MATLAB符号计算.ppt

第3章 MATLAB符号计算,2019/4/30,本章内容,3.1 符号计算基础 3.2 微分运算 3.3 积分运算 3.4 泰勒级数 3.5 求解方程 3.6 积分变换,3.1 符号计算基础,3.1.1 符号对象 1. 建立符号变量和符号常数 (1)sym函数 S=sym(A) sym函数用来建立单个符号变量，例如，a=sym(a)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。 定义符号常量 如pi=sym(pi) a=sym(3/4),例3.1考察符号变量和数值变量的差别。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); %定义4个符号变量 w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量 A=a,b;c,d %建立符号矩阵A B=w,x;y,z %建立数值矩阵B det(A) %计算符号矩阵A的行列式 det(B) %计算数值矩阵B的行列式,例3.2 比较符号常数与数值变量在代数运算时的差别。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3); % 定义符号常数 pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定义数值变量 sin(pi1/3) % 计算符号表达式值 sin(pi2/3) % 计算数值表达式值 sqrt(k1) % 计算符号表达式值 sqrt(r1) % 计算数值表达式值 sqrt(k3+sqrt(k2) % 计算符号表达式值 sqrt(r3+sqrt(r2) % 计算数值表达式值,(2)syms函数 1.用于定义多个符号变量。 syms函数的一般调用格式为： syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,2. 建立符号表达式 例3.3用2种方法建立符号表达式。 在MATLAB窗口，输入命令： U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6) %定义符号表达式U syms x y; %建立符号变量x、y V=3*x2+5*y+2*x*y+6 %定义符号表达式V 2*U-V+6 %求符号表达式的值,例3.4 计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。 命令如下： syms a b c; U=a,b,c; A=1,1,1;U;U.2 %建立范得蒙符号矩阵 det(A) %计算A的行列式值,例3.5 建立x,y的一般二元函数。 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y; f=sym(f(x,y);,3.1.2 基本的符号运算 (1)符号表达式的代数运算 与矩阵运算基本一致，详见P9596。 (2)符号与数值的转换：sym，numeric，eval，sym2poly，poly2sym Numeric，eval：将符号常数转换为数字或计算表达式的函数； Sym2poly：将符号多项式变换为等价系数向量。 Poly2sym：要求用户指定用于表达式的变量（x，y等） 例3.6 f=sym(2*x2+7*x+9) n=sym2poly(f) f1=poly2sym(n,y),(3)因式分解与展开 factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。 expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。,例3.7 对符号矩阵A的每个元素分解因式。 命令如下： syms a b x y; A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3-b3; factor(A) %对A的每个元素分解因式,例3.8 计算表达式S的值。 命令如下： syms x y; s=sym(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2); s1=expand(s) %对s展开 s2=collect(s,x) %对s按变量x合并同类项(无同类项) factor(s2) % 对s2分解因式,(4)表达式化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。 例3.9化简 命令如下： syms x y; s=(x2+y2)2+(x2-y2)2; simple(s) %MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果,(5) 符号表达式中变量的确定 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为： findsym(S,n) 函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。 在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。,3.2 微分运算,3.2.1符号表达式的极限运算 limit 函数的调用格式为： limit(f,x,a) Limit(f,a) Limit(f) limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为： limit(f,x,a,right) limit(f,x,a,left),例3.10求极限。 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms a m x; f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a); limit(f,x,a) %求极限(1) f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x; limit(f) %求极限(2) limit(f,inf) %求f函数在x(包括+和-)处的极限 limit(f,x,inf,left) %求极限(3) f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a); limit(f,x,a,right) %求极限(4),3.2.2 符号函数求导及其应用 MATLAB中的求导的函数为： diff(f,x,n) diff函数求函数f对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。,例3.11 求函数的导数。 命令如下： syms a b t x y z; f=sqrt(1+exp(x); diff(f) %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理 f=x*cos(x); diff(f,x,2) %求(2)。求f对x的二阶导数 diff(f,x,3) %求(2)。求f对x的三阶导数 f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数 (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 %求(3)。求y对x的二阶导数 f=x*exp(y)/y2; diff(f,x) %求(4)。z对x的偏导数 diff(f,y) %求(4)。z对y的偏导数 f=x2+y2+z2-a2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数 zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数,例3.12在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。 命令如下： x=sym(x); y=x3+3*x-2; %定义曲线函数 f=diff(y); %对曲线求导数 g=f-4; solve(g) %求方程f-4=0的根，即求曲线何处的导数为4,3.3 积分运算,3.3.1 不定积分 在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为： int(f,x) int函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。,例3.13求不定积分。 命令如下： x=sym(x); f=(3-x2)3; int(f) %求不定积分(1) f=sqrt(x3+x4); f1=int(f) %求不定积分(2) g=simple(f1) %调用simple函数对结果化简,3.3.2 定积分 定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数： int(f,x,a,b) 例3.14求定积分。,命令如下： x=sym(x);t=sym(t); int(abs(1-x),1,2) %求定积分(1) f=1/(1+x2); int(f,-inf,inf) %负无穷到正无穷求定积分(2) int(4*t*x,x,2,sin(t) %求定积分(3) f=x3/(x-1)100; I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求 定积分(4) double(I) %将上述符号结果转换 为数值,例3.15求椭球的体积。 命令如下： syms a b c z; f=pi*a*b*(c2-z2)/c2; V=int(f,z,-c,c) V = 4/3*pi*a*b*c,例3.16轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量。 (1)符号函数积分 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms x; f=6+0.3*x; m=int(f,0,10) (2)数值积分 先建立一个函数文件fx.m： function fx=fx(x) fx=6+0.3*x; 再在MATLAB命令窗口，输入命令： m=quad(fx,0,10,1e-6),例3.17 求空间曲线c从点(0，0，0)到点(3，3，2)的长度。求曲线c的长度是曲线一型 命令如下： syms t; x=3*t;y=3*t2;z=2*t3; f=diff(x,y,z,t) %求x,y,z对参数t的导数 g=sqrt(f*f) %计算一型积分公式中的根式部分 l=int(g,t,0,1) %计算曲线c的长度,3.4 泰勒级数,3.4.1 函数的泰勒级数 MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor，其调用格式为： taylor(f,v,n,a) 变量v在a点的n-1阶泰勒级数 例3.18求函数在指定点的泰勒展开式。 命令如下： x=sym(x); f1=(1+x+x2)/(1-x+x2); f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3); taylor(f1,x,5) %求(1)。展开到x的4次幂 taylor(f2,6) %求(2)。,例3.19将多项式表示成x+1的幂的多项式。 命令如下： x=sym(x); p=1+3*x+5*x2-2*x3; f=taylor(p,x,-1,4) 例3.20应用泰勒公式近似计算 。 命令如下： x=sym(x); f=(1-x)(1/12); %定义函数，4000(1/12)=2f(96/212) g=taylor(f,4) %求f的泰勒展开式g，有4000(1/12)2g(96/212) b=96/212; a=1-b/12-11/288*b2-253/10368*b3 %计算g(b) 2*a %求4000(1/12)的结果 4000(1/12) %用MATLAB的乘方运算直接计算,3.5 求解方程,3.5.1 求解代数方程 函数solve 其调用格式为： solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN) solve(p*sin(x) = r) x,y = solve(x2 + x*y + y = 3,x2 - 4*x + 3 = 0) P107108 例子 请查阅help solve,3.5.2常微分方程的求解,函数dsolve 该函数的调用格式为： dsolve(eqn1,condition,var) 该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。 dsolve在求微分方程组时的调用格式为： dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,var1,varN) 函数求解微分方程组eqn1、eqnN在初值条件conditoion1、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、varN给出求解变量。,Dsolve 参数说明,(1)Eqn 微分方程输入方法： 例： 命令：Y=dsolve(D2y-2*Dy-3*y=0,x) (2)condition 初始条件 y(a)=b;Dy(a)=c;D2y(a)=d; 最多可接受12个输入参量,例3.25 求微分方程的通解。 命令如下： y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x) %解(1)。方程的右端为0时可以不写 y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x) %解(2) y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x) %解(3),例3.26 求微分方程的特解。 命令如下： y=dsolve(Dy=2*x*y2,y(0)=1,x) %解(1) y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x) %解(2),例3.27用微分方程的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比较。 在MATLAB命令窗口，输入命令： y=dsolve(Dy+2*y/x-4*x,y(1)=2,x) %用符号方法得到方程的解析解 为了求方程的数值解，需要按要求建立一个函数文件fxyy.m： function f=fxyy(x,y) f=(4*x2-2*y)/x; %只能是y=f(x,y)的形式，当不是这种形式时，要变形。 return 输入命令： t,w=ode45(fxyy,1,2,2); %得到区间1，2中的数值解，以向量t、w存储。 为了对两种结果进行比较，在同一个坐标系中作出两种结果的图形。输入命令： x=linspace(1,2,100); y=x.2+1./x.2; %为作图把符号解的结果离散化 plot(x,y,b.,t,w,r-);,3.6 积分变换 1. 傅立叶(Fourier)变换 在MATLAB中，进