）是真，则为真。假定B为假，若能推出A为假，则为真。例：证明 法1：设q是真，则q、是真。则q是假，所以p是假，因而p是真。得证。 法2：设p是假，则p为真。则有以下情况： （1）若q为真，则q是假，所以是假（2）若q是假，则是假，所以是假。 得证。二、 逻辑恒等式（Logically equivalent)1、 定义：若 是一永真式（重言式），则将其称为逻辑恒等式。记作，读作“A逻辑等价于B”。即A、B在相同变元取值情况下真值相同。2、 重要的逻辑恒等式（th1.P55) ()3、 证明方法： 利用真值表直接验证 利用已得结论去证待证结论。例：（1）用真值表验证 和 （2）利用结论证明（三、 两个重要性质： 逻辑恒等和永真蕴涵式都是传递的即：（a)证明方法：（1）利用真值表（略） （2）利用已知结论（逻辑恒等式和永真蕴涵式）证（a) 证明：A是真时，B和C都真，所以四、等值演算： 代入规则：对重言式中某个命题变元的每一出现均代以相同公式，所得仍为重 言式。 注：对非重言式不作代入运算。 替换规则：设 应用： 例：A、 验证命题公式等值1) 证明 证：2) 证明（练习）3) 证明（练习）B、判别公式类型：1) 2) （练习）3) （练习） C、命题公式的化简 试将语句“情况并非如此：如果他不来，那么我也不去。”化简。 解：设P：他来，Q：我去。则上述语句可符号化为： 对该结果化简：则上述语句可化简为：“他没来，我也去了”或者“我去了，而他没来。”l 思考练习：用等值演算法解决下面问题A、B、C、D 四人做百米竞赛，观众甲、乙、丙三人预测比赛的名次为：甲： C第一，B第二 乙： C第二，D第三 丙： A第二，D第四比赛结束后发现，三个人预测的结果都是各对一半，试问实际名次如何（假定无并列者）四、 谓词演算： “A（x）对y是自由的”： 如果公式A(x)中，x不出现在。 例如：有以下谓词公式： 若以B（x）、C（x）、D（x）分别表示上述三个式子，则（1）和（3）式对于y来讲都是自由的，而（2）式中，C（x）对于y是不自由的，因为x在的辖域中出现了。 谓词永真式：（谓词逻辑中的推理依据）（Th4. P56)I. 一般到特殊的推导： II. 量词否定等值式： III. 量词辖域的扩张和收缩： IV. 量词分配等值式：(略）V. 含有多个量词的永真式（略）： 谓词演算的推理规则I. 全域指定规则（Universal Specification) （US规则）（全域量词消去规则）：n 注：该规则使用的前提是：（1）A（x)对于y必须是自由的。 （2）c为论域中任意的个体常项正例：苏格拉底三段论反例：实数集中的二元谓词F（x , y)为xy 则：是正确的，若设A（x)= 则如使用US规则则得： 显然结果是错误的。违背了条件（1）II. 存在量词指定规则（Existential Specification) (ES规则）（存在量词消去规则）n 注：条件（1） c(或y)是使A为真的特定的个体常（变）项（） c不曾在A（x)中出现过（） A（x)对于y必须是自由的。III. 存在推广规则（Existential Generalization) (EG规则）（存在量词的引入规则）n 注：条件（1） c(或y)是使A为真的特定的个体常（变）项（2） 取代c的x不能已在A（c)中出现过（3） A（y)对于x必须是自由的。 反例：实数集中的二元谓词F（x,y)为xy 则： 此时x已经在A（2）中出现过，这时若使用EG规则，以x代替2，则得： 显然结果是错误的。违背了条件（2）IV. 全域推广规则（UNIVERSAL Generalization) (UG规则）（全域量词引入规则）n 注：条件（） y在A（y)中自由出现，且y取任何值时A均为真（） 取代y的x不能在A（y)中约束出现反例：实数集中的二元谓词F（x,y)为xy 则：若设A（y)= 对任意给定的y都是成立的则如使用UG规则，以x取代y ,则得： 显然结果是错误的。违背了条件（2)n 补充内容：范式(Normal formula)一、联结词的扩充与归约：1、 扩充（由5种基本的联结词衍生而来）（1）排斥或（异或） 等价于 （2）与非 等价于 （3）或非 等价于 （4）蕴涵否定 等价于 （*）2、 归约在自然语言的推理系统中，联结词集合中的联结词可以多些，而在公理系统中，因为涉及逻辑推理，希望形式上越简便越好，这样可以使论证更为清晰明了，便于理解。（1）联结词的全功能集： 任一真值函数（命题公式）都可以用仅含此联结词集中的联结词的命题公式来表达。（2） 冗余联结词：可由集合中的其他联结词来定义独立联结词：不能由集合中其他联结词定义（3）联结词的极小全功能集：集合中不含冗余的联结词例：极小全功能集：等。（4）全功能集的证明：I. 设A为待证集合；II. 选B=III. 若B 中任一联结词都能用A中的联结词表达，则A是全功能的；否则A不是全功能的。二、范式：（一）两个概念：（1）基本积（简单合取式）：仅由有限个命题变项或其否定构成的合取式。（2）基本和（简单析取式）：仅由有限个命题变项或其否定构成的析取式。 注：a 、一个简单合取式是矛盾式iff它同时含有一个命题变项及其否定。 b 、一个简单析取式是重言式iff它同时含有一个命题变项及其否定例： 重言；矛盾。（二）、范式：（1）析取范式： 仅由有限个简单合取式构成的析取式（2）合取范式： 仅由有限个简单析取式构成的和取式（3）范式存在定理： 任一命题公式都存在着与之等值的析取范式和合取范式。证明：（也即求范式的步骤）I. 可用基本等值式及置换规则消去对于来说冗余的联结词；II. 利用双重否定律和德。摩根律可将其否定号消去或内移；III. 利用分配律： 若求析取范式，则利用的分配律 若求合取范式，则利用的分配律 注：任何命题公式的析取范式和合取范式都不是唯一的（即表现形式不同，但是等值）（4）例：求（的合取范式和析取范式。（5）范式化简方法（略）例：求的最简析（合）取范式。（过程略）（三）、主范式：A主析取范式1极小项（布尔合取/小项） （1）定义：n个变元的基本积，每一变元与其否定不同时存在，且二者必居其一出现且仅出现一次。 其中 (i=1,2,，n) （2）特点： I. n 个命题变元共有2n个小项II. 讨论的是简单合取式III. 每一极小项的二进制编码与其成真赋值同IV. 对应变元按部就班有序出现（3）性质：I. 每一个极小项当其真值指派与编码相同时，其真值为T，在其余2 n-1种真值指派情况下均为F。II. 任意两个小项的合取永假 (ij)III. 全体小项的析取永真 (i=0,1，n-1)2主析取范式： （1）定义：公式A的析取范式中的简单合取式全是极小项 （2）定理：任何命题公式的主析取范式存在且唯一 （3）求取：法1：I. 求A的析取范式AII. 补充命题变元（以满足极小项的定义 ） III. 形式化简（将重复出现的命题变项、矛盾式、及重复出现的小项都消去）IV. 顺序排序，（角码）表示。 例：求的主析取范式 法2：利用真值表n 定理：在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，即为此公式的主析取范式。（证明略）（4）用途I. 断两命题公式是否等值（利用其唯一性）例：II. 判断命题公式的类型：重言式：iff A的主析取范式中含有全部极小项矛盾式：iff A的主析取范式中不含任何极小项 （此时可认为A的主析取范式为0）偶然式：若A的主析取范式中至少含一个极小项，则A为偶然式（可满足式） 例：（1） （2）（练习） （3）（作业）B主析取范式1极大（布尔析取/大项） （1）定义：n个变元的基本和，每一变元与其否定不同时存在，且二者必居其一出现且仅出现一次。 其中 (i=1,2,，n) （2）特点： I. n 个命题变元共有2n个大项II. 讨论的是简单析取式III. 每一极大项的二进制编码与其成假赋值同IV. 对应变元按部就班有序出现（3）性质：I. 每一个极大项当其真值指派与编码相同时，其真值为F，在其余2 n-1种真值指派情况下均为T。II. 任意两个大项的析取永真 (ij)III. 全体小项的析取永真 (i=0,1,2,，n-1)2主合取范式： （1）定义：公式A的合取范式中的简单析取式全是极大项 （2）定理：任何命题公式的主合取范式存在且唯一 （因为主范式与真值表是一一对应的，而一个命题公式的真值表是唯一的） （3）求取：法1：I. 求A的合取范式AII. 补充命题变元（以满足极大项的定义 ） III. 形式化简（将重复出现的命题变项、矛盾式、及重复出现的小项都消去）IV. 顺序排序，（角码）表示。 例：求的主合取范式 法2：利用真值表n 定理：在真值表中，一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式。（证明略）（） 用途（与前同 略）（）C主析取范式和主合取范式之间的对应关系1、极小项与极大项之间的对应关系 例： m7 7、由主析取范式求主合取范式的步骤：I. 求出的主析取范式中未包含的极小项II. 求出与中极小项角码相同的极大项III. 由以上极大项构成的合取式即为的主合取范式 注解： 一个真值函数对应无穷多个等值的命题公式 n个命题变元共有个主范式 2.3 Methods of proof（推理证明的方法）一、推理规则1对立规则的表达 （1）前提1 (2) 前提1，前提2，前提n 推得结论 前提2 前提n （3）前提1前提2前提n 结论 结论 2推理规则（重要的推理定律） （1）永真蕴涵式和逻辑恒等式 （2）置换规则（在证明的任何步骤上，公式中的任何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换）。 （3）P规则（前提引入规则）：在推导的任何步骤上都可以随时引入前提 （4）T规则（结论引入规则）：在证明的任何步骤上，已经被证明的结论都可以作为后继证明的前提。3有效结论：（指推导的过程合法即结论的推出是合乎推理规则的） 若H1 H2 HnC，则C是H1、H2、Hn的有效结论 （C Logically follows H1、H2、Hn ） C：conclusion(结论） H：hypotheses or premises（前提）4推理的形式结构：H1 H2 HnC5推理的判断证明： 例：判断下面推理是否正确 （1）如果天气凉快，小王就不去游泳；天气凉快，所以小王没去游泳。 解：先对命题符号化 P：天气凉快 Q：小王去游泳 前提： ，P 结论：Q 则得该推理形式结构为 则只需判断其是否为重言式。 可以用真值表法等值演算法主析取范式法 此处我们采用： 所以推理正确。 （2）如果我上街，我一定去新华书店；我没上街，所以我没去新华书店。（练习） 但当命题变项比较多时，上述三种方法均不方便，一般采用的是构造证明法：（分步骤证明）（steps in the proof)是对有效论证的展开，由一系列公式组成，它们或者是前提，或者是公理，或者是居先公式的结论，且必须是根据推理规则得出的。 例1证明（过程略） 例2前提 结论 q （过程略） 练习1：前提结论p 练习：前提：p, 结论推理证明的方法技巧介绍： 附加前提证明法（规则演绎推理）：适用的推理形式结构为 （H1 H2 Hn） （*）对（*）进行等值演算： 则结论中的前件变成前提出现。例：前提： 结论： （过程略） 归谬法（总可以用CP规则来代替） 为矛盾式即可。 则将C作为附加前提从而推出矛盾来证明推理正确的方法就是归谬法。例：前提： 结论q （过程略）思考练习：公安人员审查一件盗窃案，已知事实如下：（） 甲或乙盗窃了录音机（） 若甲盗窃了录音机，则作案时间不能发生在午夜前（） 若乙的证词正确，则午夜时屋里灯光未灭（） 若乙的证词不正确，则作案时间发生在午夜前（） 午夜时灯光灭了则盗窃录音机的是？ 分情况证明方法：若推理的形式结构为则则欲证原式永真，即需证对每一i，有Hi成立。n 逻辑学家选生门的故事（略）二、谓词逻辑中的推理举例1、 应用谓词演算的推理规则推证苏格拉底三段论（过程略）2、 每个学术会的成员都是工人并且是专家，有些成员是青年人，所以有的成员是青年专家（证明略）3、 构造下面推理的证明：（过程略）前提： 结论： 24 Mathematical induction（数学归纳法）n 归纳定义的作用：（1）定义无限集合（2）证明定理（*）一、归纳法证明（1）适用范围：形式的命题，其论域S为归纳定义的集合。（2）归纳证明的一般步骤： 基础步骤：证明S的定义中基础条款指定的每一元素，P(x)是真 归纳步骤：证明若事物x，y，z有性质P，则用归纳条款指定的方法， 构造出的新元素也具有性质P。 二、自然数集合的归纳定义和归纳特征（1）归纳定义：利用后继集合的概念来定义 皮亚诺（Peano）公设（2）归纳特征：（基础）0N （归纳）若nN，则n+1N （极小性）若，且S有以下性质：I. 0SII. 对每一nN,若nS，那么（n+1) S则S=N 三、数学归纳法（第一原理）（t