《金融数学》ppt课件（2－2）等额年金.pptVIP

1,孟生旺 中国人民大学统计学院,等额年金（II）： 每年支付 m 次的年金和连续支付的年金,2,回顾,3,上述年金的特点 每年复利1次（给出年实际利率），每年支付1次 问题：如何计算下述年金？ 每年复利 k 次（给出年名义利率），每年支付1次 每年复利1次，每年支付 m 次 解决途径之一： 计算每次付款对应的实际利率，再应用基本公式。 解决途径之二：建立新公式（只讨论每年支付m次的年金）,4,例：投资者在前2年的每年初向一基金存入1000元，在后3年的每年初存入2000元。如果该基金每月复利一次，月实际利率为0.5%，试计算该项投资在第5年末的价值。（应用基本公式） 解：这是每年支付1次、每年复利12次的年金。 相应的年实际利率为,5,因此该笔年金在第5年末的价值为,6,例：一笔50000元的贷款，计划在今后的5年内按月偿还，如果每年复利两次的年名义利率为6%，试计算每月末的付款金额。 （应用基本公式）,7,解：假设月实际利率为 j，每月偿还金额为 X，则 每年复利两次的年名义利率为6%，所以半年度的实际利率为3%，月实际利率为 j = (1 + 3%) 1/6 1 = 0.49386% 所以,8,每年支付 m 次的年金：建立新公式 n 表示年数。 m 表示每年的付款次数。 nm 表示年金的支付总次数。 i 表示年实际利率。,9,期末付年金（annuity-immediate payable mthly）：每年支付m次, 每次的付款为1/m元，每年的付款是1元。,每年支付 m 次的期末付年金,10,证明：,（级数求和）,（分子分母同乘(1+i)1/m),支付n年，每年支付m次，每次支付1/m元，每年总共支付1元。其现值为：,11,12,要求每次的付款额为1/m ，每年的付款总额为1元。 是以每年的付款为单位1计算的。 需要已知年实际利率和名义利率。,应用上述现值公式的注意事项：,例：10年内每月末支付400的现值？ 例：5年内每4个月末支付200的现值？,13,的关系：,证明：,14,上述年金的累积值可表示为 的关系：,例：10年内每季度末支付400的累积值？ 例：5年内每4个月末支付200的累积值？,15,注：,如果每年付款一次，即m = 1，则 有 ，所以期末付年金的现值成为 期末付年金的终值成为,16,例： 某投资者向一基金存入10000元，基金的年实际利率为5%，如果该投资者希望在今后的5年内每个季度末领取一笔等额收入，试计算该投资者每次可以领取多大金额。,17,解：假设在每个季度末可以领取x元，则每年的领取额是 4x元，因此所有领取额的现值为 ，故：,课后练习：请用excel，先求出季实际利率，再求解 x，并比较计算的简便性。,18,练习（课外）：某投资者在每月末向一基金存入100元，如果基金的年实际利率为5%，试计算该投资者在第5年末可以积累到多少？ 解：这是一项每年支付12次的期末付年金，每年的支付额为1200元。因此有,19,期初付年金（annuity-due payable mthly）,每年支付m次的期初付年金,20,请比较,每年支付m次的期初付年金的现值为：,21,注：如果年付款一次，即m = 1，则有 ，所以期初付年金的现值成为,22,期初付年金的累积值可表示为,（请练习）,23,如果每年付款一次，即m = 1，则有 ，所以期初付年金的终值成为 对于每年支付m次的年金，由于期初付的每一次付款比期末付的每一次付款早1/m个时期，故 有下述关系（请练习）：,24,例：证明下列等式： （1） （2）,证明：,因为,故证明上式等价于证明,等价,25,（注：实际利率实际贴现率实际利率实际贴现率）,因为,得证,两边乘以,26,永续年金：每年支付m次的永续年金的现值如下,（两个年金相差1/m个时期）,27,例：投资者现在投资20000元，希望在今后的每月末领取100元，并无限期地领下去，年实际利率应该为多少？ 解：m = 12，每年领取的金额为1200元。假设年实际利率为i，则：,28,连续支付的年金 （continuously payable annuity）,含义： 假设连续不断地进行付款（ ），但每年的付款总量仍然为1元。 记号：,表示连续支付年金的现值,表示连续支付年金的累积值,29,连续支付年金是年支付次数m趋于无穷大时的年金，故 或 连续支付年金与基本年金的关系：,30,如果将连续支付年金的现值完全用利息力表示，则有 连续支付的永续年金：连续支付，每年的支付总量为1，支付期限为无穷。其现值为：,31,连续支付年金的累积值可以通过极限方式求得：,连续支付年金的累积值,也可以通过现值求得：,32,连续支付年金与基本年金的关系： 如果将连续支付年金的累积值完全用利息力表示，则有,33,例：当利息力为多少时， 解：将等式两边变形，可得,34,而 意味着利息力为 0。 故 因此使得上述等式成立的利息力为,35,等额年金公式小结,36,37,38,价值方程（equation of value） ： 未知利率和未知时间的求解,39,例：如果现在投资1000元，3年后投资2000元，在10年后的全部收入为5000元，计算半年复利一次的年名义利率。 解：令 ，价值方程为 用excel求解此方程得（请练习）,40,例：假设某投资人的原始投入为500，他想每年末得到100的回报，年利率为3，请问年金的付款次数是多少？ 若年金为5年期，则年金的现值为457.97，小于500。 若年金为6年期，则年金的现值为541，大于500。,41,解决方案： 1. 分五次付款，前4次每次付款100元，最后一次付款额为X，价值方程为 X = 148.72,2. 分六次付款，前5次每次付款100元，最后一次付款为X，价值方程为 X = 50.18,42,例：投资者在每季初向基金存入