《金融数学》ppt课件（1－1）利息度量.pptVIP

1,利息理论,孟生旺 中国人民大学统计学院 /mengshw,2,主要内容,利息的度量 年金计算 投资收益 债务偿还 证券定价：债券、股票、衍生产品（远期、期货、互换、期权） 利率风险,3,利息度量 (1) （Measurements of interest）,4,在日常生活中： 如何度量速度？距离/时间 瞬时速度 如何度量死亡率？死亡人数/期初生存人数 死亡力 如何度量利率？利息/本金 利息力（连续复利）,5,1.1 利息的基本函数,利息（interest）的定义： 借用他人资金所需支付的成本，或出让资金所获得的报酬。 利息存在的合理性 资金的稀缺性 时间偏好 资本生产力,6,关于利息的几个基本概念,本金（principal）：初始投资的资本金额。 累积值（accumulated value）：过一段时期后收到的总金额。 利息（interest）累积值与本金之间的差额。,7,积累函数 (Accumulation function),累积函数是指期初的1元本金在时刻 t 时的累积值, 通常被记为a (t) 。 性质： a (0) = 1； a (t) 通常是时间的递增函数； 当利息是连续产生时，a (t) 是时间的连续函数。当利息是跳跃产生时， a (t) 是间断函数。 注：一般假设利息是连续产生的。,8,例：,考察下面常见的积累函数 （1）常数：a (t) = 1 （2）线性：a (t) = 1 + 0.1 t （3）指数：a (t) = (1+0.1) t 上述3个函数是否满足积累函数的性质？,9,对应哪些生活中的实例？,10,1,0,t,a(t),累积函数？,对应哪些生活中的实例？,11,金额函数（Amount function）,当原始投资不是1个单位的本金，而是 k 个单位时，则把 k 个单位本金的原始投资在时刻 t 的积累值记为A (t) ,称为金额函数。 性质 A (0) = k； A (t) = ka(t), k 0, t 0,12,利息（interest）的数学定义,从投资之日算起，在第n个时期所获得的利息金额记为 I(n) ，则 利息金额 I(n) 在整个时期内产生，但在最后时刻实现（支付、得到）。 金额函数 A(t) 在时间段 t1 , t2 内所获得的利息金额为,13,1.2 实际利率（effective rate of interest）,实际利率 i 等于某一时期开始时投资1单位本金，在此期间末应获得的利息： 实际利率i是某个时期获得的利息金额与期初本金之比：,14,实际利率经常简称为利率，用百分比来表示，如8% ； 利息是在期末支付的； 本金在整个时期视为常数； 通常的计息期为标准时间单位，如年、月、日。若无特别说明，实际利率是指年利率。 实际利率可对任何时期来计算。第 n 个时期的实际利率为,附注：,例： 把1000元存入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年末存款余额为1050元，求第一年和第二年的实际利率分别是多少？,16,解：,17,1.3 单利 (simple interest),假设在期初投资1单位，在每个时期末得到完全相同的利息金i ，即只有本金产生利息，而利息不会产生新的利息，这种计息方式称为单利，i 称为单利率。 单利的积累函数满足下述性质： 上述单利的积累函数对 t 0 的整数值才有定义。,18,考虑单利的一个直观性质： 从时间 t 开始到时间 ts 所产生的利息等于从时间 0 开始到时间 s 所产生的利息。即相同的时期产生相同的利息。,当 t 为非整数时，单利的累积函数（了解）：,0,s,t,t+ s,19,假设 a(t) 可导，由导数的定义有,在上式中，用 s 代替 t，并在等式两端从0到 t 积分，即得,20,现在只需求出,，即可求得单利条件下的累积函数,若令t = 1，则由上式有,而由前面可知，a(1) = 1 + i,因此,a(t) = 1 + it,上述推导过程没有限制 t 为正整数，因此对一切大于零 的时间 t 都是成立的。,21,单利的累积函数,22,常数的单利并不意味着实际利率(effective rate)是常数！,问题: 为什么在每个时期所获的利息金额相等，而实际利率却越来越小呢？,因此，实际利率是 n 的递减函数。,单利与实际利率的关系：,23,例,若每年单利为8，求投资2000元在4年后的积累值和利息。 累积值为： 所得利息的金额为,24,单利的应用: t 的确定, t = 投资天数/每年的天数,（1）精确单利，记为“实际/实际”（actual/ actual），即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，每年按365天计算。 （2）银行家规则 ( bankers rule ) ，记为“实际/360”，即投资天数按两个日期之间的实际天数计算，而每年按360天计算。 （3）“30/360”规则，即在计算投资天数时，每月按30天计算, 每年按360天计算。两个给定日期之间的天数按下述公式计算：,其中支取日为Y2年M2月D2日，存入日为Y1年M1月D1日。,25,例：,若在1999年6月17日存入1000元，到2000年9月10日取款，年单利利率为8，试分别按下列规则计算利息金额： （1）“实际/实际”规则 （2）“30/360”规则 （3）“实际/360”规则,26,（1）从1999年6月17日到2000年9月10日的精确天数为451（应用EXCEL），因此利息金额为 （2）根据 “30/360”规则，投资天数为 因此利息金额为 （3）根据 “实际/360”规则计算的利息金额为,27,单利的缺陷：不满足一致性,令 t = t 1 + t2 则 含义：分两段投资将产生更多利息。 问题：分段越来越多，产生的利息是否会越来越多？最多是多少？连续利率计息。,28,1.4 复利 (compound interest),在单利情形下，前面时期所获得的利息并没有在后面的时期获取利息。 假设年初存入1000元，每年的利率为5，则每年末可获利50元，因此在年末有1050元可以用来投资。如果按照1050元来计算，将在明年末获得利息为52.5元，比只按照1000元投资要多获得利息2.5元。 复利的基本思想：利息收入被再次计入下一期的本金，即所谓的“利滚利”。,29,复利的积累函数,考虑期初投资1，它在第一年末的积累值为1i; 余额1i可以在第二期初再投资，在第二期末积累值将达到 (1+i) + (1+i)i = (1+i)2 ; 在第三期末将达到 (1+i)2 + (1+i)2 i = (1+i)3 一直持续下去， 对于整数时期 t，积累函数为,30,对于非整数t， 复利的累积函数（了解）,设a(t)可导，则由导数的定义得,如何求出a(t)的表达式？,31,因此，,将 t 换成 r，并将等式从0到 t 积分，有,注：a(0)=1,求出 即可！,32,可见，对于非整数 t，同样有,若取 t =1, 则有,又因为,故,因此由,可以求得,33,复利的累积函数,34,常数的复利率意味着实际利率也为常数,复利与实际利率的关系,35,单利与复利之间的关系（下图）,单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。 当 0 1时，复利比单利产生更大的积累值。 当 t = 1 或 0 时，单利和复利产生相同的累积值。,复利,单利,36,单利累积函数：是一条直线 复利累积函数：一阶导数大于0，二阶导数也大于0。下凸曲线。 两个交点：0和1。,复利,单利,37,38,39,40,例,按复利和单利分别计算，当年利率为11时，开始应投资多少元钱才能使第5年的本金和利息总和积累到1000元?,41,1.5 贴现（discount）,思考：在期初开始时应投资多少，才能使得年末的本金和利息总额恰好为1? 这是一个求现值的过程，即贴现过程，与累积过程互逆。 时刻 t 的1个货币单位在时刻0的价值称为贴现函数。用 a -1(t)表示。,0,t,1,a(t),a -1(t),1,42,贴现函数(discount function),单利的贴现函数 复利的贴现函数,43,单利和复利的现值比较：金额为1,44,单利和复利的现值比较：金额为1,45,注：,除非特别申明，今后一概用复利计算现值。 (1+i) t 称为1在 t 时期末的累积值，而 v t= (1+i)-t 称为 t 时期末支付1元的现值。,46,(1+ i) 累积因子： accumulation factor,t年累积因子：t-year accumulation factor,贴现因子： discount factor,vt t年贴现因子： t-year discount factor,几个术语：,47,实际贴现率：d (effective rate of discount with compound interest),实际贴现率等于一个时期的利息收入与期末累积值之比： 利息按期初余额计算，在期末支付。 贴现按期末余额计算，在期初支付。 例：A向银行借100，为期1年，银行预收6的利息，而仅给A支付94，一年后A还给银行100。贴现率为6。利率是多少？,48,第 n 个时期的实际贴现率等于 当单利率为 i，单贴现率 是 n 的递减函数。 当复利率为 i 时，复贴现率,是常数。,49,利率 i 与贴现率 d 的关系（1）,1,1+ i,0,1,当期利息：i,根据贴现率的定义,50,利率 i 与贴现率 d 的关系（2）,1-d,1,0,1,当期利息：d,期末的1元在期初的现值为：,此现值用 贴现率d 表示即为：,故有下图：,根据利率的定义，有,51,证明：,注：把期末支付的利息 i 贴现到期初，即得 iv，等于在期初支付的 d。换言之，期末的 i 相当于期初的 d。,利率 i 与贴现率 d 的关系（3）,52,v = 1 d,解释：期末的1在期初的现值既可以表示为 v，也可以表示为1 d。,贴现函数可表示为 a1(t) =,累积函数可表示为 a(t) =,0,1,1,v （1d）,利率 i 与贴现率 d 的关系（4）,证明：,53,i d = id,解释：1元本金在期末时可以赚取 i 元利息，(1 d)元本金在期末时可以赚取d元利息。 产生(i d)元利息差额的原因就在于原始本金存在d元差额。 而这d元本金差额在本期可以赚取的利息正好是id。,本金之差: d 利息之差 di 利息之差: i d,利率 i 与贴现率 d 的关系（5）,证明：,54,例: i = 5% = 1/20, d = 1/21,证明：,利率 i 与贴现率 d 的关系（6）,55,利率,贴现率,利率 i 和贴现率d 的关系,56,贴现率,利率,贴现率 d 和利率 i 的关系,57,例,若现有面额为100元的零息债券在到期前一年的价格为95元，同时，一年期储蓄的利率为5.25，如何进行投资选择? 存款还是购买债券？,58,解：,从贴现的角度看， 零息债券的贴现率 d 5% 而储蓄的贴现率 d i / (1 + i) = 4.988 5% 因此投资债券合算。 从利息的角度看， 零息债券的利率 而储蓄的利率为 5.25 5.26 因此投资债券合算。,59,贴现方式,单贴现（了解） ：每个时期的贴现金额都是常数。在t时期末产生积累值1的本金为 复贴现：,60,单贴现与复贴现的关系（了解）,单贴现和复贴现对单个时期产生的结果相同。 对于较长时期，单贴现比复贴现产生较小的现值，而对较短时期情况则相反。 单贴现模式并不对应着单利的贴现模式，而复贴现模式对应复利的贴现模式。,单贴现,复贴现,61,计算累积值和现值