银行利率1金融论文.doc

1 目目 录录 目 录 .1 第一章 引言 2 1.1 研究背景2 1.1.1 研究起源 2 1.1.2 预备知识 2 1.2 本课题的研究内容4 第二章 贷款利率模型 6 2.1 银行存款利率与贷款利率间的奥秘6 2.1.1 银行存款利率基本知识.6 2.1.2 不同存款模型在现实中的比较 8 2.1.3 银行贷款利率基本知识11 2.1.4 等本等息还款法和等本不等息还款法实际应用模型的比较 .13 小结 16 参考文献 17 感谢信 18 2 第一章第一章 引言引言 1.11.1 研究背景研究背景 1.1.11.1.1 研究起源研究起源 银行利率与人们的生活密不可分，从存款到贷款，都与利率相关，我们可以 根据不同的方式进行计算后来判断哪一种方法的存贷款更贴近自己的实际. 存款是我们每个人生活的一部分，很多人从出生以来父母就可能给他们存入 了不同种类的存款，究竟这些存款是真的有利，还是虚有其表，这些都值得我们 探究. 贷款同样与人们的生活息息相关，随着“先消费后买单”观念渐渐的深入人 心，人们渐渐接受了“贷款”这个名词，房贷、车贷成为时下最受欢迎的贷款项 目，还有农村可以办理的小额贷款，公司周转资金时进行的抵押贷款，等等.最 早的抵押贷款产生于英国，11 世纪的时候，一个英国的佃农向一个贵族用自己的 房子作为抵押借用了一笔钱，并每年偿还一定的费用作为借用这笔钱的利息，若 换不出钱，则自己的房子将被贵族收取，他用换的钱买了土地，并按时还利息， 30 年过后，他还完了利息以及本金，土地变归了佃农所有，后来有许多农户效仿， 成为了一种气候.20 世纪以来贷款衍生出来许多的种类，并广泛被人们所接受. 既然银行利率问题与现实生活的关系那么密切，那我们该办理什么样的存贷 款？存贷款时因该注意什么？银行看似对我们有利的条款对我们而言是不是真的 有利？ 在文章中，我们将通过建立数学模型对存款和贷款进行分析，让银行利率问 题更贴近自己的生活，让数学距生活不再遥远！ 1.1.21.1.2 预备知识预备知识 存款存款指存款人在保留所有权的条件下把资金或货币暂时转让或存储与银行或 其他金融机构，或者是说把使用权暂时转让给银行或其他金融机构的资金或货币， 是最基本也最重要的金融行为或活动，也是银行最重要的信贷资金来源. 存款种类存款种类：存款可按多种方式分类，如按产生方式可分为原始存款和派生存 款，按期限可分为活期存款和定期存款，按存款者的不同（以中国为例），则可 划分为单位存款和个人存款.个人存款即居民储蓄存款，是居民个人存入银行的 货币. 3 贷款贷款是银行或其他金融机构按一定利率和必须归还等条件出借货币资金的一 种信用活动形式.广义的贷款指贷款、贴现 、透支等出贷资金的总称.银行通过 贷款的方式将所集中的货币和货币资金投放出去，可以满足社会扩大再生产对补 充资金的需要，促进经济的发展；同时，银行也可以由此取得贷款利息收入，增 加银行自身的积累. 贷贷款款要要素素：贷款对象、品种、金额、期限、利率 |费率（价格） 、担保方 式、使用方式、清偿方式、约束条件 利利息息是指借款人为取得资金使用权而向 贷款人支付的报酬，它是 资本 （即贷出的本金）在一定期间内的使用价格 . 在民法中，利息是本金的法定孳息 . 利利率率一定期限内利息与贷款资金总额的 比率，是贷款价格的表达形式 .即： 利率=利息额/贷款本金利率分为 日利率、月利率、年度利率. 贷款人依据各国相关法规所公布的 基准利率、利率浮动空间，而与该贷 款银行确定贷款利率. 基基准准利利率率是金融市场上具有普遍参照作用的利率，其他利率水平或 金融 资产价格均可根据这一基准利率水平来确定 .基准利率是利率市场化的重要前 提之一，在利率市场化条件下，融资者衡量 融资成本，投资者计算投资收益， 以及管理层对宏观经济的调控，客观上都要求有一个普遍公认的基准利率水平 作参考.所以，从某种意义上讲，基准利率是利率市场化机制形成的核心.说 简单点，就是你平时往银行里存钱，他给你利息 .基准利率越大，利息越多； 基准利率越小，利息越小 . 2 20 01 11 1 年年最最新新基基准准利利率率 ： 单位：年利率% 项 目 一、各项商业贷款2011-2-9 调整后利率 六个月以内（含） 5.60 六个月至一年（含） 6.06 二至三年（含） 6.10 4 四至五年（含） 6.45 五年以上 6.60 二、个人住房公积金贷款2011-2-9 调整后利率 五年以下（含五年） 4.00 五年以上4.50 注：中国人民银行决定，自 2011 年 2 月 9 日起上调金融机构人民币存贷款 基准利率. 贷贷款款对对象象：自然人 ； 法人或其代表人企业法人、事业法人 ； 其他 经济组织或其负责人、代理人. 贷贷款款流流程程：一般贷款的流程是贷款申请人提交个人贷款需求和大概资料给 银行或者贷款产品代理机构，然后银行对贷款申请者的贷款申请进行初步审核， 并安排专人联系贷款申请者，联系后如果通过初审，然后再 指导贷款申请者 提供所需材料，然后再审核，最终达成贷款放款. 贷贷款款材材料料： 一般贷款申请，需要的材料如下： （2）借款人有效身份证件 的原件和复印件； （3）当地常住户口或有效居留身份的证明材料 （4）借款人贷款偿还能力证明材料 .如借款人所在单位出具的收入证明、 借款人纳税单、 保险单. （5）借款人获得质押、抵押额度所需的质押权利、 抵押物清单及权属证 明文件，权属人及 财产共有人同意质押、抵押的书面文件 . 借款人获得保证额度所需的 保证人同意提供担保的书面文件 . （6）保证人的资信证明材料 . （7）社会认可的评估部门出具的抵押物的评估报告 银行规定的其他文件 和资料. 1.21.2 本课题的研究内容本课题的研究内容 文章介绍了一些在银行存款中我们应该如何做才能做到利益最大化，到底是 我们应该将存款存为定期呢，还是银行推出的活期的以利滚利的方式进行的存款 5 划算？究竟是一次性定期存款划得来还是存银行推出的随利率变动而自行结息的 存款划得来？我们将通过实例，建立数学模型，解决这些问题. 文章还谈到了与我们生活息息相关的另一个数学模型关于贷款还款的模 型，究竟是等本等息还款法有利，还是等本不等息还款法更有利？这些模型的建 立更有助于我们了解贷款的本质. 这些模型在实际生活中对我们进行贷款决策还是很有用的，我们现在都提倡 先消费后还款的理念，而如何使我们这一理念跟有效的进行，希望文章中的方法 会对我们有一定的帮助. 6 第二章 贷款利率模型 2.12.1 银行存款利率与贷款利率间的奥秘银行存款利率与贷款利率间的奥秘 2.1.12.1.1 银行存款利率基本知识银行存款利率基本知识 国内各商业银行根据存款的期限不同，将人民币存存业务分为活期储蓄和定 期储蓄两大品种.活期储蓄是指不确定存期，储户可随时存取款且存取金额不限 的一种储存方式.定期储蓄是储户在存款是约定存期，一次或按期分次存入本金， 整笔或分期、分次支取本金或利率的一种储蓄方式.定期储蓄按照存取方式的不 同分为整存整去、零存整取、整存零取、存本取息、定活两变和通知存款等多种 类型. 储蓄存款利率由国家统一规定，人民银行挂牌公告.利率也称利息率，是在 一定日期内利息与本金的利率，一般分为年利率、月利率、日利率三种.年利率 以百分比表示，月利率以千分比表示，日利率以万分比表示.如年息九分写为，9% 即每百元存款定期一年的利息为 元，月息六厘写为，日息一毫五写为90.6 ，即每万存款每日利息为一元五角.为了计息方便，三种利率之间可以换算，0.5 其换算公式为： ； ； 12 年利率月利率30月利率日利率 .360 年利率日利率 活期储蓄是居民储蓄存款中最基本和最重要的一种形式.银行规定各种储蓄 存款除活期年度结息可将利息转入本金生息外，其他各种储蓄不论存期如何，一 律于支取时利随本清，不计复息.活期储蓄每年 6 月 30 日结算一次利息并记入本 金.银行还规定不论闰年、平年，不论月大月小，全年按天计算.360 设根据中国人民银行公告，活期储蓄存款年利率为，按照换算公式，0.72% 月利率为，日利率为（为方便起见，我0.0006120.72%0.000023600.72% 们仍用小数来表示利率）.例如 2004 年 1 月 1 日存入活期元，一年之后于10000 2004 年 12 月 31 日全部取出.按照年利率的定义，本金加利息为 元.100720.00721000010000 所以，我们的除定期存款的公式 年数利率本金本金数定期存款到期后的总钱 由于活期储蓄每年 6 月 30 日结算一次利息并记入本金，计算利息是应该分 成两个阶段：2004 年 1 月 1 日至 2004 年 12 月 31 日.两个阶段的时间均未到一年， 7 恰为个月，因此计算利息时不能按照年利率来计算，而应按照月利率计算.前一6 阶段结束时的本金及利息共为元.(注意此处的利100360.000610000610000 息为六个月的利息的简单相加).根据银行规定，过一阶段的本金变为元而10036 非最初的元，到 2004 年 12 月 31 日全部取出时，最终拿到的本金加利息应10000 为元.10072.130.000610036610036 为什么会比原来计算的元多出元呢？显然只可能是 6 月 30 日结息100720.13 一次并记入本金的原因！结息一次利息便多出元，那么多次结息几次呢？银0.13 行定活期储蓄每年只在 6 月 30 日结息一次并记入本金.如我们在 2004 年 1 月 31 日将本金和利息全部取出，银行必须为我们结息，当日将结息之后本金加利息作 为新的本金继续存成活期，到 2 月 28 日（或 29 日）再将本金和利息全部取出并 作为新的本金继续存成活期，以此类推，到 12 月 31 日全部结息取出，银行共需 给我们结 12 次息.1 月 31 日的本金和利息共为 元；2 月 28 日的本金和利息共10006)0.0006(110000100061000010000 为元12 月 31 2 )0.0006(1100000.0006)(1100060.00061000610006 日的本金加利息共为，又多了元钱.10072.24)0.0006(110000 12 0.11 所以，我们得出日日结息的公式 天数 日利率）（本金日日结息得到的总钱数1 看来增加结息计入本金的次数确实可以增加利息！我们再来试试让银行每天 给我们结息并记入本金，也就是说，我们每天到银行将存款全部取出，并于当日 将本金和利息作为新的本金继续存成活期，当然这个工作量相当烦！到 12 月 31 日，银行一共要我们按日利率结息次（因为不是按年存取所以不受银行每年365 按天计算的限制） ，得到的本金和利息共为360 元，要比按天结算的10073.27)0.00002(110000 365 360 要多出元！当然，银行不可能让你拿走这么10072.26)0.00002(110000 360 1.01 多的利息的，因为银行规定储蓄存款利息计算时，本金以“元”为起息点，元一 下的角、分不计利息，利息的金额算至分位，分位以下四舍五入.并且你也不可 能每天跑到银行存取款，如果这样还不如存一年的定期，到期全部取出.根据当 前定期一年的年利率计算，到期的本金和利息共为1.98% 元.从银行的角度看，虽然你每日存取款但你的10198)0.0198(110000 元的本金相当于存了一年定期，银行却只需要给你支付比一年定期存款的10000 8 利息元少得多的多元.而对于你而言，你相当于损失了多元的收入，并19870120 且有付出了看太多的劳动，实在是得不偿失. 现在我们来考虑一个数学问题，假设本金不论元、角、分均计算，并且可以 按小时、分钟、秒、毫秒甚至更短的时间存取款（存取所花费的时间不计） ，则 2004 年 1 月 1 日存入活期元，按照这些存取方法满一年之后于 2004 年 1210000 月 31 日全部取出时，根据前述的规律，按小时存取款要比按日存取款得到的利 息多，按分钟存取款又要比按小时存取款得到的利息多等等，及利息是存取次数 的严格单调递增函数.问如果可以在任意时刻存取款，同样的元钱不断的存10000 取再存取，满一年之后得到的利息是否会趋近于无穷大？ 按照题意我们在任意时刻存取款，也就是说，在一年中可以存取款无穷多次.那 么如何实现存取款无穷多次呢？我们可以对此问题作如下改进：先假设我们在一 年中等间隔的存取有限次，不妨记为次，然后再令趋向于无穷大.设按月取款，nn ，如果按日取款且每年按天计算， 12 年利率月利率360 ，那么我们等间隔的取款，每次利率应为360 年利率日利率 .同前面的计算方法一样，等间隔的存取次之后本金和利息为取款次数年利率n 存取无穷多次之后的本金和利息为， n n)/0072 . 0 1 (10000 n n n)/0072 . 0 1 (10000lim 而由熟知的公式，我们可以得到en n n )/11 (lim ，利息仅有 72.26 元，比定期存26.1007210000)/0072. 01 (10000lim 0072. 0 en n n 款的利息少得多. 2.1.22.1.2 不同存款模型在现实中的比较不同存款模型在现实中的比较 由上一节我们知道了，利息虽然是天天结息“利滚利”的存下去会使钱变得 的更多一点，但天天去银行取出存进不仅费时费力，有时还不如存成定期来的钱 多，所以，我们在存款时要根据自身的情况来决定我们究竟要怎样存款.下面， 我们就来看一个实际的例子. 我国已逐步实行了大学收费制度.为保障子女将来的教育费用，某家庭从他 们的儿子出生时开始，每年在银行中存入若干元作为将来子女的教育基金.若年 利率为，儿子 18 岁入大学后供需受教育费用约为 10 万元，试问：%10 （1） 该家庭每年应存入银行多少钱？ 9 （2） 若银行推出的了一种高利润的定期贷款，利率为利率为每六年结息一%15 次，六年结束时，本金与利息共同转入下一个六年，则这个家庭至少需要 多少的启动资金才可以选择这种存款？ （3） 若银行还推出了另一种存款方式，每年存入固定的钱，但利率随市场利率 变动而变动，则每年应存入多少钱？（第一年至第八年利率一直为，%8 第九年至第十二年利率为，第十三年至第十四年利率为，第十五%15%20 年至第十八年利率为）%5 （4） 比较以上三种方法，该家庭应该选择哪种方法？ 分析分析 题目中给出了三种存款的方式，乍一看，三种情况各有利弊，但究竟哪一种 方式更实用，我们需要通过计算来完成. 第一种方法每年都有固定的利率，还可以进行利滚利，对于收入稳定的家庭 固然是好；第二种方法一次性要存入六年的钱，对于收入没那么高的人可能会接 受不了，但利率高，可能在计算后总共存入的本金会相对较少；第三种方法同样 能实现利滚利，但利率是变化的，应此风险会相对加大. 假设条件假设条件 我们假设银行不会倒闭，该家庭每年都有收入，不会面临下岗等因素. 符号说明符号说明 我们用表示存款年数，表示需要存款的次数， 表示利率，表示每年存nkra 入的钱数， 表示 18 年后期望得到的钱数.表示我们总共需要存入的钱数.sx 解：解：（1）由已知可得，我们需要求解.18n%10r100000sa 由于是利滚利方式，我们可得方程 araa1 . 1)1 ( 1 arrarraaa31 . 2 )1)(2()1)(1 ( 2 arrrararraa641 . 3 )1)(33()1()1)(2( 2 3 aa1051 . 5 4 ，aa71561 . 6 5 aa487 . 8 6 aa4359.10 7 aa5795.12 8 ，aa9374.14 9 aa5312.17 10 aa3843.20 11 aa5227.23 12 ，aa975.26 13 aa7725.30 14 aa9497.34 15 aa5447.39 16 ，aa5991.44 17 aa1591.50 18 于是 10 aas1591.50 18 将具体数字代入上式可得 a1591.50100000 解得：元.1994a 总共存入的钱数.35892x （2）由已知可得，我们需要求解每六年应存入的3k%15r100000s 钱数.b 根据题目，我们可得到方程 bbs9 . 1) 1615 . 0 ( 1 bbss51 . 5 ) 1615 . 0 )( 12 bbsss369.12) 1615. 0)( 23 将具体数字代入上式可得 b396.12100000 解得：.8067b 总共存入的钱数.24201x （3）由已知可得，（18 年），（912 年），18n%8 1 r%15 2 r （1314 年），（1518 年），我们需要求解.%20 3 r%5 4 r100000sa 由于是利滚利方式，我们可得方程 aaa08 . 1 )08 . 0 1 ( 1 ，aa2464 . 2 2 aa5061. 3 3 aa9466 . 5 4 aa5023 . 7 5 ，；aa1825 . 9 6 aa9971.10 7 aa9569.12 8 0504.16)15 . 0 1 () 19569.12( 9 aa， aa608.19 10 ，；aa6992.23 11 aa404.28 12 2849.35)2 . 01 () 1404.28( 13 aa，；aa5418.43 14 7689.46)05 . 0 1 () 15418.43( 15 aa，aa1574.50 16 aa7152.53 17 ，. aa451.57 18 于是 aas451.57 18 将具体数字代入上式可得 11 a451.57100000 解得：.1741a 总共存入的钱数.31331x 总结总结 由上面计算比较可知，第二中方法确实会是付出的钱数较少，但要求一次存 入六年的钱数，一次性支出较大，对于不具备这种条件的家庭而言，不切合实际.而 第一种方法与第三种方法相比较第三种方法稳定性较差，具备的风险较大，但只 要平均利率高于正常利率，便会划得来.如果能预测出银行利率未来的走势，我 想，第一种与第三种方法的抉择还是有可行性的. 2.1.32.1.3 银行贷款利率基本知识银行贷款利率基本知识 我国改革开放二十多年来取得的成就举世瞩目，人民生活水平的提高有目 共睹，口袋里的钱越来越鼓.但近些年全国各地大力开发房地产市场使商品房价 格一涨再涨，居高不下，造成了现在动辄上百万元的商品房价格.以兰州为例， 市中心房价 1999 年底房价为每平方米 2000 元左右，到 2010 年初已达到每平方 米 10000 元左右.房价上涨速度远高于口袋里钱鼓起来的速度，因此，现阶段挣 “死工资”的人要圆住房梦，唯一的选择就是走住房贷款的路.现在商业银行普 遍加大了个人住房贷款的力度， “门槛”一降再降，向银行申请个人住房贷款对 有较高固定收入的人来说已不是难事.全国各大银行个人住房贷款品种齐全，既 有针对在住房一级市场上购买商品房的个人发放的住房贷款也有针对在住房二级 市场购买二手房的个人发放的再交易住房贷款；既有公积金个人住房贷款，也有 个人住房贷款，还有组合贷款等等. 现在，银行个人住房贷款的还款方式主要有两种：一种是等本不等息递减还 款法，即每月偿还贷款本金相同而利息随本金的减少而逐月递减，直至期满还清； 另一种是等额本息还款法，即每月一相等的额度平均偿还贷款本息，直至期满还 清. 假如你现在为购买住房必须向银行申请住房贷款万元，并分年还清，你2030 会选择哪一种还款方式？ 按照中国人民银行的规定，从 2002 年 2 月 21 日起，贷款期限为 年以上的5 贷款年利率为，那么我们可以计算出，贷款的月利率大约为，然后5.04%4.02 12 按照第一种等本不等息递减还款方式，每月偿还的本金为元，而第56.555 1230 200000 一个月需还的利息为元，第一个月总还款而为；第8400042 . 0 2000001395.56 二个月由于已还本金元，还需的利息也相应的减少为555.56 元，第二个月总还款额为元，以此类推，67.8370042 . 0 )56.555200000(1393.23 每月还款额的的公式为 月利率累计已还本金）（贷款本金 还款期数 贷款本金 每月还款额 最后一个月还款额仅为元.可以计算出按照此种还89.5570042 . 0 56.55556.555 款方式，累计还款总额为元，还款总利息为元.351620151620 于每月平均偿还贷款本金的等本不等息递减还款方式不同的是，等本等息还 款法需要每月以相等的额度平均偿还贷款本息，那么这个相同的额度是多少，应 当如何计算呢？ 为方便计算，假设贷款本金为，贷款月利率为 ，第个月后欠款的金额 0 arn 为，每月还款额度为.显然有 n ax （2.11）xraa)1 ( 01 即若次月月末还款金额为，则第一个月后欠款额为欠款总额减去已划x)1 ( 0 ra 款额度，同理我们有x xraa)1 ( 12 xraa)1 ( 23 （2.12）xraa nn )1 ( 21 （2.13）xraa nn )1 ( 1 （2.12）式与（2.13）式两式相减得 （2.14）)1)( 211 raaaa nnnn 此式表明，数列是以为首项，为公比的等比数列.有等比数a-a 1 -nn01 a-ar1 列的通向公式，我们有 1 011 )1)( n nn raaaa 2 0121 )1)( n nn raaaa 13 1 0112 )1)(raaaa 0 0101 )1)(raaaa 将这个式子相加可得n r r aa r r aaaa nn n 1)1 ( )( )1 (1 )1 (1 )( 01010 故有 （2.15） r r aaaa n n 1)1 ( )( 010 假设为还款期数，第个月后贷款已全部还清，欠款金额应为 0 元，为求出nn 每月的平均还款额度，令，并将（2.11）式代入（2.15）式，马上可x0 n a 以得到 （2.16） 1)1 ( )1 ( 0 n n r r rax 每月还款额的公式为 11 1 还款期数 还款期数 月利率）（ 月利率）（ 月利率贷款本金每月还款额 将本金，月利率以及还款期数代入200000 0 a0042 . 0 r3601230n （2.16）式，马上可以得到利用等额本息还款法还款每月还款额为 1078.54， 累计还款总额为 388274.4 元，还款总利息为 188274.4 元. 同样的本金，同样的还款期数，而使用等额本息还款法还款要比等本不等 息递减还款法还款多付 36654.4 元利息.看来贷款买房还是有点学问的，到底采 用哪种还款方式合算呢，这要看每个人的还款能力而定，假如你打算贷款购房， 你会采取那种还款方式呢？ 由上推导公式时所用的简单的例子可知，如果还款时间长，还款的数额不 算特别大，等本不等息递减的还款方式与等本等息的还款方式每月还款金额起 初其实相差不大，但等本不等息的方式明显在最后的几年还钱数目明显少与等 本等息，总共还的利息数目也少很多，故大多数人肯定选择等本不等息的方法. 2.1.42.1.4 等本等息还款法和等本不等息还款法实际应用模型的比较等本等息还款法和等本不等息还款法实际应用模型的比较 14 还贷方式的多种多样性，使得人们不得不考虑怎样还贷款才是最优的选择. 我们在上面介绍了两种比较基本的方法：等本等息与等本不等息，由我们推导公 式时所用的简单的例子可知，如果还款时间长，还款的数额不算特别大，等本不 等息递减的还款方式与等本等息的还款方式每月还款金额起初其实相差不大，但 等本不等息的方式明显在最后的几年还钱数目明显少与等本等息，总共还的利息 数目也少很多，但如果还款数额不大，还款的时间又短，我们该选择哪种方式呢？ 是不是还应该选择等本不等西递减还款方式呢？那我们再来看一道例题. 小王在有了一定积蓄后想买一辆车，但是他看上的那辆车偏贵，所有的存款 用掉还差 6 万元，于是他决定向银行借款，银行向他提供了借款，还款期限为 2 年，贷款利率为，但还款方式可以自己选择，可以为等本等息还款法，也可%4 以为等本不等息还款法，小王的月收入为 4000，他应该选择哪一种方法？ 分析分析 该例子对一些初始条件做了限定，例如贷款人的收入，限期较短，利率相对 较高等特点，是不是我们依旧可以选择等本不等息递减还款方式？下面我们进行 计算. 假设条件假设条件 我们假设银行不会倒闭，小王每月收入固定，额外的奖金等不计入还款预算， 小王不会面临下岗等因素. 符号说明符号说明 我们用 表示贷款本金， 表示银行月利率，表示每月还款额度，表示还srxn 款期数，表示每月还款额，表示累计已还本金， 表示总共需还利息. n aml 解：解：等本不等息递减还款方式： 由已知可得，0033 . 0 12/04 . 0 r24n60000s 月利率累计已还本金）（贷款本金 还款期数 贷款本金 每月还款额 即：，rms n s a)( 将数字带入上式可得 2700 1 a,2692 2 a，2683 3 a，2675 4 a 2667 5 a，2658 6 a，2650 7 a，2642 8 a 15 2633 9 a，2625 10 a，2617 11 a，2608 12 a 2600 13 a，2592 14