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高等数学考研辅导讲义概 念 清 楚题 型 全 面方 法 得 当灵 活 熟 练 多元函数微分学一 、 二元函数1、二元函数的解析式 例1 设求例2.设，求本例小结2、二元函数的极限例3 设，讨论时函数极限例4 设，讨论时函数极限本例小结例5 （常数）例6 例7 本例小结3、二元函数连续；偏导存在；可微的讨论连 续可 微 偏导函数连续偏导存在（1）.函数在处连续（2）. 函数在处的偏导=或=（3）. 函数在处可微例8设试问该函数在点（0,0）处是否连续? 偏导数是否存在?例9设试问该函数在点（0,0）处是否连续? 偏导数是否存在? 是否可微？例10设函数，试问该函数在点（0,0）处是否连续? 偏导数是否存在? 是否可微？本例小结例11设求本例小结二、求偏导1.具体的复合函数求偏导例13 （1）设，求（2）设， 证明（3） 求本例小结2.抽象的复合函数求偏导例14（1）设，其中有连续二阶偏导数，求（2）（3）设且具有二阶连续偏导数，求（4） 设函数在点处可微，且，求（5） 设函数，其中具有二阶导数，具有一阶导数，计算本例小结3.隐函数求偏导例15（1）设（2）已知确定其中均有连续偏导数，求证。设函数由方程所确定，证明（3），求（4）设有三元方程，根据隐函数存在定理，存在点的一个邻域，在此邻域内该方程A 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数B 可能确定两个具有连续偏导数的隐函数和C可能确定两个具有连续偏导数的隐函数和D可能确定两个具有连续偏导数的隐函数和本例小结4.求全微分例16（1）求函数，当时的全微分（2）设有连续偏导数，由方程所确定，求。本例小结5.综合题例17 （1）（2）设用代换可把方程化为，求(3)设在第一象限内有二阶连续偏导数,且有, ,又,求.(4) 设求（5）设求（6）设可微，求（7）设可微，求三、多元微分学的应用1.几何应用空间曲线的切线与法平面,关键是求切向量例18 在曲线的所有切线中，与平面平行的切线有几条？本例小结例19 求曲线在点处的切线和法平面方程本例小结空间曲面的切平面与法线,关键是求法向量例20 曲面在点的法线方程和切平面方程例21 曲面与平面平行的切平面方程例22 试证：曲面上任意一点处的切平面在各坐标轴上截距的平方和等于常数。2.求极值例23 设是由确定的函数，求的极值点和极值本例小结例24 椭圆上求一点，使其到直线的距离最短本例小结例25 在椭球面第一卦限上点处切平面，使与三个坐标平面所围四面体的体积最小，求点坐标。本例小结例26 已知函数的全微分，并且，求在椭圆域上的最大值和最小值本例小结例27 设有一小山，取它的地面所在平面为坐标面，其底部所占的区域为，小山的高度函数为，（1） 设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式。（2）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在的边界线上找出使（1）中达到最大值的点。试确定攀登起点的位置。空间解析几何一、向量例1 设向量若 ； 共面 例2 例3设为单位向量,且满足.求例4 例5已知,求:(1)同时与和垂直的单位向量;(2)的面积(3)和角分线方向的单位向量。二、直线与平面例6 求与直线及平行且过原点的平面方程。例7 求过直线垂直于的平面方程。例8 求过平面，的交线与垂直的平面方程例9 过与及都垂直的直线方程例10 过平行于且与相交的直线方程例11 过与直线都相交的直线方程例12 求直线的公垂线方程三、二次曲面多元函数积分学一、二重积分1.二重积分的定义2.二重积分的几何意义和物理意义若，二重积分表示以为顶，以为底，侧面是以的边界曲线为准线，母线平行与轴的柱面的曲顶柱体的体积。若，二重积分表示在平面上占有区域的，面密度为的平面薄片的质量。例1.已知，求本例小结3、二重积分的性质 1. ，其中为区域D的面积，据此可求平面图形的面积2.比较性质 若，则特别的 推论：在上非负连续，若，则3.估值性质 设M和m分别是在闭区域D上最大值和最小值，其中为区域D的面积，则有4.中值定理 设函数在闭区域D上连续，其中为区域D的面积，则在D上至少存在一点，使 5、二重积分的计算1) 利用直角坐标计算二重积分 a）若区域D是X型区域，则D可以用不等式来表示，则b）若区域D是Y型区域，则D可以用不等式来表示，则c）若区域D即不是X型区域，也不是Y型区域，则用分块可加性，将D分成若干个X型区域和Y型区域上的积分之和。例2计算下列二重积分，其中为所围平面区域，其中所围成平面区域，其中所围成平面区域本例小结2）利用极坐标计算二重积分 a）若积分区域可用不等式来描述，则b）若积分区域可用不等式来描述，则例3，其中为所围平面区域例4.设在区域上连续，且，求例5计算，其中所围成平面区域例6计算，其中所围成平面区域在第一象限内部分本例小结3）利用对称性计算二重积分i.D关于x轴对称，表示的，则a）如果，则b）如果，则ii. D关于y轴对称，表示的，则a）如果，则b）如果，则iii. D关于O点对称，表示的一半区域，则a）如果，则b）如果，则iv.D关于对称，在上连续，表示在下方部分，则a）b）如果，则c）如果，则例7 .设是平面上以和为顶点的三角形区域，是的第一象限部分，则等于A） B） C） D）0例8.计算，其中a），b）为所围成平面区域例9.设为连续函数，为所围成平面区域，计算本例小结例10 ， ，= = = = 例11 ，=本例小结6.二重积分中的题型1）交换积分次序例12计算二次积分例13。交换二次积分的积分次序：本例小结例14计算例15计算例16设为连续函数，求本例小结2）直极相互转化例17将下列极标下的二次积分化为直标下的二次积分= 3） 分段函数的二重积分例18计算，其中例19计算，其中例20计算，其中例21计算，其中，表示不超过的最大整数。6、二重积分的应用1）.空间曲面的面积设曲面S由方程给出，D为曲面S在面上的投影区域，函数在D上具有一阶连续偏导数，则曲面面积 2）.平面薄片的质心设平面薄片占有平面上的闭区域D，在点处面密度为，假定在D上连续，则薄片的重心坐标为，特别地，若为常数，则平面图形的形心坐标为 ，其中A为D的面积。3）.平面薄片的转动惯量设平面薄片占有平面上的闭区域D，在点处面密度为，假定在D上连续，则薄片对x轴的转动惯量，对y轴的转动惯量，对O点的转动惯量分别为： 4.平面薄片对质点的引力设平面薄片占有平面上的闭区域D，在点处面密度为，假定在D上连续，则薄片对位于Z轴上点处单位质量的质点的引力 二、三重积分1、三重积分的几何意义2、三重积分的计算方法1）对称性(与二重积分类似)2）直角坐标3）柱面坐标4）球面坐标5）先二后一例1 计算下列三重积分,其中为平面所围成的四面体，其中是由平面及柱面所围成的闭区域,其中是由及所围成的闭区域本例小结例2 计算下列三重积分，其中是由与所围成的闭区域，是由与所围成的闭区域本例小结例3 计算下列三重积分，是由曲面和所围成的闭区域，为球体，由及确定本例小结例4计算下列三重积分，是由与，所围成的闭区域，为球体为绕轴旋转一周形成曲面与，所围成的闭区域本例小结3.三重积分的应用 1）求体积；2）求立体的质心及转动惯量例5求半径为的均匀半球体（密度为1）的质心及转动惯量。三、对弧长的曲线积分1 物理意义2 几何意义的周长3 计算方法（1）化为定积分平面曲线：参数方程： 直角坐标：极坐标： 空间曲线： 例1计算：的一拱例2，其中是由圆周与直线轴所围成的在第一象限的区域的整个边界例3右边的一瓣本例小结（2）利用对称性、轮换对称性、代入曲线方程例4计算从到的直线段例5填空题 设为椭圆，其周长记为，则 本例小结四、对面积的曲面积分1 物理意义2 几何意义3 计算方法（1） 化为投影上的二重积分设是在面上的投影区域，则:例1 计算，其中为半球面在圆锥面内部的部分例2 求，其中为（），被积函数例3设为椭球面的上半部分，点，为在点处的切平面，为原点到平面的距离，计算本例小结（2）利用对称性、轮换对称性、代入曲面方程例4填空题（说明原因） （1）设则 （2）设则 （3）设 （4）设 （5）= ，其中为圆柱面介于平面与之间的部分（6）= ，其中为圆柱面介于平面与之间的部分本例小结五、对坐标的曲线积分1 物理意义2计算方法（1）化为定积分若，则例1计算积分，是与轴围成的上半圆域逆时针方向的边界曲线。本例小结（2） 格林公式例2,其中是椭圆沿逆时针方向本例小结例3 计算积分，如图所示的上半椭圆：本例小结例4计算（1）（逆时针）（2）（逆时针）（3）（逆时针）本例小结例5求积分，其中是正向闭曲线：本例小结三、综合题例6如果均为常数在整个平面上与路径无关，试求；当取上述的值时，求当是曲线上从点到这一段时积分之值。例7设曲线积分与路径无关，其中具有连续导数且，试计算例8为任意闭曲线，连续，求例9设在半平面上，有一力为构成的力场，其中为常数，；证明在此力场中，场力所作的功与路径无关，并求一个函数，使得。本例小结六、对坐标的曲面积分1 物理意义2计算方法（1）分面投影法其中，是在面上的投影区域，号取决于的正向是上侧还是下侧，为上的面积元素。同样地，有例1 计算，其中为球面在第一挂限的部分，取外侧例2 计算所为立体的外表面（2）合一投影法例3计算曲面积分为介于部分的外侧。（3）高斯公式例4计算曲面积分，其中为上半球面的上侧。例5, 其中是抛物面被平面所截下的部分的下侧例6：绕轴旋转一周形成曲面法向量与轴夹角大于90度本例小结例7计算积分，（1）（外侧）（2）（外侧）本例小结例8计算积分（外侧）其中本例小结（4）第一、二类曲面积分的关系例9计算其中为平面在第四挂限的部分上侧。本例小结七、斯托克斯公式例10.利用斯托克斯公式计算下列曲线积分,所有曲线从轴的正向看去均取逆时针方向(1),是圆周 (2)是球面位于第一卦限那部分的边界线本例小结八、场论初步知识方向导数、 梯度、 散度、 旋度 例11 （1）设求（2）有连续的二阶偏导，求（3）连续，求，时本例小结微分方程一、 一阶微分方程例1 求解下列微分方程（1） (2) (3);（4）（5） （6）(7) (8) 例2 连续，为全微分方程，求，并解方程。二、可降阶的微分方程例3求解下列微分方程(1);(2);(3) (4) 三、二阶常系数微分方程例4设线性无关的函数都是方程的解，是任意常数，则该方程的通解为：例5 均为二阶非齐次线性方程为的解，求此微分方程例6.通解为求此微分方程四、综合题例7（与积分上限函数的关系）设函数连续，且满足,求例8（几何应用）设，平行于轴的动直线与曲线交于曲线直线与轴所围封闭图形面积等于的长度，求例9.设曲线L位于xoy平面的第一象限内，L上任一点M处的切线与y轴相交，其交点记为A，如果点A和点O与点M始终等距，且L通过点，试求L的方程。例10.（与偏导数的有关的题型）设求例11. （与无穷级数的有关的题型）求级数的和函数例12. （与多元积分学的有关的题型），求例13.（利用元素法建立微分方程）有一房间容积100立方米，开始时空气中的浓度0.12%，为改善空气质量用一台风扇风量为每分钟60立方米通入浓度为0.04%的新鲜空气，同时以相同的风量将混合气体排出，10分钟后，房间中的浓度。例14利用牛顿定律建立微分方程。无穷级数一、 数项级数1. 根据级数收敛与发散的定义判别下列级数的收敛性例1 例2收敛的充分必要条件是数列的极限存在。2. 用适当的方法判别下列级数的收敛性 例3 为正项级数，请证明下列级数收敛 3.判别下列级数是否收敛？是条件收敛还是绝对收敛？ ，级数收敛4.抽象级数敛散性的证明例4 设有界，证明：收敛例5设，证明：（1）存在；（2）收敛例6设收敛收敛，证明：收敛例7设级数收敛，收敛，证明：绝对收敛例8 证明：若收敛，则收敛二、幂级数1定理（Abel） 若是幂级数的收敛点，则的一切使得绝对收敛；反之，若是的发散点，则的一