2019届高考数学二轮复习第一部分把脉考向精准定位2二、综合性——着眼题型凸显能力学案.docx

二、综合性着眼题型凸显能力数学文化三角与向量解析几何与向量函数与不等式概率与实际应用直线与圆锥曲线试题的综合性是高考试题的重中之重，其主要特征是多知识点的交汇，条件和结论由紧密相关的知识构成，是知识网的具体体现，该类问题多呈现在向量与三角、向量与解析几何、概率与应用、直线与圆锥曲线、函数与不等式、数列与方程或函数、平面几何与立体几何等等解答此类问题必须注意以下三点：(1)理清知识体系(2)建立知识网络关系(3)注重目标的达成综合性典例解析核心素养数学文化1.(2018高考全国卷)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.ABC的三边所围成的区域记为，黑色部分记为，其余部分记为.在整个图形中随机取一点，此点取自，的概率分别记为p1，p2，p3，则()A.p1p2 Bp1p3Cp2p3 Dp1p2p3目标考查数学文化与几何概型，考查圆与三角形面积和运算求解能力解析：选A.法一：设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域的面积即ABC的面积，为S1bc，区域的面积S2(c2b2a2)bcbc，所以S1S2，由几何概型的知识知p1p2，故选A.法二：不妨设ABC为等腰直角三角形，ABAC2，则BC2，所以区域的面积即ABC的面积，为S1222，区域的面积S2122，区域的面积S322.根据几何概型的概率计算公式，得p1p2，p3，所以p1p3，p2p3，p1p2p3，故选A.续表综合性典例解析核心素养数学文化2.(2018高考全国卷)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是()A. B.C. D.目标考查数学文化与古典概型，考查素数的定义与性质和运算求解能力解析：选C.不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，从中随机选取两个不同的数有C种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的有3对，所以所求概率P，故选C.三角与向量3.(2016高考全国卷)已知向量，则ABC()A.30 B45C60 D120目标考查向量的基本运算和三角函数的求值解析：选A.由两向量的夹角公式，可得cos ABC，则ABC30.4.(2017高考全国卷)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为()A.3 B2C. D2目标考查直线与圆的位置关系，考查向量的线性运算和数形结合思想、转化化归思想，考查三角函数的相关知识解析：选A.以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2xy20，点C到直线BD的距离为，圆C：(x1)2(y2)2，因为P在圆C上，所以P，(1，0)，(0，2)，(，2)，所以2cos sin 2sin()3，tan 2，选A.解析几何与向量5.(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A.5 B6C7 D8目标考查直线与抛物线的位置关系，考查转化化归思想和向量的坐标运算解析：选D.过点(2，0)且斜率为的直线的方程为y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以(0，2)，(3，4)，所以8.故选D.续表综合性典例解析核心素养解析几何与向量6.(2018高考全国卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m0)(1)证明：k；(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且0.证明：2|.目标考查直线与椭圆的位置关系，考查转化化归思想和向量的坐标运算解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1.两式相减，并由k得k0.由题设知1，m，于是k.由题设得0m，故k.(2)由题意得F(1，0)设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.又点P在C上，所以m，从而P，|.于是|2.同理|2.所以|4(x1x2)3.故2|.函数与不等式7.(2018高考全国卷)设函数f(x)，则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()A.(，1 B(0，)C(1，0) D(，0)目标考查函数与不等式的关系，考查转化化归思想和数形结合思想与运算求解能力解析：选D.当x0时，函数f(x)2x是减函数，则f(x)f(0)1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(x1)f(2x)，则需或所以x0，故选D.8.(2018高考全国卷)设alog0.20.3，blog20.3，则()A.abab0 Babab0Cab0ab Dab0ab 目标考查对数函数性质与不等式的大小比较，考查转化化归思想与逻辑推理能力和运算求解能力解析：选B.由alog0.20.3得log0.30.2，由blog20.3得log0.32，所以log0.30.2log0.32log0.30.4，所以01，得01.又a0，b0，所以ab0，所以abab0.9.(2018高考全国卷节选)已知函数f(x)exax2.若a1，证明：当x0时，f(x)1.目标考查函数的单调性与不等式，考查转化化归思想、函数与方程思想和运算求解能力证明：当a1时，f(x)1等价于(x21)ex10.设函数g(x)(x21)ex1，则g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.当x1时，g(x)0，所以g(x)在(0，)单调递减而g(0)0，故当x0时，g(x)0，即f(x)1.续表综合性典例解析核心素养概率与实际应用10.(2018高考全国卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位： m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0，0.1)0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)0.6，0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0，0.1)0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)频数151310165(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)目标考查频率分布表、频率分布直方图，用频率估计概率和平均数，考查统计知识在实际中的应用及运算求解能力解：(1)(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.20.110.12.60.120.050.48.因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.480.35)36547.45(m3).11.(2018高考全国卷)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，17)建立模型：y30.413.5 t；根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1，2，7)建立模型：y9917.5t.(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.目标考查变量间的相关关系，利用回归直线方程进行估计，考查统计知识在实际中的应用解：(1)利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为30.413.519226.1(亿元).利用模型，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为9917.59256.5(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：()从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y30.413.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型9917.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠.()从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠.续表综合性典例解析核心素养直线与圆锥曲线12.(2018高考全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.目标考查直线与椭圆的位置关系及其方程，考查直线的倾斜角与斜率及椭圆的几何性质，考查分类讨论，与转化化归思想和逻辑推理及运算求解能力解：(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为yx或yx.(2)证明：当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x20)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程目标考查直线、抛物线与圆的方程及其位置关系，考查抛物线的几何性质，考查转化化归思想和逻辑推理与运算求解能力解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.一、选择题 “折竹抵地”是九章算术中的一个典型问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子原高1丈，中部有一处折断，其竹梢恰好触地，触地处与竹根的距离为3尺，问折断处离地面多高？如图所示，若竹子折断后，在AB上任取一点P，则点P到两端点A，B的距离均不小于1尺的概率为(注：1丈10尺)()A.B.C. D.解析：选B.如图所示，设ABx，ACy(单位：尺)则由题意可得即整理得解得故所求事件的概率P1.故选B. 已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是线段AC1上的一动点，当BPD最大时，则APAC1()A14 B13C12 D11解析：选B.连接AC，BD，交于点O，连接OP，显然OPBD，BPD2BPO，要使BPD最大，只需BPO最大，只需OP最小，此时OPAC1.由平面几何的知识易得，当OPAC1时，APAC113. 已知函数f(x)若方程f(x)a有4个不相等的实数根，则a的取值范围是()A1，2) B(1，2)C2，e) D(2，e)解析：选B.如图，作出函数f(x)的大致图象，其中f(1)2，f(0)f(1)1.作出直线ya，显然当a(1，2)时，直线ya与函数f(x)的图象有4个不同的交点，即方程f(x)a有4个不相等的实数根故选B. 已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线C上一动点，若F1PF2的面积为b2，且PF2F12PF1F2，则双曲线C的离心率为()A.2 B.C.1 D2解析：选C.设F1PF2，则在PF1F2中，利用余弦定理可得，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos (|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos ，即4c24a22|PF1|PF2|(1cos )，2b2|PF1|PF2|(1cos )，|PF1|PF2|.又SF1PF2|PF1|PF2|sin b2，所以sin 1cos ，又sin2cos21，0，所以，即F1PF2，即PF1PF2，又PF2F12PF1F2，所以PF2F1，PF1F2，所以|PF1|c，|PF2|c，所以|PF1|PF2|(1)c2a，则离心率e1.故选C.二、填空题 已知向量a(sin ，1)，b(2cos21，cos )，若ab，则tan(2 0182)_解析：因为ab，所以sin cos 2cos21，即sin 2cos 2，可得tan 22，则tan(2 0182)tan 22.答案：2 设曲线yxn1(nN*)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 019x1log2 019x2log2 019x2 018的值为_解析：因为y(n1)xn，所以当x1时，yn1，所以曲线yxn1在点(1，1)处的切线方程为y1(n1)(x1)令y0，可得xn，所以log2 019x1log2 019x2log2 019x2 018log2 019(x1x2x2 018)log2 019log2 0191.答案：1三、解答题 已知ABC的内心(内切圆的圆心)为O，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cb2acos B，a1.(1)求角A的大小；(2)求点O到BC边距离的最大值解：(1)由2cb2acos B，可得2sin Csin B2sin Acos B.在ABC中，C(AB)，则2sin(AB)sin B2sin Acos B，即2sin Acos B2cos Asin Bsin B2sin Acos B，整理得sin B(2cos A1)0.因为sin B0，所以cos A，又A(0，)，故A.(2)因为O为ABC的内心，所以OBCOCB，则BOC.在BOC中，由余弦定理得OB2OC22OBOCcos a21，又OB2OC22OBOC，所以3OBOC1，所以OBO