高等数学练习答案129.doc

习题12-9 1. 求下列各微分方程的通解: (1)2y+y-y=2ex; 解 微分方程的特征方程为 2r2+r-1=0, 其根为, r2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 . 因为f(x)=2ex , l=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=Aex, 代入原方程得 2Aex+Aex-Aex=2ex, 解得A=1, 从而y*=ex. 因此, 原方程的通解为 . (2)y+a2y=ex; 解 微分方程的特征方程为 r2+a2=0, 其根为r=ai, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1cos ax+C2sin ax. 因为f(x)=ex, l=1不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=Aex, 代入原方程得 Aex+a2Aex=ex, 解得, 从而. 因此, 原方程的通解为 . (3)2y+5y=5x2-2x-1; 解 微分方程的特征方程为 2r2+5r=0, 其根为r1=0, , 故对应的齐次方程的通解为 . 因为f(x)=5x2-2x-1, l=0是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y*=x(Ax2+Bx+C),代入原方程并整理得 15Ax2+(12A+10B)x+(4B+5C)=5x2-2x-1, 比较系数得, , , 从而. 因此, 原方程的通解为 . (4)y+3y+2y=3xe-x; 解 微分方程的特征方程为 r2+3r+2=0, 其根为r1=-1, r2=-2, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1e-x+C2e-2x. 因为f(x)=3xe-x, l=-1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y*=x(Ax+B)e-x, 代入原方程并整理得 2Ax+(2A+B)=3x, 比较系数得, B=-3, 从而. 因此, 原方程的通解为 . (5)y-2y+5y=exsin2x; 解 微分方程的特征方程为 r2-2r+5=0, 其根为r1, 2=12i, 故对应的齐次方程的通解为 Y=ex(C1cos2x+C2sin2x). 因为f(x)=exsin2x, l+iw=1+2i是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=xex(Acos2x+Bsin2x), 代入原方程得 ex4Bcos2x-4Asin2x=exsin2x, 比较系数得, B=0, 从而. 因此, 原方程的通解为 . (6)y-6y+9y=(x+1)e3x; 解 微分方程的特征方程为 r2-6r+9=0, 其根为r1=r2=3, 故对应的齐次方程的通解为 Y=e3x(C1+C2x). 因为f(x)=(x+1)e3x, l=3是特征方程的重根, 故原方程的特解设为 y*=x2e3x(Ax+B), 代入原方程得 e3x(6Ax+2B)=e3x(x+1), 比较系数得, , 从而. 因此, 原方程的通解为 . (7)y+5y+4y=3-2x; 解 微分方程的特征方程为 r2+5r+4=0, 其根为r1=-1, r2=-4, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1e-x+C2e-4x. 因为f(x)=3-2x=(3-2x)e0x, l=0不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=Ax+B, 代入原方程得 4Ax+(5A+4B)=-2x+3, 比较系数得, , 从而. 因此, 原方程的通解为 . (8)y+4y=xcos x; 解 微分方程的特征方程为 r2+4=0, 其根为r=2i, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1cos2x+C2sin2x. 因为f(x)= xcos x=e0x(xcos x+0sin x), l+iw=i不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=(Ax+B)cos x+(Cx+D)sin x, 代入原方程得 (3Ax+3B+2C)cos x+(3Cx-2A+3D)sin x=xcos x, 比较系数得, B=0, C=0, 从而. 因此, 原方程的通解为 . (9)y+y=ex+cos x; 解 微分方程的特征方程为 r2+1=0, 其根为r=i , 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1cos x+C2sin x. 因为f(x)=f1(x)+f2(x), 其中f1(x)=ex, f2(x)=cos x, 而 方程y+y=ex具有Aex形式的特解; 方程y+y=cos x具有x(Bcos x+Csin x)形式的特解, 故原方程的特解设为 y*=Aex+x(Bcos x+Csin x), 代入原方程得 2Aex+2Ccos x-2Bsin x=ex+cos x, 比较系数得, B=0, 从而. 因此, 原方程的通解为 . (10)y-y=sin2x . 解 微分方程的特征方程为 r2-1=0, 其根为r1=-1, r2=1, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1e-x+C2ex. 因为, 而 方程的特解为常数A; 方程具有Bcos2x+Csin2x形式的特解, 故原方程的特解设为 y*=A+Bcos2x+Csin2x,代入原方程得 , 比较系数得, C=0, 从而. 因此, 原方程的通解为 . 2. 求下列各微分方程满足已给初始条件的特解: (1)y+y+sin x=0, y|x=p=1, y|x=p=1; 解 微分方程的特征方程为 r2+1=0, 其根为r=i, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1cos x+C2sin x. 因为f(x)=-sin2x=e0x(0cos2x-sin2x), l+iw=i是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=Acos2x+Bsin2x, 代入原方程得 -3Acos 2x-3Bsin2x=-sin2x, 解得A=0, , 从而. 因此, 原方程的通解为 . 由y|x=p=1, y|x=p=1得C1=-1, , 故满足初始条件的特解为 . (2)y-3y+2y=5, y|x=0=1, y|x=0=2; 解 微分方程的特征方程为 r2-3r+2=0, 其根为r1=1, r2=2, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e2x. 容易看出为非齐次方程的一个特解, 故原方程的通解为 . 由y|x=0=1, y|x=0=2得 , 解之得C1=-5, . 因此满足初始条件的特解为 . (3)y-10y+9y=e2x, , ; 解 微分方程的特征方程为 r2-10r+9=0, 其根为r1=1, r2=9, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1ex+C2e9x. 因为f(x)=e2x, l=2不是特征方程的根, 故原方程的特解设为 y*=Ae2x, 代入原方程得 (4A-20A+9A)e2x=e2x, 解得, 从而. 因此, 原方程的通解为 . 由, 得. 因此满足初始条件的特解为 . (4)y-y=4xex, y|x=0=0, y|x=0=1; 解 微分方程的特征方程为 r2-1=0, 其根为r1=-1, r2=1, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1e-x+C2ex. 因为f(x)=4xex, l=1是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y*=xex(Ax+B), 代入原方程得 (4Ax+2A+2B)ex=4xex, 比较系数得A=1, B=-1, 从而y*=xex(x-1). 因此, 原方程的通解为 y*=C1e-x+C2ex+xex(x-1). 由y|x=0=0, y|x=0=1得 , 解之得C1=1, C2=-1. 因此满足初始条件的特解为 y=e-x-ex+xex(x-1). (5)y-4y=5, y|x=0=1, y|x=0=0. 解 微分方程的特征方程为 r2-4r=0, 其根为r1=0, r2=4, 故对应的齐次方程的通解为 Y=C1+C2e4x. 因为f(x)=5=5e0x, l=0是特征方程的单根, 故原方程的特解设为 y*=Ax, 代入原方程得 -4A=5, , 从而. 因此, 原方程的通解为 . 由y|x=0=1, y|x=0=0得, . 因此满足初始条件的特解为 . 3. 大炮以仰角a、初速度v0发射炮弹, 若不计空气阻力, 求弹道曲线. 解 取炮口为原点, 炮弹前进的水平方向为x轴, 铅直向上为y轴, 弹道运动的微分方程为 , 且满足初始条件 . 易得满足方程和初始条件的解(弹道曲线)为 . 4. 在R、L、C含源串联电路中, 电动势为E的电源对电容器C充电. 已知E=20V, C=0.2mF(微法), L=0.1H(亨), R=1000W, 试求合上开关K后电流i(t)及电压uc(t). 解 (1)列方程. 由回路定律可知 , 即 , 且当t=0时, u c=0, uc=0. 已知R=1000W, L=0.1H, C=0.2mF, 故 , , . 因此微分方程为. (2)解方程. 微分方程的特征方程为r2+104r+5107=0, 其根为r 1, 2=-51035103i. 因此对应的齐次方程的通解为 . 由观察法易知y*=20为非齐次方程的一个特解. 因此非齐次方程的通解为 . 由t=0时, u c=0, uc=0, 得C1=-20, C2=-20. 因此 (V), (A). 5. 一链条悬挂在一钉子上, 起动时一端离开钉子8m另一端离开钉子12m, 分别在以下两种情况下求链条滑下来所需的时间: (1)若不计钉子对链条所产生的摩擦力; 解 设在时刻t时, 链条上较长的一段垂下xm, 且设链条的密度为r, 则向下拉链条下滑的作用力 F=xrg-(20-x)rg=2rg(x-10). 由牛顿第二定律, 有 20rx=2rg(x-10), 即. 微分方程的特征方程为 , 其根为, 故对应的齐次方程的通解为 . 由观察法易知x*=10为非齐次方程的一个特解, 故通解为 . 由x(0)=12及x(0)=0得C1=C2=1. 因此特解为 . 当x=20, 即链条完全滑下来时有, 解之得所需时间 s. (2)若摩擦力为1m长的链条的重量. 解 此时向下拉链条的作用力变为 F=xrg-(20-x)rg-1rg=2rgx-21rg 由牛顿第二定律, 有 20rx=2rgx-21rg, 即. 微分方程的通解为 . 由x(0)=12及x(0)=0得. 因此特解为 . 当x=20, 即链条完全滑下来时有, 解之得所需时间 s. 6. 设函数j(x)连续, 且满足 , 求j(x). 解 等式两边对x求导得 , 再求导得微分方程 j(x)=ex-j(x), 即j(x)+j(x)=ex. 微分方程的特征方程为 r2+1=0, 其根为r1, 2=i, 故对应的齐次方程的通解为 j=C1cos x+C2sin x. 易知是非齐次方程的一个特解, 故非齐次方程的通解为 . 由所给等式知j(0)=1, j(0)=1, 由此得. 因此 . 在本省行政区域内从事草原保护、管理、建设和利用以及承包经营等活动，适用本条例。本条例所称草原，是指具有草原生态功能或者适用于畜牧业生产的天然草原和人工草地。天然草原包括草地、草山和草坡，人工草地包括改良草地和退耕还草地。appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition. Width 2-3 mm from the edge of weld Groove. Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm. Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm. Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm (wall thickness mm t) incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door. 7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color. 7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width 1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0. 7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful. 7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste. 7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is cl