MATLAB的数值运算.ppt

第二章 MATLAB的数值运算,MATLAB具有强大的数值运算能力，它是基于矩阵的运算工具。 2.1 基本语法结构 MATLAB语言的所有运算都是基于矩阵运算来完成的 所有变量都定义为矩阵 所有的运算都是关于矩阵的运算。 对于传统的标量运算，在MATLAB中单独定义了点运算。 2.1.1变量与赋值语句 （1）变量名称：字母+数字，以字母开头，长度最大为63个字母，区分大小写 （2）变量性质：全为矩阵，size()函数。,2.1 基本语法结构, A=1 2;3 4;5 6; size(A) ans = 3 2 矩阵用“”作为标识符，1*1矩阵可省略“”。矩阵的 行元素之间用空格或“，”分隔，各行之间用“；”分隔。如： A=1 2;3 4;5 6 %或A=1,2;3,4;5,6 A = 1 2 3 4 5 6,2.1 基本语法结构,（3）变量赋值 常数赋值：如上例中矩阵A的赋值，x=9; 字符串赋值：f1=This is a string; 表达式赋值：f2=exp(-2*x)*sin(x/5); (4)变量查询 (A) 变量值的查询：直接键入变量名 （B）变量信息：who,whos命令 whos A Name Size Bytes Class A 3x2 48 double array Grand total is 6 elements using 48 bytes,2.1 基本语法结构,2.1.2 函数语句 MATLAB中除赋值语句外的其他语句 a=1 2 3;b=4 ；5 ；6; %赋值语句 c=a*b %乘运算 x=0.9; y=sin(x); 2.1.3 结构变量 1.结构变量的创建 1）直接创建 =hello； patient.bill=50； patient.home=jinan；,patient patient = name: hello bill: 50 home: jinan patient(2).name=web； patient(2).bill=89； patient(2).home=uk； 2）利用结构函数创建 S = STRUCT(field1,VALUES1,field2,VALUES2,.) s = struct(type,big,little,color,red,x,3 4),数据的显示格式,2.1.4 变量精度 MATLAB中一律使用双精度数 可用format命令设置数据的显示格式 format只是影响结果的显示，不影响计算与存储。 format (short)：短格式（5位定点数） format long：长格式（15位定点数 ） format short e：短格式e方式 format long e：长格式e方式 format bank：2位十进制 99.12（银行货币形式） format hex：十六进制格式,2.1.5 永久变量,matlab中预定义的一些特殊的量。 i,j 虚数单位 Realmin 最小的正浮点数， pi 圆周率 Realmax 最大的浮点数， eps 浮点运算的相对精度 Inf 无穷大 NaN not a number ，不定值,1/0 Warning: Divide by zero. ans = Inf 0/0 Warning: Divide by zero. ans = NaN,2.2 矩阵运算,2.2.1 矩阵变量赋值方法 1.直接赋值 a=1 1+2i;2+i exp(1) a = 1.0000 1.0000 + 2.0000i 2.0000 + 1.0000i 2.7183 2.增量赋值 格式：x=初值：增值：终值 x=1:0.1:1.2 x = 1.0000 1.1000 1.2000 增量缺省时默认为1,2.2.1 矩阵变量赋值方法,3.初等矩阵赋值 zeros(m,n) m*n全0矩阵 ones(m,n) m*n全1矩阵 eyes(m,n) m*n单位矩阵 rand(m,n) m*n随机矩阵，01之间均匀分布 randn(m,n) m*n随机矩阵，正态分布，期望值0 rand(3,4) ans = 0.9218 0.4057 0.4103 0.3529 0.7382 0.9355 0.8936 0.8132 0.1763 0.9169 0.0579 0.0099,2.2.1 矩阵变量赋值方法,例2.9 已知控制系统的3个特征根，构造系统的伴随矩阵。 sysroot=-1 2 3;%3个特征根 a=poly(sysroot); %得到特征方程的系数向量 b=a(4),a(3),a(2); comp=zeros(2,1),eye(2);-b; comp = %控制系统的伴随矩阵为 0 1 0 % |0 1 | 0 0 1 % |: . | -6 -11 -6 % |0 . 1 | % |-a(n) a(n-1) -a(2)|,2.2.2 矩阵常规运算,矩阵的常规运算应符合矩阵维数的要求，其常规运算符有： +； - ； *； .*； ; .; ; / ; ./ a ； inv(a) 矩阵翻转fliplr,flipud,rot90 关于除法 左除“”: 相当于Ax=B的解，x=A-1B。 右除“/”：相当于xA=B的解，x=BA-1 a=1 2;3 4 b=2 3; c=a/b c = 0.6154 1.3846,2.2.3 矩阵特征运算,特征值函数 eig() 奇异值函数 svd（） 范数函数 norm（） 秩函数 rank 迹函数：矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹。trace（） 条件数函数：判断矩阵的“病态”程度。 cond（） 矩阵的行列式运算函数 det（） 例：计算矩阵的特征值与奇异值, a=1 2;3 4 eig(a),ans = -0.3723 5.3723, svd(a) ans = 5.4650 0.3660,2.2.4 矩阵分解运算,1.奇异值分解:对任意矩阵A，存在酉阵U、V，使得 U*S*V=A,其中S=diag(s1,s2,sp),si非负，且 称si为矩阵A的第i个奇异值 U,S,V=svd(X) 其中XUSV,a=1;1; U,S,V=svd(a) U = -0.7071 -0.7071 -0.7071 0.7071 S = 1.4142 0 V = -1,2.2.4 矩阵分解运算,2.LU分解 L,U=lu(A) 又称三角分解，目的是分解成一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积，即ALU a=1 2 3;2 4 1;4 6 7; l,u=lu(a),l = 0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0,u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000,2.2.4 矩阵分解运算,3.QR分解 Q,R=qr(A) 做矩阵的正交三角形分解,将矩阵A做正交化分解，使得Q*R=A，其中Q为正交矩阵（其范数为1，指令norm(Q)=1)，R为对角化的上三角矩阵。,a=1 1 1;2 -1 -1;2 -4 5; q,r=qr(a) q = -0.3333 -0.6667 -0.6667 -0.6667 -0.3333 0.6667 -0.6667 0.6667 -0.3333 r = -3 3 -3 0 -3 3 0 0 -3,2.3 基本数学函数,MATLAB的基本数学函数十分丰富，包括： 三角函数：sin,sinh(双曲正弦），asin(反正弦），asinh, cos,cosh,acos,acosh， atan2( 四象限反正切） 指数函数：exp,log,log10,sqrt(平方根） 复数函数：abs,angle,congj(共轭复数），image,real 数值运算：fix（向0取整），floor(向负无穷取整）， ceil(向正无穷取整），round(向最近整数圆整） rem(求余），sign(根据符号取值） 矩阵函数：expm,logm, 例： sin(2) ans = 0.9093, log(8) ans = 2.0794,2.4 点运算,a.b a，b两数组必须有相同的行和列两数组相应元素相乘。 a./b 都是a的元素被b的对应元素除 数组乘方(.) 元素对元素的幂，例： a=1 2 3;b=4 5 6; z=a.2 z = 1.00 4.00 9.00 z=a.b z = 1.00 32.00 729.00,2.5 逻辑关系运算符,= 等于 eq = 不等于 ne 大于 gt = 大于等于 ge & 逻辑与 and | 逻辑或 or 逻辑非 not,a=1:3;4:6;7:9; x=5; y=ones(3)*5; xa=x=a xa = 0 0 0 0 1 1 1 1 1,2.5 逻辑关系运算符, b=0 1 0;1 0 1;0 0 1; a=1:3;4:6;7:9 a = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ab=a&b ab = 0 1 0 1 0 1 0 0 1, nb=b nb = 1 0 1 0 1 0 1 1 0,2.5 逻辑关系运算符,逻辑关系函数 any 向量的任意元素不为0则返回真 all 向量的所有元素不为0则返回真 isempty 判断空矩阵 isequal 判断相等矩阵 isnumeric 判断数值矩阵 islogical 判断逻辑数组 logical 转换数值为逻辑型 isnan 判断不定数 isinf 判断无穷大元素 isfinite 判断有限大元素 find 寻找非零元素坐标,2.5 逻辑关系运算符,a=magic(5); a2=all(a3) a2 = 1 1 0 0 0 a11=any(a(:,1)10) a11 = 1 a22=any(a10) a22 = 1 1 1 1 1,a = 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9,matlab语言把多项式表达成一个行向量， 该向量中的元素是按多项式降幂排列的。 f(x)=anxn+an-1xn-1+a0 可用行向量 p=an an-1 a1 +a0表示 poly 产生特征多项式系数向量 特征多项式一定是n+1维的 特征多项式第一个元素一定是1,2.6 多相式运算,例:a=1 2 3;4 5 6;7 8 0; p=poly(a) p =1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的matlab描述方法，我们可用： p1=poly2str(p,x) 函数文件，显示 数学多项式的形式 p1 =x3 - 6 x2 - 72 x - 27,2.6 多相式运算,2.6 多相式运算,2.roots 求多项式的根 a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a) p = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00 r=roots(p) r = 12.12 -5.73 显然 r是矩阵a的特征值 -0.39,用poly令其返回多项式形式 p2=poly(r) p2 = 1.00 -6.00 -72.00 -27.00 matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。,2.6 多相式运算,3.conv,convs多项式乘运算 4.deconv多项式除运算 5. polyder函数多项式的微分,2.7、代数方程组求解,matlab中有两种除运算：左除和右除。 对于方程ax+b，a 为anm矩阵，有三种情 况：(n为方程个数，m为未知数个数） 当n=m时，此方程成为“恰定”方程 当nm时，此方程成为“超定”方程 当nm时，此方程成为“欠定”方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上 述三种方程,1.恰定方程组的解,方程ax=b(a为非奇异) x=a-1 b 矩阵逆 两种解: x=inv(a)*b 采用求逆运算解方程 x=ab 采用左除运算解方程,方程ax=b a=1 2;2 3;b=8;13; x=inv(a)*b x=ab x = x = 2.00 2.00 3.00 3.00,=,a x = b,例: x1+2x2=8 2x1+3x2=13,2.超定方程组的解,方程 ax=b ,mn时此时不存在唯一解。 方程解 (a a)x=a b x=(a a)-1 a b 求逆法 x=ab matlab用最小二乘法找一 个准确的基本解。,例: x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=3 a=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3; 解1 x=ab x = 1.00 0,=,a x = b,3.欠定方程组的解,当方程数少于未知量个数时,即不定 情况,有无穷多个解存在。 matlab可求出两个解： 用除法求的解x是具有最多零元素的解，另一种是具有最小长度或范数的解，这个解是基于伪逆pinv求得的。,x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2 a=1 2 3;2 3 4;b=1;2; x=ab x=pinv(a)b x = x = 1.00 0.83 0 0.33 0 -0.17,a x = b,2.8 统计分析,2.8.1 基本统计分析 基本统计分析函数位于 toolboxmatlabdatafun max() 找出最大值 min() 找出最小值 Mean() 计算平均值 median() 计算中间值 Std() 计算标准差 sort() 元素排序 Sun() 求和函数 prod() 计算元素的积 Cumsum()计算元素累计和 cumprod() 计算元素累计积 例：已知系统的传递函数为 ，试确定其 单位阶跃响应的最大峰值和对应时间？, n=5;d=1 1.2 5; y,x,t=step(n,d), ym=max(y) ym = 1.4166 tm=spline(y,t,ym) tm = 1.4435,2.8.2 相关分析,主要有两个函数：cov()和corrcoef() 1.协方差矩阵函数cov() Cov(X) 计算Cov(X) =E(X-EX)T(X-EX) Cov(X,Y) 计算两个向量X Y的协方差 2.相关矩阵系数 P=corrcoef(X) 计算相关矩阵 P=corrcoef(X,Y) 计算两个向量X Y的相关系数,插值的定义是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。 当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。 Matlab提供了一维、二维、 三次样条等许多插值选择,2.9 函数插值运算,table1 table2 interp1 interp2 spline ,插值函数,Table1和table2已基本被interp1和interp2代替,2.9 函数插值运算,1.一维插值函数interp1 调用格式：YI=interp1(x,y,XI,method) X、y是已知的基准数据向量对，且x必须单调排列，XI为插值点坐标值向量， method为插值算法，默认为线性插值。, x=0:2*pi/10:2*pi; y=sin(x); xi=0:2*pi/180:2*pi; yi=interp1(x,y,xi); yii=sin(xi); stem(x,y); hold on plot(xi,yi) plot(xi,yii,r),2.9 函数插值运算,2.二维插值函数interp2 调用格式：ZI=interp1(x,y,z,XI,YI,method) X、y、z是已知的基准数据，XI、YI自变量对组， method为插值算法，默认为线性插值。 3.三次样条函数插值 Yy=spline(x,y,xx) 根据样点数据（x,y），求xx对应的三次样条插值yy。 例： x=0:2*pi/360:2*pi; y=sin(x).*cos(x); xi=0:2*pi/45:2*pi; yi=spline(x,y,xi); plot(x,y) plot(xi,yi,r),2.9 函数插值运算,因求f（x）的极大值等价于求-f（x）的极小值，故MATLAB中只有处理极小值的指令 X=fminbnd(fun,x1,x2) 1.一元函数的极小值点 2.多元函数的极小值点 X=fminsearch(fun,x0) 单纯形法 X=fminunc(fun,x0) 拟牛顿法 X0是一个向量，表示极值点位置的初始猜测 例1：f(x)=x2+3x+2在-5 5区间的最小值 f=fminbnd(x2+3*x+2,-5,5) f = -1.5000,2.10 函数优化（函数极值点）,function f=myfun01(x) f=x2+3*x+2; s=fminsearch(myfun01,-5) s = -1.5000 f=inline(x2+3*x+2); a=fminsearch(f,-5) a = -1.5000,例2：f(x)=100(y-x2)2+(1-x)2在x=-1.2, y=1的最小值 function f=xun(x) f=100*(x(2)-x(1).2).2+(1-x(1).2; X0=-1.2,1; x=fminsearch(xun,x0) x = 1.0000 1.0000,2.10 函数优化（函数极值点）,2.11 数值运算,2.11.1 数值积分 常用一元函数求闭区间积分运算的函数如下： Quad 采用自适应simpson法计算积分，精度较高，较常用 Quadl 采用自适应lobatto法计算积分，精度高，最常用 Trapz 采用梯形法求定积分，速度快，精度差 Cumsum 等宽矩形法求一个区间上的积分曲线，精度差，一般不用 调用格式：Quad（l）（fun，a，b，）% fun可为字符串或m函数 例：求, fun=exp(-x.*x); quad(fun,0,1),ans = 0.7468 quadl(fun,0,1) ans = 0.7468,quad(exp(-x.*x),0,1) ans = 0.7468