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刚体的平面平行运动,物理科学学院 学号：1010243 褚航,如图所示，一根长为L的匀质细杆一段靠在光滑墙面，另一端放在光滑的地板上，与地板的夹角为 ，杆在重力的作用下下滑，求平板脱离墙壁时的值。,L,?,mg,N,1,N,2,问题,来看几个熟悉的例子,一质量为m，长为L 的均匀细杆，铅直放置在光滑的水平地面上。当杆自静止倒下时，求杆完全着地时质心的速度。,支持力N,重力mg,且,可得,由于水平方向无作用力，质心沿竖直方向运动，该运动可看做质心的平动与杆绕质心的转动。,解：由机械能守恒知，当杆倒时,两质量为m，长度为L的细棒，用一无摩擦的铰链连结成人字形，支撑于一光滑的平面上。开始时，两棒与地面的夹角为30 ，问细棒倒地时铰链碰地的速度多大。 解：同上一题一样，系统机械能守恒 ，有,30,该运动可看做两杆分别绕与地接触点的转动。由于水平方向合外力为0，因此倒地时质心的水平速度也为零，质心速度竖直向下，因此可看为只做转动。,且,但质心水平方向的速度并不是一直为零，因为两杆有作用力,得,如果将铰链去掉，两杆会因有力的作用有水平方向的速度，因此会在一定时间两杆分离，即与杆离开墙的情况相同。而且，杆的运动都可看作质心的运动与杆绕质心的转动。,当杆下滑且没有与墙面分离时，质心轨迹为半径为L/2的圆弧长。,这使我想起了高中时一个类似的问题，即一个小球自1/4圆柱斜面上滑下（无滚动），求什么时候小球离开斜面。,如果将杆看做质量集中在质心的小球，那么小球由于离心运动离开斜面就相当于杆离开墙，但区别是小球的重力势能全部转化为动能，而杆还有转动动能。,启发,解：求杆与墙分离时的角度，由机械能守恒，得,且,即,取x方向坐标沿水平方向，墙位于x=0处，当杆离开墙时，杆与竖直方向墙的作用力N=0,因此,即,而质心的坐标为,求导可得,由前面我们已得,同样，求导可得,将和带入可得,即,发现！,若 即杆在开始时竖直放立，那么有,而对于自圆柱斜面滑下的小球同样有,mg,得,！,？,也就是说，离开时的角度与是否有转动无关！,换一种方式分析，只考虑杆自竖直倒下的情况有，,且,N,当杆离开墙时，质心可看作做离心运动,也就是说，虽然,但N使得杆刚好在,处脱离，我认为这不是巧合，但目前还无法给出严
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