《电阻磁流体模式》doc版.doc

2008全国等离子体物理暑期学校讲义电阻磁流体模式Lecture notes onResistive MHD ModesCSSPP 2008王晓钢（北京大学）第一节：等离子体中的电阻磁流体模式1.1 理想磁流体近似下的奇异性与耗散效应1.2 Spitzer电阻与欧姆定律1.3 反常电阻1.4 电阻磁流体模式简介第二节：磁重联与经典撕裂模理论2.1 等离子体中的磁重联现象2.2 磁重联的基本概念与模型2.3 托卡马克FKR撕裂模理论2.4 Rutherford非线性撕裂模理论第三节：驱动磁重联3.1 驱动磁重联的Taylor模型3.2 旋转磁岛的饱和3.3 误差场与锁模 第四节：锯齿振荡4.1 托卡马克的“小破裂”现象4.2 有理面m=1上的扭曲撕裂模4.3 锯齿振荡的Kadomtsev模型4.4* 锯齿振荡的快磁重联模型第一节：等离子体中的电阻磁流体模式1.1 理想磁流体近似下的奇异性与耗散效应我们先来回顾一下理想磁流体（Ideal MHD）理论。前面介绍过，理想磁流体力学方程组是：连续性方程：(1-01)力平衡方程：(1-02)Ohm定律：(1-03)状态方程：。(1-04)这里，以及（），。其中（I-03）中用到了Faraday定律。此外，比热系数是决定等离子体过程状态的参数：对应等温过程；对应绝热过程；对应不可压缩过程。这一组10个方程，对应10个函数：，和。 研究线性的理想磁流体不稳定性，主要方法之一就是所谓“能量原理”的办法。就是对理想磁流体力学方程组作线性近似以后，求其扰动能量积分，(1-05)这里用到了Ampere定律（我们先把电流作为一个数学记号）。如果初始平衡时静态的，则，我们可以得到。(1-06)而由线性化的（1-02）可以得到。(1-07)对一个二维的Harris电流片模型的平衡，(1-08)这里，扰动可以写成。(1-09)于是对这样一种平衡位形，有(1-10)这里。(1-11)于是，能量积分（1-05）可以写成下面形式(1-12)这里(1-13)其中(1-14)是磁场的自由能；(1-15)是等离子体可压缩性引起的自由能变化；而表征不稳定性的MHD流体动能(1-16)显然总是正定的。如果（1-12）的面积分项等于零，则Harris电流片的理想MHD稳定性的充分条件是 ：。(1-17)如果等离子体是不可压缩的，则常数，产生不稳定性的充分必要条件是：。磁场自由能的表示式（1-14）可以写成，(1-18)这里扰动磁通。然后利用变分原理可以得到 。(1-19)这个方程的严格解是，(1-20)这里我们已经用到边界值等于零的边界条件。对于磁通来说，这个解是连续的；但是在平面上磁场不连续；这导致在这个面上的电流的函数型奇异性（-function singularity）！另一个典型的例子是Alfvn共振（参见陈骝：Alfvn波物理讲义），对于扰动位移是对数奇异性（logarithmic singularity），而对于其它扰动量则是“幂律”奇异性（power-law singularity）。这些奇异性本质上不是物理的。只是因为我们在做理想磁流体近似的时候忽略了小尺度效应：比如耗散或者动理学效应（kinetic effects）。动理学效应我们以后讲。这里我们主要讨论耗散效应。1.2 Spitzer电阻与欧姆定律如果是流动的奇异性，比如涡旋的奇异性，那么粘滞是主要的耗散机制；这里是电流的奇异性，所以电阻就成为主要的耗散机制。经典的等离子体电阻被称为Spitzer电阻。其物理本质是电子在运动中与其它电子、离子和中性粒子的碰撞。可以从电子的运动方程，(1-21)得到“广义Ohm定律”，(1-22)这里，被称为Spitzer电阻。在cgs单位制中，它是时间的量纲。由于等离子体振荡是极快的过程，而一般等离子体满足，所以Spitzer电阻很低。在Ideal MHD近似下将其忽略是合理的。一般来说，对磁化等离子体的MHD过程，特征速度是Alfvn速度。如果等离子体的特征宏观尺度（比如Harris电流片的宽度）为，则用这个速度可以得到特征时间尺度，。用上述特征时空尺度来归一化（1-22），可以得到，(1-23)这里，。其中前两项是尺度，第三项电子惯性项是尺度。最后一项电阻项：由于对于电磁扰动，而电流（Coulomb规范），显然其归一化特征尺度是。则在，的近似下，我们得到理想MHD的Ohm定律（无量纲）。这时等离子体与磁力线“冻结”在一起运动。所以（1-23）式右边的任何一项都可以破坏这种“冻结”（frozen in）效应，导致等离子体的“退磁化”。其中，如果碰撞频率高到一定程度，使得，则（1-23）右边的碰撞项可能比其它几项更为重要，那么（1-23）变成常见的Ohm定律形式，(1-24)或者。(1-25)当电流出现奇异性，或者空间尺度趋向零的情况下，电阻项或者耗散（扩散）项就成为重要的。以至于在很大但是没有到达真正的奇异值、空间尺度很小但是没有到达零的情况下，电阻项或者扩散项就成为其它各项同样的数量级。这时理想MHD假设不再适用，而理想MHD导致的解的奇异性也就被“消释”（resolve）了。这时我们必须在小尺度上求解（1-24）或者（1-25）。1.3 反常电阻当然，除了粒子之间的碰撞，电子也可以被波的电场无规（湍性）散射而“退磁化”，从而导致理想磁流体“冻结”效应的破坏。这种波粒子相互作用引起的散射可以用等效“碰撞”频率来表示。因此而引起的“电阻”为。一般来说，等离子体，特别是实验室里的强磁化等离子体中的湍流水平都不高，因此这种“湍性”波散射引起的电阻都可以忽略。但是当电流非常强的时候，会激发起相当宽的、比Alfvn频率要高得多的湍流谱。这时波粒子相互作用引起的等效“碰撞”频率会“反常”地高。这样的“反常碰撞”引起的电阻被称为“反常电阻”（anomalous resistivity）。(1-26)反常电阻的计算是等离子体研究的一个悬而未决的问题。目前在数值模拟中广泛使用的是所谓“局域加强电阻”（Localized “anomalous” resistivity）。即在电流峰值附近很小的区域人为引入比背景Spitzer电阻高几个数量级的“电阻”。但是其人为性因素太强。有些工作里甚至到了随心所欲的地步。另一种更合理一些的是Sato & Hayashi（1979: Phys. Fluids 22, 1189）引进的一种完全唯象的“电流诱发”的“反常电阻” 。(1-26)这里的背景电阻是Spitzer电阻。这个假设考虑了电流对反常电阻的诱发效应，但是其具体的物理机制并不清楚。比较严格的计算中， “反常碰撞频率”由湍流谱(1-27)来决定，这里是波的介电张量。对于典型的电流激发的低混杂波湍流来说，。(1-28)具体的讨论和计算已超出本课程的范围, 可以参考Treumann最近的文章（2001: Origin of resistivity in reconnection, Earth, Planets and Space 53, 453-462）。1.4 电阻磁流体模式简介由于电阻的耗散效应，等离子体的自由能的释放变得更容易一些。因此在特定的参数空间，理想磁流体近似下稳定的模式在考虑电阻效应的情况下变得不稳定。这些模式被称为电阻磁流体模式（Resistive MHD Modes）。但是也正因为等离子体的自由能的释放变得更容易，其释放过程就不像理想磁流体不稳定性那么猛烈、突然，而相对缓慢。其增长率一般有形式：， ，远小于理想磁流体过程的特征频率Alfvn频率。在电阻磁流体模型下，扰动能量积分（1-05），即（1-12），可以写成(1-29)其中，利用，(1-30)得到。(1-31)则如果（1-12）的面积分项等于零，Harris电流片的电阻MHD不稳定性的充分必要条件是：。如果扰动磁通。然后利用变分原理可以得到 。(1-32)这个新的本征值方程的解在平面上不再有奇异性。但是对于特定的参数区间，其本征值给出新的不稳定性。这种不稳定性是电阻的效应引起的、可以“撕裂”（tear）原来的平衡电流分布，所谓被称为“电阻撕裂模”（Resistive Tearing Modes）。其它由于电阻引起的不稳定模式还有，电阻扭曲模（Resistive Kink Modes）、电阻交换模（Resistive interchange Modes）、电阻气球模（Resistive Ballooning Modes）、电阻Rippling模等。第二节：磁重联与经典撕裂模理论2.1 等离子体中的磁重联现象从理想MHD的Ohm定律，或者，我们知道在理想磁流体近似下等离子体与磁力线“冻结”在一起运动。理想磁流体的这一重要性质被用来实现在物理测量上“追踪”（tracing）磁力线（A. Newcomb, 1960: Ann. Phys. (N.Y.) 10, 232）；并且保证了磁力线在其演化过程中拓扑性质不变。这种不变性对应的守恒量叫做磁螺旋度（Magnetic Helicity），。(2-01)当等离子体中的电阻耗散效应很小的时候，也就是说，或者等离子体的电阻扩散时间远大于磁力线运动的特征时间、或者电阻耗散效应起显著作用的特征空间尺度远小于磁场变化的特征空间尺度，上述性质还可以继续应用。所以对于空间以及实验室磁约束等离子体来说理想磁流体的这些性质基本上都是适用的。但是，当两条磁力线足够接近，到了“非理想”（non-ideal）效应成为重要的尺度，以至于随它们一起运动的“等离子体元”分辨不出自己到底属于哪一条磁力线。这可以有两种情况：或者（当碰撞很弱的时候）两条磁力线之间的距离小于带电粒子的回旋半径；或者（当碰撞足够强的时候）一条磁力线上的电子被“碰出”自己的回旋轨道，被另一条磁力线“捕获”甚至“丢失”。这时反过来可以说（因为我们只能做粒子运动的测量）磁力线“丢失”了自己的identity，也就是我们无法identify磁力线了。人们把这个磁力线“迷失”的区域叫做“扩散区”（Diffusion Region）。因此，在这个区域里磁场的拓扑可以发生改变。一旦这种改变发生，“走出”这个“扩散区”的磁力线就已经不再是原来的磁力线了。它们之间的连接形式发生了“重组”。我们把这个磁力线进入扩散区、“迷失”、重新连接，最后“走出”扩散区的整个过程，叫做“磁力线重联”或者简称“磁重联”（正确的写法应该是“重连”）。显然，磁重联伴随着磁场拓扑的变化（比如撕裂模就是一种典型的磁重联过程），因此导致磁场能量的快速释放。所以实验室、空间、天体等离子体中很多快过程、特别是“突发”（Onset）过程，如太阳耀斑（Solar Flare）、日冕物质抛射（Coronal Mass Ejection, CME）、磁暴（Magnetic Storm）、磁层亚暴（Magnetosphere Substorm）、锯齿崩塌（Sawtooth Collapse）、破裂不稳定性（Disruptions）等都与磁重联有关甚至是磁重联主导的物理过程。2.2 磁重联的基本概念与模型显然，磁重联有两方面的基本性质：1）伴随着磁场拓扑的变化；2）自由能在狭小空间的急剧释放。因此，磁重联研究的两个最基本的问题（issue）是：1）在什么地方（where）？2）多快（how fast）？后一个issue直接导致的另一个issue（或者说后一个issue的核心）是：什么物理机制主导磁重联过程。第一个issue，因为磁重联伴随着磁场拓扑的变化，所以一定发生在不同磁场拓扑结构的分界面上。我们称这些界面为“磁分形面”（Magnetic Separatrix）。那么到哪里去找这些“磁分形面”呢？因为磁重联发生在很小的空间尺度上，如前面所说，两条磁力线要靠得足够近！而根据磁场Gaussian定理：，两条磁力线靠近时磁场趋向无穷大！所以唯一可能之处就是在两条磁力线方向相反向的（anti-parallel）地方。Harris电流片的平面就是一个典型的磁场拓扑位形的分界面，即“磁分形面”。但是在自然界中，这种“分形面”在二维位形下是几何不稳定的。任何一种扰动都会把它“撕裂”。所以二维的稳定“磁分形面”是所谓的X点（X-point）及其所生成的“臂”（Arm）所构成的（见图1(a)）。而X点正是一个二维的“磁零点”。几何上，X点是一个不稳定的“马鞍点”。当然，还有一种二维的“磁零点”，O点（O-point），它产生在“磁岛”的中心，是一个几何上稳定的“椭圆点”（见图1(b)）。(a)(b)图1 ：(a) X点及其arms把二维平面分成四个不同的磁场拓扑区; (b) 磁岛及其中心的O点在三维情形下，X点成为“X线”（X-line），或者叫“磁零线”（Magnetic Neutral Line）。显然这种“磁零线”也是几何不稳定的，任何扰动都会将其“打断”（break）成一系列孤立的“磁零点”（Magnetic Null，见图2）。这些磁零点分A型（A-type）与B型（B-type），相间形成一条“-A-B-A-B-”的链。磁零点一般保持“鞍点”的性质；但是如果与一个O点叠加，则会形成As型（As-type）与Bs型（Bs-type）零点，同时具有“鞍点”和“椭圆点”的性质。图2 ：两种典型的磁零点：A-type（左）与B-type（右）因此，实际上是磁场的拓扑不连续性直接导致磁场的“物理”（Ideal MHD）不连续性。这在日冕等离子体的加热问题的研究中突出地表现出来。另一种自然界里不常见的、但是做磁约束聚变研究的人更关心的“磁分形面”是环形磁约束等离子体中的有理面。这种有理面的特点，是满足周期边界条件。这些磁场拓扑学及其与等离子体物理的联系，我们以后再详细探讨。那么，第二个issue所关心的，实际就是我们上一节讨论的广义Ohm定律里各种“非理想”（non-ideal）效应以及“反常电阻”的“权重”（weight）和物理本质。这里集中讨论Spitzer电阻的效应。基于这两个issues，最简单的磁重联模型就是建立在Harries电流片和X点重联位形上的电阻磁重联模型：Sweet-Parker模型（P. A. Sweet, 1958: in Electromagnetic Phenomena in Cosmical Physics, edited by B. Lehnert, Cambridge University Press, New York, 123; E. N. Parker, 1957: JGR 62, 507）和Petschek模型（H. E. Petschek, 1964: in AAS/NASA Symposium on the Physics of Solar Flares）。 1Sweet-Parker模型这个模型的主要假设是：1）磁重联是电阻引起的；2）磁重联基本是一个在中性面上发生的（垂直于该面的）“准”一维过程。其基本方程是电阻Ohm定律：。(2-02)基于一维的假设，可以写成无量纲形式。(2-03)对于稳态的（Steady State）过程，；对于准一维过程，有，而其中，所以。于是，近似地。(2-04)我们还需要另一个方程来确定。利用，如等离子体连续性，稳态时，(2-05)其无量纲形式为，这里是入流速度；是出流速度；是出流区宽度。我们得到Sweet-Parker“重联率”。(2-06)这个“重联率”也可以很形象地用拓扑学来简单得到。其对应的“准”一维图像，几何地被称为“Y”型结构（Y-point Structure）；物理地称为“电流片结构”（Current Sheet Structure）。但是对于实验室和空间的高Lundquist数、低电阻等离子体（），这个重联率还是太慢（），解释不了诸如太阳耀斑、锯齿崩塌这样的非常接近理想MHD时间尺度（Alfvn速度表征）快过程。于是一个新的模型被提出。2Petschek模型这个模型的主要假设是：1）磁重联是电阻引起的；2）磁重联是在X点形成arm的几何位形上发生的完全二维的过程。从（2-05）可知，限制重联率的主要因素是出流区的宽度。X点重联（而非Y点位形重联）几何上保证了“出流区”宽度比较大。至于到底可以保持多宽，决定于重联区的动力学（Dynamics）过程。可以看出，出流区的形状类似钱塘江的“喇叭口”，所以会形成“慢激波”（Slow Shock）。我们（不详述其中的具体计算）可以得到Petschek重联率。(2-07)这个重联率已经很接近实验室和卫星观测得到的接近理想磁流体（Ideal MHD）时间尺度的sub-Alfvnic的重联率（）。必须指出的是：高精度数值模拟的发展使得高Lundquist数的MHD数值模拟（）成为可能。这些数值模拟发现，只要，得到的几何图形一定是Y点位形；而的时候，Sweet-Parker重联率（2-06）和Petschek重联率（2-07）几乎没有什么区别！这说明Sweet-Parker模型至少理论上（即从几何和物理两个方面结合看）是自洽的；而Petschek模型则是“几何上正确”，但物理与几何不自洽。因此近年来各种“无碰撞”磁重联（Collisionless Magnetic Reconnection）模型，或者叫 “快磁重联”（Fast Magnetic Reconnection）模型（包括反常电阻重联模型）发展起来。3快磁重联模型根据广义Ohm定律里不同的项的贡献，主要有：1）Hall 效应驱动：强调离子惯性区电荷分离的Hall效应；其主要特征是：a）Hall四极场；b）哨声波模式；c）快磁重联率；d）不能break磁力线。2）电子惯性驱动：强调电子惯性项的作用；其主要特征是：a）强调电子惯性区物理过程；b）更接近磁重联的本质；c）但仍然在X点无贡献（特别是稳态时）。3）电子压强梯度驱动：强调电子压强梯度项的作用；其主要特征是：a）在强导向场情况下起主导作用；b）电子压强张量的非对角项在X点有贡献。4）反常电阻驱动：主要特征是：a）弱场区；b）图像简单；c）物理机制目前不十分清楚。2.3 托卡马克FKR撕裂模理论环形磁约束等离子体中的磁岛生长是一种主要的MHD活性（activities）。这些过程可以导致很多不稳定性，包括锯齿模、大破裂等等。人们称相应的不稳定模式为“撕裂模”。“常数磁通”（Constant-y）的撕裂模线性理论最早是在托卡马克等离子体研究中发展起来的（H. P. Furth, J. Killeen, and M. N. Rosenbluth, 1963: Phys. Fluids 6, 459）。这一理论主要关心极向模数的有理面上的磁重联和磁岛生长过程。这样的有理面上的电流分布可以用Harries电流片来近似，相应的平衡磁场分布，(2-08)这里我们已经用到约化磁流体（Reduced MHD, RMHD）近似：对简单的圆截面托卡马克平衡，近似有，这里是环向角，而环向场假设是常数。有环向电流，及安全因子（Safety Factor）；在有理面上，。在这种平衡下，发生磁重联的场实际上是去掉有理面上磁场剩下的“辅助”（Auxiliary）场。所以，这时的所谓“导向场”（Guide Field）不是环向场而是Helical场。在实际计算中，我们把这个“导向场”的方向定义为，有；而。则对于平衡磁场，其中，。如果假设扰动磁通，理想磁流体近似下可以得到 ，(2-09)及其严格解。(2-10)前面说到，这个解有电流奇异性。所以我们引入电阻耗散来“resolve”这一奇异性。因为电阻的引入，我们有了一个MHD空间尺度，又有一个“非理想”效应的空间尺度。因此，我们采用渐进方法（Asymptotic Methods）来解这个问题。这里我们采用的是渐进方法的一种：边界层（Boundary Layer）方法。边界层方法的主要思想是在有不同空间尺度的问题里，把物理问题分成两个空间区域求解。在MHD大空间尺度区（外区，Outer Region），我们仍然用理想磁流体近似；但在电阻效应起作用的“非理想”效应的小空间尺度区（内区，Inner Region），我们求解电阻磁流体方程组；然后把两个区的解用“匹配条件”（Matching Condition）连接起来。下面我们就来具体求解。1.外区解（Outer Region Solution）这个解仍然由（2-10）给出。我们已经知道，其在上一阶导数（磁场）不连续，二阶导数（电流）奇异。这个性质可以用磁场“跳变”参数来表示。(2-11)回过去看导致（1-19），即（2-09）的（1-18）式，如果考虑外区的“内边界”上的分部积分结果，我们得到。(2-12)同时，在这些界面上，可以算出Poynting flux(2-13)很清楚，如果，就有净能流从外区进入内区；反之则有。前者可以在内区驱动动能，引起不稳定性；后者导致稳定性。但是只给了不稳定性的驱动源（外区储存的磁场自由能），但是还有一个“可能性”（accessibility）问题。这个问题是耗散效应来解决的：提供了在内区耗散这些能量的渠道（access）。是“外因”，是“定性”参数（why），我们从MHD就可以得到；但是定量（how fast）的实现，还必须通过 “内因”起作用，即求解内区的方程。2.内区解（Inner Region Solution）对于不可压缩等离子体（，），内区方程， (2-14) 。 (2-15) 利用变换，以及，我们可以无量纲化（2-14）和（2-15）， (2-14)。 (2-15)如果或者更小，因为在内区，则 ，(2-16)这就是所谓常磁通近似（Constant- Approximation）。在这个近似下求解内区方程，再把得到的解与外区方程的解（2-10）和（2-11）“匹配”： ，(2-17)我们得到常磁通近似下撕裂模的增长率 。 (2-18)或者，。这是一个增长相对缓慢的模式。 必须指出，正因为磁重联的“严格”理论最早是在托卡马克等离子体撕裂模的研究中发展起来的，而托卡马克里环向场引起的“导向场”（Guide Field）很强，所以导致有所谓“分量重联”（Component Reconnection）的模型。可是这个模型没有注意到托卡马克等离子体撕裂模的在“导向场”方向的周期边界条件。这个问题对于磁重联研究来说，仍然是一个outstanding issue。2.4 Rutherford非线性撕裂模理论“常数磁通”近似下的非线性撕裂模理论最早是Rutherford（P. H., 1973: Phys. Fluids 16, 1903）发展起来的。我们这里用一种简化模型（X. Wang & A. Bhattacharjee, 1997: Phys. Plasmas 4, 748）来推导这一理论的结果。对于“常数磁通”近似下的非线性撕裂模，从Ohm定律出发，借助于（2-04）式的分析方法，我们得到。 (2-19)这里是磁岛的半宽度，是跨越磁岛的磁场跳变。因为在磁岛邻域，(2-20)沿着磁岛边缘（磁分形线）有，(2-21)在“常数磁通”近似下，我们有，(2-22)后面一个等号是无量纲化的结果。考虑到 ，我们得到， 。 (2.23)其解为 。 (2.24)这个解不仅是“代数地”缓慢（algebraically slow），而且是的尺度，即与电阻扩散一样慢。因此，（即使考虑了新经典效应）单个的撕裂模在非线性阶段增长非常缓慢，几乎对等离子体的宏观稳定性不造成威胁。但是相邻磁岛的overlap则会引起托卡马克的破裂不稳定性。如果考虑托卡马克磁场位形的环效应，那么捕获粒子（Trapped Particles）的“香蕉轨道”（Banana Orbits）产生的“新经典”（Neoclassical）效应导致的“自举电流”（Bootstrap Current）及新经典电阻也会影响磁重联过程。对应的撕裂模被称作“新经典撕裂模”（Neoclassical Tearing Mode, NTM）。这时的磁岛演化方程是 ， (2.25)其中；，和分别是相应有理面上的倒环径比、磁剪切参数、和等离子体beta。显然新经典磁岛也是Rutherford磁岛。抑制磁岛生长的重要机制是托卡马克等离子体中的剪切流（这些剪切流的产生机制目前还不十分清楚）。在剪切流的作用下，Rutherford磁岛在很低的水平下就饱和了。但是环形装置的真空室以及线圈的排布等都会引起“误差场”（Error Field）。这些误差场的不同Fourier分量与相应的有理面上的磁岛相互作用，会引起所谓Mode Locking的效应（也称Lock Mode）。旋转的“饱和”磁岛一旦lock到误差场上，就会停止旋转而重新长大，导致环形约束等离子体的破裂。因此，我们必须讨论扰动边界条件所“驱动”的（Driven）磁重联现象。第三节：驱动磁重联3.1 驱动磁重联的Taylor模型对于平衡（2-08），取，磁场对于撕裂模扰动显然是稳定的（Tearing Stable）。但是如果在边界上有一个突然加入的常数的扰动（这里，对于磁约束装置本身所产生的误差场来说，是一个常数），使得， (3-01)那么，扰动磁通有形式；且在有理面上，可以有磁重联发生，并使得磁岛增长起来。这种磁重联过程，我们称之为“驱动”或者“受迫”磁重联（Driven or Forced Magnetic Reconnection）。外区（THE OUTER REGION）根据Taylor模型（H. K. Hahm, and R. M. Kulsrud, 1985: Phys. Fluids 28, 2412），边界扰动的特征时间远小于有理面上磁重联的时间尺度（），以保证其“突然性”（suddenness）；同时又远大于理想MHD的时间尺度（），以保证外区在边界扰动下的相应可以一系列的准静态来描述。这样，外区的理想磁流体方程可以写成 。(3-02)这个方程实际上就是将代入（2-09）。在边界条件（3-01）下其解有形式 。 (3-03)显然，在有理面，有。(3-04)这个解与撕裂模本征函数解（2-10）不同之处在于：1）撕裂模解（2-10）是在有理面附近最大，驱动重联过程解（3-03）是在边界上最大；2）对于驱动重联过程，即在初始的理想MHD过程阶段中，磁重联还没发生，可是对于撕裂模，需要有一个初始的极小扰动（噪声或起伏，noise or fluctuation），看这个扰动是不是长得起来。所以前者是一个初值问题，而后者则是一个本征值问题。可以知道，对于驱动过程来说，在初始时，不仅，而且！基于（2-16）的常磁通假设不再成立，我们必须求解“非常数磁通”（non constant-）磁重联问题。内区（THE INNER REGION）对内区方程（2-14）和（2-15）做Laplace变换 ，以及相应的函数变换，我们可以得到电流的Laplace变换形式， ， ；及， (3-05)， (3-06)这里。可以得到， (3-07)或者，令，有。 (3-07)在，即的近似下，这个方程的解是，(3-08)这里（3-05）给出的是有理面上的电流的Laplace变换。利用匹配条件把这个解连接到外区解，得到，(3-09)因此，重联磁通，(3-10)这里Sweet-Parker特征时间；及峰值电流。(3-11)这样，外区的电流奇异性就被内区的耗散机制消除了。而且这个电流增长的时间尺度是理想等离子体的时间尺度！这是由于它是在外区形成的一系列准静态MHD平衡的挤压下长起来的。但是，它又是一种代数的缓慢增长过程。因此，即使时间尺度很短，但是时间演化可能仍然是一种缓慢过程。值得注意的是，初值问题的解一般都是代数的而非指数的。非线性阶段我们必须注意：边界扰动是固定的。而且对于驱动磁重联来说，边界的扰动最强。所以外区总是处于线性扰动（3-03）。但是对于内区来说，因为边界层，所以只要磁岛长到，内区的线性近似就不适用了。其非线性解可以由Sweet-Parker模型给出其中，则 ，(3-12)所以磁岛（）还会缓慢增长。而对应的饱和电流。(3-13)图3 基于Taylor模型的电流增长：数值解（实线）与线性解析结果（点划线）的比较3.2 旋转磁岛的饱和如果边界上加上剪切流，或者等离子体在旋转，则边界对于等离子体有一个相对运动，则对应Doppler频率是 ，使得边界扰动成为 。(3-14)那么，扰动的形式为 ，(3-15)或者，且仍有 。(3-16)考虑内区的解不变（看不到边界上发生的事情），只是外区的Laplace变换多了一个指数振荡因子，所以，(3-17)导致，(3-18)即，(3-19)对应的峰值电流，(3-20)比磁通差一个位相延迟。 如果，结果近似Taylor模型；如果，我们有 。(3-21)可知等离子体旋转越快（或者剪切流越强），磁重联越难发生。在非线性阶段，内区可以“看到”外区，对应的有。(3-22)这时的磁通：1）比边界扰动多一个的位相延迟；2）磁岛在一个很低的水平下饱和。(3-23)3.3 误差场与锁模如前，对简单的圆截面托卡马克平衡，“辅助”（Auxiliary）场。在有理面附近有。对于扰动磁场，扰动电流。如果等离子体旋转是sub-Alfvnic或者更慢，则从牛顿定律方程，忽略惯性项，可以得到理想磁流体区（外区）扰动磁通函数满足的准静态方程，(3-24)这里“”代表对求导。如果平衡电流分布非常平缓，近似有，(3-25)其两个线性独立的解显然是。一般来说，这个解对应的有理面上的模是撕裂模稳定的（tearing stable）。因此可知，撕裂模不稳定性是由平衡电流的非均匀分布给出的。那么对于撕裂模稳定的有理面，（3-25）近似成立。磁重联由类似Taylor模型的边界扰动（恒定误差场的分量）给出扰动磁场的阶跃不连续性(3-26)引起。显然，在开始时没有磁力线重联发生，。我们必须用非常数磁通理论来求解。“非常数磁通”的磁重联过程类似于的模，其本征函数的“kink”型部分有形式，(3-27)这里是误差场在等离子体边界上引起的真空场扰动，而。(3-28)则方程（3-26）解的一般形式为，(3-29)其中，而是有理面上重联的磁通量。对比（3-16）式，(3-30)相当于前半部分，相当于后半部分；相当于，相当于；于是有。(3-31)我们关心的是磁岛的非线性增长。前面说过：“对于驱动磁重联来说，边界的扰动最强。所以外区总是处于线性扰动（3-03）。但是对于内区来说，因为边界层，所以只要磁岛长到，内区的线性近似就不适用了”，磁岛进入非线性增长。利用（3-22），我们可以得到，(3-32)这里，是在有理面上等离子体旋转角速度，是误差场在有理面上引起的旋转角速度变化；且依照W. Park et al.（1984: Phys. Fluids 27, 137），有，其中长度用大环半径归一化；是横向粘滞扩散时间；是横向粘滞引起的、用Alfvn速度量度的磁Reynolds数。于是有。(3-33)则这个磁通引起的电磁力矩为，(3-34)相应磁岛引起的平均粘滞力矩为。(3-35)力矩平衡给出，即，(3-36)这里“误差场”。（3-36）的“物理解”是，(3-36)其中。(3-37)显然，当归一化扰动磁场，有理面上磁岛以旋转；当增加时，有理面上磁岛的转速开始减慢。当等于误差场锁模阈值（threshold）时，磁岛开始“锁定”（locked）到误差场上。图4 公式（3-37）给出的COMPASS-C上（2, 1）模导致的锁模阈值场（实线）与实验结果（方块）的比较如果误差场，我们可以计算出磁岛方程，(3-38)显然其饱和宽度为，(3-39)其中由（3-36）及（3-37）给出。这显然是较低水平的饱和。如果误差场，的虚部导致磁岛的迅速的指数增长，直到完全“锁定”（locked）到误差场上（）。这时磁岛开始进入Rutherford增长。(3-40)对于Rutherford磁岛，有磁岛方程，(3-41)其中，。这个方程的饱和磁岛解是，或，(3-42)其饱和水平远高于（3-39）。如果这个饱和水平导致相邻磁岛的“重叠”（overlap），等离子体就可能发生“破裂”（Disruption）。所以我们在设计托卡马克的时候，必须首先保证误差场；如果很难做到，则至少保证因为相对误差场所引起的 “高饱和”水平磁岛小于相邻磁岛有理面的间距。上面两章我们主要讨论的有理面上的撕裂模及磁岛的性质。下面我们开始讨论另一类撕裂模的不稳定性，即的扭曲撕裂模（Kink-Tearing Modes）。第四节：锯齿振荡4.1 托卡马克的“小破裂”现象锯齿振荡（Sawteeth），或者“锯齿崩塌”（Sawtooth Crashes or Sawtooth Collapses），被称为托卡马克的“小破裂”（Minor Disruption），是指环形约束等离子体中心温度剖面的呈锯齿状的周期性“崩塌”现象。伴随着这种“锯齿崩塌”的是等离子体约束的急剧变坏和中心beta值的急剧降低，以及“扰动位移”的快速非线性增长。图5 在TFTR观察到的等离子体中心温度剖面的锯齿崩塌（M. Yamada et al, 1994: Phys. Plasmas 1, 3269）图6 在JET上观察到锯齿振荡过程和磁面位移的快尺度增长（J. A. Wesson, et al, 1991: Nucl. Fusion 31, 111）这些锯齿模现象都发生在，的有理面上。所以它们一定同这个有理面上的扰动模式有密切的关系。4.2 有理面m=1上的扭曲撕裂模我们在前面学到，的有理面上的kink模的本征函数与其它有理面上“局域性”本征函数的不同，是一种形如（3-27）的“广域”（global）的“内扭曲”（Internal Kink）本征模，(4-01)这里是，的有理面；相应的，在有理面附近，扰动磁通 。(4-02)显然，其一阶导数具有阶跃不连续性、二阶导数具有delta函数奇异性，所以可能导致撕裂模不稳定性；而且阶跃参数，(4-03)所以对应的是非常数磁通撕裂模，称之为扭曲撕裂模（Kink-Tearing Mode）。非常数磁通扭曲撕裂模的线性理论最早是Rosenbluth等人（1973: Phys. Fluids 16, 1894）发展起来的。他们发现，的扭曲撕裂模的线性增长率是，远比常磁通撕裂模的线性增长率是快得多。事实上，对于扭曲撕裂模的内区方程，类似（3-05）与（3-06），我们取内区宽度为并用其归一化长度，有：，以及时间的变换，则对于纯增长模来说，有 (4-04)(4-05)其中自然给出的增长率。而Kadomtsev认为，在，的有理面上发展起来的锯齿模，应该就是扭曲撕裂模的非线性发展。4.3 锯齿振荡的Kadomtsev模型早期的关于，的电阻扭曲撕裂模非线性发展的理论是Hazeltine等人（1986: Phys. Fluids 29, 1633）提出的。当时认为扭曲撕裂模会在非线性阶段继续以的增长率指数增长，只是增长率的值减小到线性阶段的70%左右。但是这一结果是在没有奇异性电流片存在的情况下得到的。但是，在锯齿振荡时，会形成的奇异性等离子体电流片（不是Harries电流片）。这一点我们在后面会在数学上给以证明。物理上的证据也十分明显：从图5就可以看到，在锯齿振荡中间阶段，磁岛边缘的温度梯度（所以压强梯度）非常大。要平衡这么大的压强梯度、约束等离子体，只有形成非常强（而且窄）的环向电流片，即。(4-06)因此Kadomtsev（1975: Sov. J. Plasma Phys. 1, 389）认为，如果考虑电流片的效应，那么就应该使用Sweet-Parker的磁重联模型，相应的重联率就不再是，而是Sweet-Parker时间尺度。他还进一步提出锯齿振荡物理模型：图7 锯齿振荡的Kadomtsev模型的典型过程（Sykes & Wesson, 1976: Phys. Rev. Lett. 37, 140）1）环形磁约束等离子体被加热，中心温度开始缓慢升高，一个锯齿周期开始；中心温度不断升高及电流驱动（要约束升高的温度剖面）导致分布的变化；当中心安全因子值时，在等离子体中形成了，的有理面；这个阶段是锯齿周期的缓慢上升沿，其特征时间是等离子体被加热的时间；2）这个有理面上的扭曲撕裂模不稳定，开始锯齿周期的快速下降沿；这种不稳定性发展起来，形成磁岛；磁岛中的磁面上的温度约束破坏，导致磁岛区的温度剖面变平； 3）磁岛区不断增大；当，的有理面中的磁面全部“重联完毕”（completely reconnected），等离子体中心的温度剖面完全变平；一个“锯齿”周期结束；4）这个快速下降沿过程的特征时间尺度是。这个模型很好地定性解释了环形磁约束等离子体中的锯齿振荡现象。当时认为这个问题基本解决了。剩下的问题是怎样定量地解释锯齿周期下降沿的“崩塌”（Crash or Collapse）。这个问题的解决促进了磁重联理论的发展。4.3 锯齿振荡的电阻磁重联理论根据Kadomtsev模型，环形磁约束等离子体中的锯齿振荡现象是，的扭曲撕裂模引发的。相应的早期非线性发展的理论方法是由Waelbroeck（F. L., 1989: Phys. Fluids B1, 2372）首先提出的，经过在柱形几何位形下的发展（D. Biskamp, 1991: Phys. Fluids B3, 3353），最后完善（Wang & Bhattacharjee, 1995: Phys. Plasmas 2, 171）。Waelbroeck经过定标（Scaling）分析，认为如果考