《高等数学教学课件》9-2偏导数.ppt

,第二节,一、 偏导数,二 、高阶偏导数,偏 导 数,第九章,目的要求：理解偏导数的基本概念、意义及与 一元函数的导数联系与区别，熟练掌握偏导数 的计算方法。,一 偏导数,(一) 定义及求法 (二)几何意义 (三)与连续的关系,引入,理想气态方程：,温度T不变,等温过程,P对V的变化率？,容积V不变,等容过程,P对T的变化率？,固定y,z对x的变化率？,固定x,z对y的变化率？,一元函数,二元函数,(一)、 偏导数的定义及求法,定义1,设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0有增量x时,相应地函数有增量:f(x0+ x,y0)-f(x0,y0),如果,存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作：,类似地，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为：,记作：,定义2,如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记作：,类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数：,记作：,通常把偏导函数简称为偏导数,偏导函数与偏导数的区别与联系:,区别:,函数,数,联系:,例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的,偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 .,偏导数定义为,(请自己写出),例1 . 求,解法1,解法2,在点(1 , 2) 处的偏导数.,先求后代,先代后求,例2. 设,证:,例3. 求,的偏导数 .,解:,求证,偏导数记号是一个,例4. 已知理想气体的状态方程,求证:,证:,说明:,(R 为常数) ,不能看作,分子与分母的商 !,此例表明,整体记号,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,(二)、 偏导数的几何意义,例5,在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!,解:,偏导数存在,连续,(三)、与连续的关系,例6,结论,偏导数存在,连续,解:,f (x , y) 在点(0 , 0) 连续,f (x , y) 在点(0 , 0)偏导数不存在,设 z = f (x , y)在区域 D 内具有偏导数,概念,混合偏导数,类似可以定义更高阶的偏导数.,二、高阶偏导数,类似可以定义更高阶的偏导数.,例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为,z = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶,例7. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,的二阶偏导数及,定理,本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.,注,例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,说明:,函数在其定义区域内是连续的 ,故求初等函数的高阶导,数可以选择方便的求导顺序.,因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数,在点 (x , y , z) 连续时, 有,而初等,例8. 证明函数,满足拉普拉斯,证：,利用对称性 , 有,方程,思考与练习,解答提示:,P129 题 5,P129 题 5 , 6,即 xy0 时,P129 题6,(1),(