MATLAB-simulink的数值运算.ppt

1,1.5 MATLAB的数值运算,MATLAB具有强大的数值能力，它不仅能对矩阵和向量进行相应的运算，而且也可处理多项式的解、数据分析、函数的极值、线性方程组的解、函数的微积分和函数绘图等问题。,2,1.5.1 矩阵运算,MATLAB的基本数据单元是不需要指定维数的复数矩阵，它提供了各种矩阵的运算与操作，因它既可以对矩阵整体地进行处理，也可以对矩阵的某个或某些元素进行单独地处理，所以在MATLAB环境下矩阵的操作同数的操作一样简单。,3,1. 矩阵的实现,在MATLAB语言中不必描述矩阵的维数和类型，它们是由输入的格式和内容来确定的，例如当 A1 2时，把A当作一个2维行向量； A5时，把A当作一个标量； A12i时，把A当作一个复数。,4,矩阵可以用以下几种方式进行赋值： 直接列出元素的形式； 通过语句和函数产生； 建立在文件中； 从外部的数据文件中装入。,(1) 矩阵的赋值,5,对于比较小的简单矩阵可以使用直接排列的形式输入，把矩阵的元素直接排列到方括号中，每行内的元素间用空格或逗号分开，行与行的内容用分号隔开。例如，矩阵 在MATLAB下的输入方式为 A=1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9 或 A=1 2 3; 4 5 6; 7 8 9,简单矩阵的输入,6,简单矩阵的输入,对于比较大的矩阵，可以用回车键代替分号，对每一行的内容分行输入，也可利用续行符号（），把一行的内容分两行来输入。例如， A= 1 2 3 ; 4 5 6 7 8 9 或 A=1 2 3 ;4 5 6; 7 8 9 输入后A矩阵将一直保存在工作空间中，除非被替代和清除，在MATLAB的命令窗口中可随时查看其内容。,7,利用语句或函数产生矩阵,在MATLAB中，矩阵也可利用下面的语句来产生： s1:s2:s3 其中，s1为起始值；s3为终止值；s2为步矩。使用这样的命令就可以产生一个由s1开始，以步距s2自增，并终止于s3的行向量。,8,利用语句或函数产生矩阵,例如： y=0:pi/4:pi 结果显示： y= 0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416 如果S2省略，则可以认为自增步距为1，例如 x=1:5 结果显示： x= 1 2 3 4 5,9,利用语句或函数产生矩阵,利用size( )函数可测取一个矩阵的维数，该函数的调用格式为 n, m=size(A) 其中：A为要测试的矩阵名，而返回的两个参数n和m分别为A矩阵的行数和列数。,10,利用语句或函数产生矩阵,当要测试的变量是一个向量时，当然仍可由size( )函数来得出其大小，更简洁地，用户可以使用length( )函数来求出，该函数的调用格式为 n=length(x) 其中，x为要测试的向量名，而返回的n为向量x的元素个数。 如果对一个矩阵A用length(A)函数测试，则返回该矩阵行、列的最大值，即该函数等效于max(size(A)。,11,(2) 矩阵的元素,MATLAB的矩阵元素可用任何表达式来描述，它既可以是实数，也可以是复数,例如 B= -1/3 1.3; sqrt(3) (1+2+3)*i 结果显示： B -0.3333 1.3000 1.7321 0+6.0000i,12,矩阵的元素,MATLAB允许把矩阵作为元素来建立新的矩阵，例如，利用A矩阵通过下面的语句 C=A;10,11,12 结果显示： C= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,13,矩阵的元素,MATLAB还允许对一个矩阵的单个元素进行赋值和操作，例如如果想将A矩阵的第2行第3列的元素赋为100，则可通过下面的语句来完成 A(2,3)=100 结果显示： A= 1 2 3 4 5 100 7 8 9 这时将只改变此元素的值，而不影响其它元素的值。,14,矩阵的元素,如果给出的行数或列数大于原来矩阵的范围，则MATLAB将自动扩展原来的矩阵，并将扩展后未赋值的矩阵元素置为0。例如如果想把矩阵A的第4行第5列元素的值定义为8，就可以通过下面语句来完成。 A(4,5)=8 结果显示： A= 1 2 3 0 0 4 5 100 0 0 7 8 9 0 0 0 0 0 0 8,15,矩阵的元素,MATLAB还允许对子矩阵进行定义和处理。例如： A(1:3,1:2:5) %取A矩阵的第1行到第3行内，且位于第1，2，5列上的所有元素构成的子矩阵 A(2:3,:) %取A矩阵的第2行和第3行所有元素构成的子矩阵,16,(3) 特殊矩阵的实现,在MATLAB中特殊矩阵可以利用函数来建立。 (1) 单位矩阵函数eye( ) 基本格式： Aeye(n) 产生一个n阶的单位矩阵A Aeye(size(B) 产生与B矩阵同阶的单位矩阵A 如:A=eye(5),17,特殊矩阵的实现,(2) 零矩阵函数zeros( ) (3) 1矩阵函数ones( ) (4) 随机元素矩阵函数rand( ) (5) 对角矩阵函数diag( ) (6) 伴随矩阵函数compan( ) (7) 上三角矩阵函数triu( )和下三角矩阵函数tril( ),18,2. 矩阵的基本运算,矩阵运算是MATLAB的基础，MATLAB的矩阵运算功能十分强大，并且运算的形式和一般的数学表示十分相似。,19,(1) 矩阵的转置,矩阵转置的运算符为“ ”。例如 A=1 2 3;4 5 6;B= A 结果显示： B= 1 4 2 5 3 6,20,矩阵的转置,如果是复数的矩阵，则转置（）将同时对复数进行共轭处理，而 （.）则只是将其排列形式进行转置。 例： b=1+2i 2-7i b = 1.0000 - 2.0000i 2.0000 + 7.0000i b=1+2i 2-7i. b = 1.0000 + 2.0000i 2.0000 - 7.0000i,21,(2) 矩阵的加和减,矩阵的加减法的运算符为“”和“”。矩阵只有同阶方可进行加减运算，标量可以和矩阵进行加减运算但应对矩阵的每个元素施加运算。例如 A=1 2 3;4 5 6; B=A+1 B= 2 3 4 5 6 7,22,(3) 矩阵的乘法,矩阵的乘法运算符为“*”。当两个矩阵中前一矩阵的列数和后一矩阵的行数相同时，可以进行乘法运算，这与数学上的形式是一致的。例如： CA*B； 在MATLAB中还可进行矩阵和标量相乘，其结果为标量与矩阵中的每个元素分别相乘。,23,(4) 矩阵的除法,矩阵的除法有两种运算符“”和“/”,分别表示左除和右除。 一般地讲，x= AB是A*x=B的解，x=B/A是x*A=B的解，通常ABB/A, 而AB=inv(A)*B, B/A= B*inv(A),24,(5) 矩阵的乘方,矩阵的乘方运算符为“”。一个方阵的乘方运算可以用AP来表示 。P为正整数，则A的P次幂即为A矩阵自乘P次。如果P为负整数，则可以将A自乘P次，然后对结果进行求逆运算，就可得出该乘方结果。如果P是一个分数，例如Pnm，其中n和m均为整数，则首先应该将A矩阵自乘n次，然后对结果再开m次方。,25,(6) 矩阵的翻转,MATLAB还提供了一些矩阵翻转处理的特殊命令，对nm维矩阵A，如 B=fliplr(A) %将矩阵A进行左右翻转再赋给 B，即bijai,m+1-j， C=flipud(A) %将矩阵A进行上下翻转再赋给C，即cijan+1-i,j， D=rot90(A) %将矩阵A逆时针进行旋转90度后赋给D，即dijaj,m+1-i。,26,(7) 矩阵的超越函数,MATLAB中exp( ),sqrt( ),sin( ),cos( )等基本函数命令可以直接使用在矩阵上，这种运算只定义在矩阵的单个元素上，即分别对矩阵的每个元素进行运算。 超越数学函数,可以在函数后加上m而成为矩阵的超越函数，例如expm(A),sqrtm(A),logm(A)分别为矩阵指数、矩阵开方和矩阵对数。矩阵的超越函数要求运算的矩阵必须为方阵。,27,3. 矩阵的特殊运算,(1) 矩阵行列式和矩阵求逆 求逆：inv(A) 求行列式：det(A) 要求矩阵必须为方阵。,a=1 2 3; 4 5 6; 2 3 5; b=inv(a) b = -2.3333 0.3333 1.0000 2.6667 0.3333 -2.0000 -0.6667 -0.3333 1.0000 det(a) ans = -3,28,(2) 矩阵的迹 假设一个方阵为 Aaij, i,j=1,2,n;则矩阵A的迹定义为 即矩阵的迹为该矩阵对角线上各个元素之和。由代数理论可知矩阵的迹和该矩阵的特征值之和是相同的。 在MATLAB中提供了求取矩阵迹的函数trace( )，其调用方法为 trace(A),29,(3) 矩阵的秩 对于nm维的矩阵A，若矩阵所有的列向量中共有 rc个线性无关，则称矩阵的列秩为rc，如果rc=m， 则称A为列满秩矩阵；相应地，若矩阵A的行向量中有rr个是线性无关的，则称矩阵A的行秩为rr, 如果rrn，则称A为行满秩矩阵。 MATLAB提供了一个内部函数rank( )来用数值方法求取一个已知矩阵的秩，其调用格式为 k=rank(A),30,(4) 矩阵的三角分解 矩阵的三角分解又称为LU分解，它的目的是将一个矩阵A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，亦即可以写成ALU。 在MATLAB下也给出了矩阵的LU分解函数lu( )，该函数的调用格式为 L,U=lu(A),31,(5) 矩阵的特征值与特征向量 V，D=eig(A) 其中：A为要处理的矩阵，D为一个对角矩阵，其对角线上的元素为矩阵A的特征值，而每个特征值对应的V矩阵的列为该特征值的特征向量。该矩阵是一个满秩矩阵，它满足AVVD，且每个特征向量各元素的平方和均为1。如果调用该函数时只返回一个变量D，则D为A的特征值。,32,(6) 矩阵的特征多项式、特征方程和特征根 MATLAB提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly( )，其调用格式为 P=poly(A) 其中：A为给定的矩阵，返回值P为一个行向量，其各个分量为矩阵A的降幂排列的特征多项式系数。即 P= a0 a1 an,33,MATLAB语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 f(x)=a0xn+a1xn-1+ +an-1x+an 可用行向量 p=a0 a1 an-1 an表示。 poly (A)1、产生A矩阵特征多项式系数向量； 2、求根向量A对应的多项式。 特征多项式一定是n+1维的 特征多项式第一个元素一定是1,34,例: a=1 2 3;4 5 6;7 8 0; p=poly(a) p = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的MATLAB描述方法，我们可用函数文件，显示数学多项式的形式： p1=poly2sym(p) p1 = x3-6*x2-72*x-27,35,MATLAB中根据矩阵特征多项式求特征根的函数为roots( )，其调用格式为 V=roots(P) 其中：P为特征多项式的系数向量，而V为特征多项式的解，即原始矩阵的特征根。,36,例： a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a) p = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00 r=roots(p) r = 12.1229 -5.7345 -0.3884 显然， r是矩阵a的特征值,37,当然我们可用poly令其返回多项式形式 p2=poly(r) p2 = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00 MATLAB规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。,38,1.5.2 向量运算,虽然在MATLAB中向量和矩阵在形式上有很多的一致性，但它们实际上遵循着不同的运算规则。MATLAB向量运算符由矩阵运算符前面加一点“.”来表示，如“.*”、“./”和“.”等。,39,1. 向量的加减,向量的加、减运算与矩阵的运算相同，所以“”和“”既可被向量接收又可被矩阵接收。,40,2. 向量的乘法 向量乘法的操作符为“.*”。如果x，y两向量具有相同的维数，则x.*y表示x和y单个对应元素之间的对应相乘。例如 x=1 2 3; y=4 5 6;z=x.*y z= 4 10 18 可见向量的输入和输出与矩阵具有相同的格式，但它们的运算规则不同，例如，如果x是一个向量，则求取函数x平方时不能直接写成x*x，而必须写成x.* x，否则将给出错误信息。,41,但是对于矩阵可以使用向量运算符号，这时实际上就相当于把矩阵看成了向量进行运算。例如对于两个维数相同的A,B矩阵，CA.*B表示A和B矩阵的相应元素之间直接进行乘法运算，然后将结果赋给C矩阵，把这种运算称为矩阵的点积运算，两个矩阵之间的点积是它们对应元素的直接运算，它与矩阵的乘法是不同的。例如 A=1 2 3;4 5 6;7 8 9; B=2 3 4;5 6 7;8 9 0; C=A.*B C= 2 6 12 20 30 42 56 72 0,42,3. 向量的除法 向量除法的操作符为“./”或“.”。它们的运算结果一样。例如对前面给出的x和y向量 x=1 2 3; y=4 5 6;z=y./ x z= 4.0000 2.5000 2.0000,43,对于向量x.y和y./x一样，将得到相同的结果，这与矩阵的左除、右除是不一样的，因向量的运算是它们对应元素间的运算。 对于矩阵也可使用向量的除法操作符，这时就相当于把矩阵看成向量进行运算。,44,4. 向量的乘方 向量乘方的运算符为“.”。向量的乘方是对应元素的乘方，在这种底与指数均为向量的情况下，要求它们的维数必须相同。例如 x=1 2 3; y=4 5 6; z= x.y z= 1 32 729 它相当于 z=1 2 3.4 5 6=14 25 36,45,1.5.3 关系和逻辑运算,1关系运算 MATLAB常用的关系操作符见表1-8表示。MATLAB的关系操作符可以用来比较两个大小相同的矩阵，或者比较一个矩阵和一个标量。如果给定的关系成立，则操作结果为逻辑真(1)，否则操作结果为逻辑假(0)。,46,表1-8 关系运算符,47,函数find( )在关系运算中很有用，它可以在矩阵中找出一些满足一定关系的数据元素。例如 A=1:9; B=A4 B = 0 0 0 0 1 1 1 1 1 C=A(A4) C = 5 6 7 8 9 或 C=find(A4) C = 5 6 7 8 9,find 功能：查找非零元素的值。 格式：k=find(X),48,2. 逻辑运算,MATLAB的逻辑操作符有 （与）、|（或）和（非）。它们通常用于元素或01矩阵的逻辑运算。 与运算符和或运算符可比较两个标量或两个同阶矩阵，对于矩阵，逻辑运算符是作用于矩阵中的元素。逻辑运算结果信息也用“0”和“1”表示，逻辑操作符认定任何非零元素都表示为真。给出1为真，0为假。,49,非是一元操作符，当A非零时，A返回的信息为0，当A为零时， A返回信息为1。因而就有：P|( P)返回值为1，P( P)返回值为0。例 A=1:9;C=(A4) C= 1 1 1 1 0 0 0 0 0 C=(A4)&(A7) C= 0 0 0 0 1 1 0 0 0,50,3关系和逻辑运算函数,除了上面介绍的关系和逻辑运算符外，MATLAB中还提供了一些关系和逻辑运算函数如表1-9所示。 表1-9 关系和逻辑运算函数,51,1.5.4 多项式运算,1多项式的表示 在高等数学中，多项式一般可表示成以下形式 f(x)= a0 x n+a1 x n-1+an-1 x +an 其中，a0,a1,an称为多项式的系数。 所以在MATLAB中多项式很容易用其系数组成的行向量来表示,即 P=a0 a1 an 其中行向量是按其系数降幂排列组成的系数向量。,52,在MATLAB中，利用函数poly2str( )可将多项式的系数向量表示成相应多项式的习惯表示形式，该函数的调用格式为 f=poly2str(p,s) 其中，p为多项式的系数向量；s为多项式的变量名；f为相应的多项式。例 p=1 5 0 3 2;f=poly2str(p,x) 结果显示： f = x4 + 5 x3 + 3 x + 2,53,2多项式的四则运算 多项式的四则运算主要是多项式的加、减、乘和除运算。其中多项式的加、减运算要求两个相加、减多项式的系数向量维数的大小必须相等。 (1) 多项式的加减 例1-11 求以下两个多项式的和。 f1(x)=x 4+5x 3+3x +2，f2(x)=x 2+6x+5 解：MATLAB命令如下 p1=1 5 0 3 2;p2=0 0 1 6 5;p=p1+p2 p= 1 5 1 9 7,54,(2) 多项式的乘法 在MATLAB中，多项式的乘法运算，利用函数conv( )来实现，函数conv( )相等于执行两个数组的卷积，其调用格式为 p=conv(p1,p2) 上例中： p1=1 5 0 3 2;p2=1 6 5