MATLAB符号运算4.ppt

1,2,本章目标,理解符号运算的有关概念 掌握使用符号运算解决符号推导、微积分、方程等问题的方法,3,主要内容,2.8 数值运算与符号运算 2.9 符号变量和符号表达式 2.10 符号表示式的运算 2.11 微积分 2.12 方程求解,4,在前面的章节中，我们已介绍了MATLAB在数值运算的能力，接着我们再说明另一种不同的运算法符号数学 (symbolic mathematic)。在示范如何定义一个符号表示式后，将讨论用以简化数学式的符号函数。除此之外，我 们还要说明如何利用符号运算解微分方程式、积分和微分。,2.8数值运算与符号运算,5,什么是符号数学？顾名思义，符号数学是以符号(如a，b，c，x，y，z)为对象的数学，区别于以数字为对象的MATLAB基本部分。一般我们做运算时多半是以数值做运算，例如一算式1+0.5=1.5就是以数值运算；如果是a除b这个算式 ，我门知道改以分数做运算就可得到正确解，而无因舍未造 成的误差。符号运算即是能以分数做运算，而无须转换成数值再运算。再举一例，我们皆知cos(x)微分得到 sin(x)，这样的数学式你是无法用数值做运算。当然符号数学能运算复杂的数学式，这也是我们使用它的目的。,2.8数值运算与符号运算,6,2.8数值运算与符号运算,数值运算在运算前必须先对变量赋值，再参加运算。 符号运算不需要对变量赋值就可运算，运算结果以标准的符号形式表达。,7,在MATLAB中是将一符号表示式储存唯一字串 (character string)，即是以二个单引号之内的表示式来定义其为 一符号式，例如： tan(y/x), x3 - 2*x2 + 3, 1/(cos(angle)+2) 的三个式子。,2.8数值运算与符号运算,8,2.9 符号变量和符号表达式,2.9.1建立符号对象 1建立符号变量和符号常量 MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。 (1) sym 函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： 符号量名=sym(符号字符串) 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。 应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。,9,2.9 符号变量和符号表达式,(2) syms 函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。,10,2.9 符号变量和符号表达式,2建立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法： (1)利用单引号来生成符号表达式。 (2)用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。,11,2.9 符号变量和符号表达式,符号变量和符号表达式在使用前必须说明 sym函数 f=sym(a*x2+b*x+c) %创建符号变量 f和一个符号表达式 首先要对符号变量作出定义，此语句就定义了f是一个字符串变量，此后键入的算式y=3*f2+5*f+2， 或 z=sin(f) 就具有了符号函数的意义，y和z也自然成为字符串变量。,12,2.9 符号变量和符号表达式,符号变量和符号表达式在使用前必须说明 syms函数 如果一个数学符号表示式中有多个符号，如 z = a*t2+b*t+c 可以用多个符号变量定义语句放在此式前面。 clear syms a b c t whos Name Size Bytes Class a 1x1 126 sym object b 1x1 126 sym object c 1x1 126 sym object t 1x1 126 sym object,13,2.10 符号表示式的运算,2.10.1 算术运算或四则运算 1 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。 clear f1 = sym(1/(a-b) ); f2 = sym(2*a/(a+b) ); f3 = sym( (a+1)*(b-1)* (a-b) ); f1+f2 %符号和 ans = 1/(a-b)+2*a/(a+b) f1*f3 %符号积 ans = (a+1)*(b-1) f1/f3 %符号商 ans = 1/(a-b)2/(a+1)/(b-1),14,2.10 符号表示式的运算,2.10.1算术运算 2符号表达式的提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为： n,d=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它 们存放在n与d中。,15,2.10 符号表示式的运算,2.10.1算术运算 3符号表达式的因式分解与展开 MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为： factor(s)：对符号表达式 s 分解因式。 expand(s)：对符号表达式 s 进行展开。 collect(s)：对符号表达式 s 合并同类项。 collect(s,v)：对符号表达式 s 按变量v合并同类项。,16,2.10.2 函数运算,1化简函数 simplify函数：利用代数中的函数规则对表达式进行化简； 2反函数 finverse（f,v） 对指定自变量为v的函数f(v)求反函数 3复合函数 compose(f,g) 求f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(y) compose(f,g,z) 求 f=f(x)和g=g(y)的复合函数f(g(z) 4表达式替换函数 subs(s) 用赋值语句中给定值替换表达式中所有同名变量 subs (s, old, new) 用符号或数值变量new替换s中的符号变量old,17,例1,factor(f2) %分解因式 ans = (a-1)*(a2+a+1) m,n=numden(f3) %m为分子，n为分母 m = 1+2*a+3*a2+4*a3+5*a4 n = a4 simplify(f4) ans = 1,clear f1 =sym(exp(x)+x)*(x+2); f2 = sym(a3-1); f3 = sym(1/a4+2/a3+3/a2+4/a+5); f4 = sym(sin(x)2+cos(x)2); collect(f1) %合并同类项 ans = x2+(exp(x)+2)*x+2*exp(x) expand(f1) %展开 ans = exp(x)*x+2*exp(x)+x2+2*x,18,clear syms x y finverse(1/tan(x) %求反函数，自变量为x ans = atan(1/x) f = x2+y; finverse(f , y) %求反函数，自变量为y ans = -x2+y clear syms x y z t u; f = 1/(1 + x2); g = sin(y); h = xt; p = exp(-y/u); compose(f,g) %求f = f(x) 和 g = g(y)的复合函数f(g(y) ans = 1/(1+sin(y)2),例2,19,clear syms a b subs(a+b,a,4) %用4替代a+b中的a ans = 4+b subs(cos(a)+sin(b),a,b,sym(alpha),2) %多重替换 ans = cos(alpha)+sin(2) f=sym(x2+3*x+2) f = x2+3*x+2 subs(f, x, 2) %求解f当x=2时的值 ans = 12,例3,20,2.10.2 函数运算,5符号表达式中变量的确定 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为： findsym( s , n ) 函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。,21,2.10.2 函数运算,6. 符号矩阵 符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。 由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如 transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。 determ(s)：返回s矩阵的行列式值。 其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。,22,2.11 微积分,2.11.1极限 1. 符号极限 limit函数的调用格式为： (1) limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。 (2) limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，则使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认自变量，即变量x趋近于a。,23,2.11 微积分,2.11.1极限 (3) limit(f)：求符号函数f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。 (4) limit( f, x, a, right )：求符号函数f的极限值。right表示变量x从右边趋近于a。 (5) limit( f, x, a, left )：求符号函数f的极限值。left表示变量x从左边趋近于a。,24,2.11 微积分,2.11.1极限 例4 求下列极限。 极限1： syms a m x; f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); limit( f, x, a ) ans = (1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp(tan(a)+1)/a,25,2.11 微积分,2.11.1极限 例4 求下列极限。 极限2： syms x t; limit(1+2*t/x)(3*x), x, inf ) ans = exp(6*t),26,2.11 微积分,2.11.1极限 极限3： syms x; f=x*(sqrt(x2+1)-x); limit( f, x, inf , left ) ans = 1/2,27,2.11 微积分,2.11.1极限 极限4： syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4); limit( f, x, 2, right ) ans = -1/2,28,例5, clear syms a x limit( 1/x, x, 0 ) ans = NaN limit( 1/x, x, 0 , left ) ans = -Inf limit( 1/x, x, 0 , right ) ans = Inf limit( ( ( x+a )/(x-a ) )x, Inf ),29,2.11.2 微分,符号导数 diff函数用于对符号表达式求微分。该函数的一般调用格式为： (1) diff( t )：没有指定变量和导数微分，则系统按findsym函数指示的默认变量对符号表达式f求一阶微分。 (2) diff( f, t )：以t为自变量，对符号表达式f求一阶微分。 (3) diff( f, n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式f求n阶微分，n为正整数。 (4) diff( f , t , n)：以t为自变量，对符号表达式f求n阶微分。,30,例6,31,例6,32,2.11.3 积分,符号积分 符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为： (1) int( f )：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式f求不定积分。 (2) int( f, t)：以t为自变量，对被积函数或符号表达式f求不定积分。 (3) int( f, t, a, b)： int( f, a, b)求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间a,b上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量t在闭区间a,b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。,33,2. 11.3 积分,34,2. 11.3 积分,35,2.11.3 积分,级 数 1 级数符号求和 求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为： symsum(s,v,n,m) 其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。,36,2 函数的泰勒级数 MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为： taylor( f, v, n, a ) 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。,2.11.3 积分,37,2.12 方程求解,2.12.1 符号方程求解 符号代数方程求解 在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为： (1) solve( s )：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。 (2) solve( s, v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。,38,2.12 方程求解,2.12.2 代数方程组 代数方程的求解由函数solve实现： (1) solve(f1,fn) 求解由f1,fn组成的代数方程组 (2) solve( s1, s2, sn, v1, v2, vn )：求解符号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。 2.12.3 常微分方程 使用函数dsolve来求解常微分方程： dsolve(eq1, eq2, ., cond1, cond2, ., v),39,例8