金融计量学课程报告.docx

课程代码： 081543学时/学分： 2 成绩：经济管理学院研究生课 程 论 文（计量金融学）论文题目：基于ARMA和GARCH族模型对上证指数波动性的实证研究课程教师： 杨继平学生姓名： 凌巍学 号： sy1409152 年年 2014 年12月20日摘要中国证券市场发展迅速，股市几度成为投资者进军的主要领域。成为了宏观经济和金融的“晴雨表“。因此越来越多的市民对股票逐渐产生了兴趣。炒股已经不再是个别现象，全民参股的盛况可谓空前。但由于缺乏对其风险的判断，在最近几年开始的股市大波动中，绝大多数的新股民都亏损严重。分析股票走势并预测其未来趋势有重要现实意义，本文以1990年12 月到2013年 4月的上证每日收盘指数为数据 ，通过GARCH族和ARMA模型对该数据进行研究和分析。关键词:上证指数;ARMA模型;GARCH模型 ;EGARCH模型;TGARCH模型AbstractChinas securities market is developing rapidly, the stock market has become the main field of a few degrees of investors to enter the. As a” barometer of economic and financial . Therefore, more and more people on the stock gradually became interested in. The stock market is no longer the individual phenomenon, the grand national participation is unprecedented. But because of the lack of the risk judgment, in the stock market large fluctuations in recent years, new people are the majority of the serious losses. Analysis of the trend of the stock and has important practical significance to predict its future trend, this paper in 1990 December to 2013 April the Shanghai Daily index data, through the ARCH and ARMA model to analyze the data.Keywords: Shanghai Composite Index; ARMA model; GARCH model; EGARCH model1、引言股票市场的波动对投资决策来说至关重要，也成为金融经济学家们长期关注的问题。经过大量关于金融价格行为的实证研究已经证实：波动是随时间变化而变化的。ARMA模型是由美国统计学家G.E.P.Box 和英国统计学家G.M.Jenkins在二十世纪七十年代提出的时序分析模型,即自回归滑动平均模型 (AutoregressiveMovingAverageModel)，Engle于 1982年首次提出自回归条件异方差ARCH模型(Autoregressive conditional heteroskedasticity model)之后，进一步证实在某种程度上波动是可以预测的。我国新兴股票市场价格的波动性有许多自身的特征，本文将利用自回归滑动平均模型ARMA模型和自回归条件异方差 ARCH族模型对上证综合指数进行实证研究，进一步分析股票市场的波动性。2、数据选取本文以上证综合指数为代表，研究上证综合指数和收益率的波动特征，选取的数据来自新浪财经网站，选取较新的数据（每交易日的收盘价）作为样本，时间跨度为1990.12.19-2013.4.18,样本数为5467，实证分析的结果主要通过EViews软件得到。采用日收益率为日收盘价自然对数的一阶差分，表示如下： 其中，表示日收益率，为日收盘价。2、理论模型2.1、ARCH(q)模型设为因变量，为解释变量,在t时刻可获得的信息集为 的条件下，误差项服从以 0 为期望值，为条件方差的正态分布，即对于回归方程： 其中，即条件方差具有q阶自回归式，则称误差项服从q阶的ARCH过程，记作。ARCH(q) 模型表明过去的波动扰动对市场未来波动有着正向而减缓的影响,因此波动会持续一段时间, 从而模拟了市场波动的集群性现象,该模型为分析和发展波动性时间序列提供了一个框架。然而，在过去10年或更长时间里，ARCH模型自身很少被运用，这是由于它存在相当多的难题，例如如果把所有残差平方的依赖关系都考虑进来，滞后阶数，即q值将很大，这将导致一个庞大的条件方差模型，参数估计存在难度，并且在ARCH模型中，在其他情况相同不变的条件下，条件方差方程中参数越多，这些参数出现负的估计值的可能性就越大，违反非负数约束的可能性就越大。2.2 、GARCH(p,q)模型GARCH(p,q)是ARCH(q)模型的扩展，由式（1），（2）和方差方程： 构成，值的大小反映出外部冲击对波动特征产生影响的持久性，当时，GARCH(p,q)过程平稳。当p=0时，GARCH(p,q)模型即为ARCH(q)模型，同样具有ARCH(q)模型的特点, 能模拟价格波动的集群性现象。两者的区别在于，GARCH(p,q)模型的条件方差不仅是滞后残差平方的线性函数,而且是滞后条件方差的线性函数。利用GARCH(p,q)模型,能在计算量不大时，更合适地描述高阶的过程。实践中大多数金融数据序列的分布较正态分布而言，尾巴拖得更长，中间峰顶更尖，即具有厚尾巴特征, 而GARCH(p,q)模型有助于模拟这种现象。但GARCH(p,q)模型不能解释股票收益与收益变化波动之间出现的负相关现象，实践中，研究人员发现，当预期股票收益会下降时，波动趋向于增大；当预期股票收益会上升时，波动趋向于减小。GARCH(p,q)模型不能解释这种现象。2.3、EGARCH模型线性GARCH模型暗含了这样一个假设：同等程度的正冲击和负冲击所引起的波动是相同的，即条件方差对正负冲击的反应是对称的。但是在证券市场中，同等程度的正负收益率冲击所引起的收益率波动往往是不相等的，因为按常理我们了解到股价下跌和上涨的幅度相同时，股价下跌过程往往会伴随更剧烈的波动。显然，线性GARCH模型无法刻画这种波动的非对称性。为了更好的解释股市波动的非对称性，针对这一问题，Nelson于1991年提出了指数GARCH模型（Exponential GARCH,简称EGARCH）,EGARCH模型可以较好地刻画股市波动存在的非对称性。EGARCH模型还取消了模型中参数非负的限制。在EGARCH模型中，均值方程仍不变，条件方差满足：若参数为负数，那么负冲击所引起的波动大于相同程度正冲击所引起的波动；反之，若为正数，则相同程度的正冲击所引起的波动更大；若=0，则波动性对正、负冲击的反应是对称的。此外，由于在EGARCH模型中，条件方差被表示为指数形式，因而对模型中的参数没有任何约束，这也是EGARCH模型的又一大优点。2.4、TGARCH模型反映波动非对称的模型还有TGARCH模型，TGARCH模型指ThresholdARCH模型，其均值方程不变，条件方差防尘定义为：其中是哑变量，参数允许TGARCH效应是非对称的，当0统计上是显著的时候，说明信息不对称，存在杠杆效应，0表明坏消息比好消息对波动的影响程度更大；若0,表明坏消息比好消息对波动的影响程度更小。2.5、ARCH-M模型Engle于1985年首先提出ARCH-M模型，1987年正式发表，ARCH-M模型是ARCH模型考虑到条件方差作为时变风险的度量这一重要用途，而将风险与收益紧密联系在一起产生的，它同时将条件异方差能够直接影响收益均值，可以说是ARCH与实际相结合的一个例子，是ARCH模型的重要分支。其形式如下：其中，（1）式为时变预期收益，（2）式为时变波动方程，（3）式为均值方程，时变预期收益公式中的参数d度量了时变波动和预期收益的影响。2.6、ARMA(p,q)模型2.6.1 自回归模型AR(p)P阶自回归模型记作AR(p)，满足下面方程：其中，参数c为常数；p为自回归模型阶数；2.6.2、移动平均模型MA(q)q阶移动平均模型记作MA(q)，满足下面的方程：其中，参数为常数；参数是q阶移动平均模型的系数，。2.7.3、ARMA(p,q)模型显然该模型是p阶自回归模型和移动平均模型的组合，当p=0时，ARMA(0,q)=MA(q)，当q=0时，ARMA(p,0)=AR(p),ARMA模型针对的是平稳序列，对于非平稳的时间序列，不能直接用ARMA模型区描述，只有经过某种处理后，产生一个平稳的新序列，才可应用ARMA（p,q）模型。对于含有短期趋势的非平稳时间序列可以进行差分使得非平稳序列成为平稳序列。如果数据的自相关系数表现出拖尾而偏自相关系数表现出p阶截尾，则选择AR(p)模型，反之则选择MA(p)模型，如果自相关系数和片自相关系数都表现出拖尾，则选择ARMA(p,q)模型。4、原始数据的平稳化处理由于股市的波动比较大，因此原始的上证股指数据通常是不平稳的，需要对原始数据进行处理才能平稳，首先，通过Eviews8画出原始数据的时间序列图和一阶差分后的序列图，如下图所示：从上图可以看出，上证综指的日收盘序列是不平稳的，而对原始数据的时间序列进行一阶差分后再绘出其序列图，可以大致看出差分序列可能是平稳的。进一步，需要通过单位根检验对一阶差分后的序列进行平稳性检验，如果通过检验，则说明该差分序列是平稳的，单位根检验结果如下图所示，通过1%的显著检验，即数据一阶差分后是平稳的：Null Hypothesis: DSP has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 3 (Automatic - based on SIC, maxlag=32)t-StatisticProb.*Augmented Dickey-Fuller test statistic-34.089080.0000Test critical values:1% level-2.5653865% level-1.94088210% level-1.616661*MacKinnon (1996) one-sided p-values.ADF检验的原假设时：差分序列存在一个单位根，而经检验可知: ADF Test Statistic值为-34.08908，其绝对值大于1%的显著水平下的临界值，因此可以拒绝原假设，即该序列是平稳序列，所以差分后的序列可以通过平稳性检验，至此，即完成了原始数据的平稳化处理。5、求股指序列的自相关图和偏自相关图并识别ARMA模型形式观察收盘价的原始数据的自相关图和偏自相关图，通过下图可得：收盘价的自相关系数衰减得很慢，因此收盘价序列是非平稳序列。 然而，一阶差分后序列的自相关图和偏自相关图都没有明显的截尾性，因此需要尝试使用ARMA模型进行模型的建立，具体的滞后项p,q值还需要用AIC准则和t统计量显著性来具体确定。由于经济变量一般都为1阶或者2阶ARMA模型，因此选取4种模型进行比较，这四种模型分别为ARIMA(1,1,1)，ARIMA(1,1,2)，ARIMA(2,1,1)，ARIMA(2,1,2),这四种模型的结果分别如下图所示：建模所用变量是原数据一阶差分后的序列数据，考察样本的范围1990/9/15到2013/12/8,通过分析上面4个模型的检验结果，综合t统计量显著性和AIC准则这两项检验检验指标来看，经比较得出，ARIMA（1,1,1）模型中AR(1)和MA(1)的系数都十分显著，并此模型的AIC值相对较小，因此利用ARIMA(1,1,1)模型对上证综指的日收盘价序列进行建模。根据上面模型的识别与选择，使用ARIMA(1,1,1)作为最佳预测模型。估计该模型及其参数的相关检验结果如上图所示：结果表明，模型ARIMA(1,1,1)的参数 估计值中AR(1)和MA(1)的系数具有统计意义，而常数项C并没有显著性，因此，除去常数C，对ARIMA(1,1,1)模型再次进行估计和检验。结果如下图所示：此图表明，在去除常数项后，对模型进行估计和检验，模型的系数都具有明显的统计意义，并且AIC值变得更小，说明模型更加可靠。因此可对其建立模型，其对应的模型表达式为：式中为残差序列，由上表的最后两行可知，AR(1)、MA(1)的特征根分别为，。故满足ARMA模型的平稳性要求。参数估计后，还需要对模型的残差序列进行白噪声检验，若残差序列不是白噪声序列，那么说明残差序列还存在有用信息没有被提取，需要进一步改进模型，如果残差序列的样本自相关系数都落入随机区间内，即没有任何自相关个别地在统计上显著，则可以说残差序列是纯随机的，利用Eviews 8，对残差进行检验，结果如下图所示. 从该图可以明显的看出已建立模型的随机误差项是一个白噪声序列。因此，该模型的建立是合适的。6、ARCH族模型的建立与识别针对原序列，为了减小舍入误差，先对原序列做自然对数处理，即将序列作为因变量进行估计。由于股票价格指数序列常常用一种随机游动模型描述，所以我们先尝试用来估计的基本形式为：首先利用最小二乘法，估计出上面模型的参数如下： 从上图可以看出，这个方程统计量很显著，而且拟合程度也很好， 但是，需要检验这个方程的误差项，看是否存在条件异方差性，下面画出回归方程残差图观察上图，可注意到波动出现“聚类”现象，即波动在一些较长的时间内非常小，在其他一些较长的时间内非常大，这说明残差序列存在高阶ARCH现象。进一步的对回归方程残差平方进行条件异方差ARCH LM 检验，得到了在滞后阶数p=3时的ARCHLM检验结果如下。此处两个P值都几乎为0，拒绝原假设，说明原回归方程的残差序列存在ARCH效应。通过上面的步骤，我们检验了原回归方程含有ARCH效应，因此我们尝试利用GARCH(1,1) 模型重新估计原模型，结果如下：从上图我们可以看出，估计得到的GARCH(1,1)为：均值方程：方差方程：显然均值方程和方差方程中的ARCH项和GARCH项都是统计显著的，说明这个模型能够更好的拟合数据。再对这个方程进行条件异方差的ARCH-LM检验，取滞后阶数为3，结果如下图所示：由上面的结果可知，结果统计量的相伴概率为0.982，说明利用GARCH(1,1)模型消除了原残差序列的条件异方差效应。进一步的，下面我们可以利用GARCH模型的一些扩展模型来对股指序列进行建模。从而与原模型的效果进行对比。可以便于我们更好的分析股票市场的波动性特征。GARCH模型有多个扩展形式，其中应用比较广泛的有ARCH-M模型，EGARCH模型等，下面尝试利用ARCH-M模型对序列进行重新建模。在ARCH-M模型中，把条件方差，引进到均值方程中： 由于ARCH-M模型通常用于资产的收益率的建模，对于原数据，计算新的时间序列，则ARCH-M模型为：，通过Eviews8得到的建模结果如下所示：将估计出的方结果写成方程：均值方程：方差方程：在收益率方程中包含的原因是为了在收益率的生成过程中融入风险测量，这是许多资产定价理论模型的基础，均值方程中 的系数为-0.027，说明市场中的预期风险增加一个百分点时，就会导致收益率相应的减少0.027个百分点。GARCH模型也有非对称的扩展形式，比较常用的一种是TARCH模型，TARCH模型也叫门限（Threshold）模型，它的条件方差指定为：其中，是虚拟变量，当时， =1，否则，=0。如果，则存在杠杆效应，非对称效应的主要效果是使得波动加大；如果，则非对称效应的作用是使得波动减小。股票的价格行为是可能出现非对称现象的，因为较低的股价减少了相对公司债务的股东权益，股价的大幅下降，增加了公司的杠杆作用从而提高了持有股票的风险。下面为了研究原时间序列数据中是否具有非对称性，我们对原始数据建立TARCH模型，结果如下图所示：均值方程：方差方程：由结果可知，杠杆效应项是显著为负的，因此原股指时间序列存在非对称影响，说明股票价格的波动具有“负杠杆”效应：利好消息能比等量的利空消息产生更小的波动：即当出现“利好消息”时，即当时，有一个的冲击；而出现“利空消息”时，即当时，则会带来的负冲击。另一个常用的非对称模型是EGARCH模型，它也叫指数（Exponential）模型，其条件方差被指定为： 该模型的杠杆影响，是指数的，而不是二次的，因此条件方差的预测值一定是非负的。杠杆效应的存在能够通过的检验，得到检验，当时，好消息（）比坏消息（）对条件方差有不同的影响，好消息有一个的冲击，坏消息有一个的冲击，因此，对股价反向冲击产生波动性，大于等量正向冲击产生的波动性，这种“利空消息“作用大于”利好消息”作用的非对称性，在很多国家的一些股价指数序列当中都存在。下面对原时间序列的对数序列建立EGARCH模型研究序列中是否存在非对称性影响。建模结果如下图所示：均值方程：方差方程：由方差方程可知，该模型的值大于0，因此当时，有一个倍的冲击，当时，有一个倍的冲击。而且该模型的系数在统计上是显著的，这表明在样本期间上证股票收盘指数中存在“杠杆效应”。7、结论本文利用时间序列分析的建模思想，对中国上证股票日收盘价这一事件序列进行模型的建立和实证分析，了解金融市场中股票价格的基本特征。首先，对样本序列进行了平稳性判别，若非平稳则对该序列进行平稳化处理；其次，对已识别的ARMA模型和ARCH模型族模型进行估计，这里包括模型系数的估计和阶数的判别，由残差检验显示得到的模型是合理的，在整个建模的过程中，通过Eviews 8软件可以很方便地得出序列的模型并且有较高的拟合精度。在建模过程中，我们发现ARMA模型较好地