博弈论习题解答浙江大学.pdf

1 纳什均衡 纳什均衡 1在下表所示的战略式博弈中，找出重复删除劣战略的占优均衡在下表所示的战略式博弈中，找出重复删除劣战略的占优均衡 表 1.1 首先，找出 S2 的劣战略。对于 S2，M 策略严格劣于 R 策略，所以 M 为严格劣策略。删除后 M 再找出 S1 的劣战略，显然对于 S1 而言，M 策略和 D 策略严格劣于 U 策略，所以 M 和 D 为严 格劣策略。删除 M 与 D 后找占优均衡为（U,L）即， （4，3） 。 2求解下表所示的战略博弈式的所有的纯战略纳什均衡求解下表所示的战略博弈式的所有的纯战略纳什均衡 表 1.2 S2 和 S3 X3 Y3 S1 X2 Y2 X2 Y2 X1 0,0,0 6,5,4 4,6,5 0,0,0 Y1 5,4,6 0,0,0 0,0,0 0,0,0 首先看 S1 选择 X 策略。如果 S2 同样选择 X 策略，那么 S3 一定选择 Y 策略；同样，如果 S3 选择 Y 策略，S2 也一定会选择 X 策略，因此（X，X，Y）是一个纳什均衡；如果 S2 选择 Y 策略， 那么 S3 一定选择 X 策略；同样，如果 S3 选择 X 策略，S2 也一定会选择 Y 策略，因此， （X，Y， X）是一个纳什均衡。 其次看 S1 选择 Y 策略。如果 S2 选择 X 策略，S3 一定选择 X 策略；同样，如果 S3 选择 X 策 略，S2 也一定会选择 X 策略，因此（Y，X，X）是一个纳什么均衡。如果 S2 选择 Y 策略，S3 选 择 Y 策略是理性的，如果 S3 选择 X，S2 将选择 X，这样（Y，Y，X）将不是一个纳什均衡；同 样，如果 S3 选择 Y 策略，S2 也一定会选择 Y 策略，因此（Y，Y，Y）是一个纳什均衡。 所以该博弈式的纯战略纳什均衡有 4 个： （X，X，Y） （X，Y，X） （Y，X，X） （Y，Y，Y） 。 3 （投票博弈）假定有三个参与人（ （投票博弈）假定有三个参与人（1、2 和和 3）要在三个项目（）要在三个项目（A、B 和和 C）中选中一个。三人同 时投票，不允许弃权，因此，每个参与人的战略空间 ）中选中一个。三人同 时投票，不允许弃权，因此，每个参与人的战略空间 Si=A，B，C 。得票最多的项目被选中， 如果没有任何项目得到多数票，项目 。得票最多的项目被选中， 如果没有任何项目得到多数票，项目 A 被选中。参与人的支付函数如下：被选中。参与人的支付函数如下： U1(A)=U2(B)=U3(C)=2 U1(B)=U2(C)=U3(A)=1 U1(C)=U2(A)=U3(B)=0 求解以上博弈的所有纯战略纳什均衡。 首先：将上述博弈过程转换为战略式博弈矩阵。 2 和 3 A3 B3 C3 1 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A2 B2 C2 A1 2,0,1 2,0,1 2,0,12,0,11,2,02,0,12,0,12,0,10,1,2 B2 2,0,1 1,2,0 2,0,11,2,01,2,01,2,02,0,11,2,00,1,2 C1 2,0,1 2,0,1 0,1,22,0,11,2,00,1,20,1,20,1,20,1,2 由上，若参与人 1 选择 A 策略。如果参与人 2 同样选择 A 策略，那么参与人 3 选择 ABC 策略 S2 S1 L M R U 4,3 5,1 6,2 M 2,1 8,4 3,6 D 3,0 9,6 2,8 2 是无差异的，但均衡策略只能是参与人 3 选择 A 策略，因此（A，A，A）是一个纳什均衡。如果 参与人 2 选择 B 策略，参与人 3 选择 AB 策略是差异的，但均衡策略只能是其选择 A，因此（A， B，A）是一个纳什均衡。如果参与人 2 选择 C 策略，参与人 3 将选择 C 策略；同样，如果参与 3 选择 C 策略，参与人 2 也将选择 C 策略。因此， （A，C，C）是一个纳什均衡。 若参与人 1 选择 B 策略。如果参与人 2 选择 A 策略，那么参与人 3 将选择 A 或 C 策略；但当 参与人 3 选择 C 策略时，参与人 2 的最优策略是选择 B，当其选择 A 策略时，参与人 2 将选择 B 策略，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参与人 2 选择 B 策略，参与人 3 将选择 ABC 是无差 异的，但其选择 A 和 C 都不满足纳什均衡，因此当其选择 A 和 C 时，参与人 1 将选择 A 或 C，因 此有当参与人 3 选择 B 策略时，才存在纳什均衡（B，B，B） 。如果参与人 2 选择 C 策略，参与人 3 也将选择 C 策略；但参与人 3 选择 C 策略时，参与人 2 将选择 B 策略，因此，这时不存在纳什 均衡。 若参与人 1 选择 C 策略。如果参与人 2 选择 A 或 B 策略，那么参与人 3 将选择 C 策略；但当 参与人 3 选择 C 策略时，参与人 1 的最优策略是选择 B，因此，这种情况不存在纳什均衡。如果参 与人 2 选择 C 策略，参与人 3 将选择 C 策略；因为这时的 AB 策略都不满足纳什均衡，因此，存 在一个纳什均衡（C，C，C） 。 所以，该博弈的所有纯战略纳什均衡有 5 个，分别是（A，A，A） （A，B，A） （A，C，C） （B， B，B） （C，C，C） 。 4求解以下战略式博弈的所有纳什均衡求解以下战略式博弈的所有纳什均衡 表 1.3 S2 S1 L M R T 7，2 2，7 3，6 B 2，7 7，2 4，5 首先考虑纯纳什均衡。 如果 S1 选择 T 战略S2 将选择 M 战略S1 选择 B 战略S2 将选择 L 战略S1 选择 T 战略因此，该博弈不存在纯纳什均衡战略。所以我们考虑寻找混合战略纳什 均衡。因此，S1 可以对 T 与 B 策略进行混合，而 S2 则可以对 L、M、R 中的任意至少两个策略进 行选择，因此，设 S1 选择 T 策略的概率为 ，S2 选择 L 策略的概率为 ，M 策略的概率为 ，则 可能有以下情况： （1）S2 选择 L、M 和 R 的混合战略。对于 S2 而言，如果三种战略同时混合，必然满足三种 战略的期望效用相同，因此，这一混合战略能否成立取决于是否满足以下两个方程： ()() ()() +=+ +=+ 156127 127172 该方程组无解，所以 S2 无法同时采用 L、M 和 R 同时混合的战略 （2）S2 选择 L 和 M 混合战略。如果两种战略同时混合，必然满足两种战略的期望效用相同， 因此，需要满足以下方程：()()+=+127172，解得：1/2。但是将 1/2 代入等 式可得效用为()+172()+1279/2；同时，将 1/2 代入()+156可得其值 等于 11/2。9/213/3 表明 L 和 R 的混合战略的期望效用大于 M 战略的期望效用，因此，这一混合战略满足纳 什均衡。 另一方面，计算 S1 的混合战略，需要满足以下等式：()()+=+172127，解得： 1/2，因此这一混合战略的纳什均衡为 +RLBT 2 1 2 1 3 2 3 1 ，。 （4）S2 选择 M 和 R 的混合战略。显然，这一战略不可能是纳什均衡战略，对于 S2 来说，如 果放弃了 L 战略，那么对 S1 而言 T 战略将是劣战略，其将直接选择 B 战略，这时 S2 只能选择 R 战略，S1 的反应只可能是 L 战略，这显然与假设矛盾。 5模型化下述划拳博弈：两个朋友在一些划拳喝酒，每个人有四个纯战略：杆子、老虎、鸡和虫 子。输赢规则是：杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令，如果一个 打败另一个人，赢者的效用为 模型化下述划拳博弈：两个朋友在一些划拳喝酒，每个人有四个纯战略：杆子、老虎、鸡和虫 子。输赢规则是：杆子降老虎，老虎降鸡，鸡降虫子，虫子降杆子。两个人同时出令，如果一个 打败另一个人，赢者的效用为 1，输者的效用为，输者的效用为1；否则效用为；否则效用为 0。给出以上博弈的战略式描述 并求出所有的纳什均衡。 。给出以上博弈的战略式描述 并求出所有的纳什均衡。 （1）以上博弈的战略式表述为 2 1 杆子 老虎 鸡 虫子 杆子 0，0 1，1 0，0 1，1 老虎 1，1 0，0 1，1 0，0 鸡 0，0 1，1 0，0 1，1 虫子 1，1 0，0 1，1 0，0 （2）显然，这一博弈战略并不存在纯纳什均衡。假定参与人 1 选择杆子，老虎，鸡和虫子四 种战略的混合战略，其概率分别为 a，b，c 和 d，且 abcd1。如果这四种战略同时混合， 必须使得这四种战略的期望效用相同，因此，必须满足以下四个方程： = = = cabc bcac acdb 解得：abcd，所以 abcd1/4。同理可得参与人 2 的战略，所以该博弈的唯一混 合策略纳什均衡是参与者以 1/4 的概率随机选择各自的四个纯战略。 6一群赌徒围成一圈赌博，每个人将自己的钱放在边上（每个人只知道自己有多少钱） ，突然一 阵风吹来将所有的钱混在一起，使得他们无法分辨哪些钱是属于自己的，他们为此发生了争执， 最后请来一位律师。律师宣布这样的规则，每个人将自己的钱数写在纸上，然后将纸条交给律师， 如果所有人要求的钱数加总不大于已有钱的总数，每个人得到自己要求的那部分，剩余部分归律 师；如果所有人要求的钱加总大于已有钱的总数，则所有的钱归律师所有。写出这个博弈每个参 与人的战略空间与支付函数，求出所有的纳什均衡。 （假设钱的总数为 一群赌徒围成一圈赌博，每个人将自己的钱放在边上（每个人只知道自己有多少钱） ，突然一 阵风吹来将所有的钱混在一起，使得他们无法分辨哪些钱是属于自己的，他们为此发生了争执， 最后请来一位律师。律师宣布这样的规则，每个人将自己的钱数写在纸上，然后将纸条交给律师， 如果所有人要求的钱数加总不大于已有钱的总数，每个人得到自己要求的那部分，剩余部分归律 师；如果所有人要求的钱加总大于已有钱的总数，则所有的钱归律师所有。写出这个博弈每个参 与人的战略空间与支付函数，求出所有的纳什均衡。 （假设钱的总数为 M，M 为共同知识） 。为共同知识） 。 博弈参与人的战略空间是 12 0CCxRxM=，参与人 i 的支付函数是： i u= i x， i xM 0， i xM 4 因此，对于参与人 i 来说，只要采用 ij j i xMx =都能实现自己的最大收益，也就是说，在 该博弈中有着多个纳什均衡，所有使得 i xM= ，0 i xM成立的战略组合都是该博弈的纯战 略纳什均衡。 7考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。 工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请， 该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为 考虑一个工作申请的博弈。两个学生同时向两家企业申请工作，每家企业只有一个工作岗位。 工作申请规则如下：每个学生只能向其中一家企业申请工作；如果一家企业只有一个学生申请， 该学生获得工作；如果一家企业有两个学生申请，则每个学生获得工作的概率为 1/2。现在假定每 家企业的工资满足： 。现在假定每 家企业的工资满足：W1/2 = c 那么每家企业的利润0 2 i iji pc q =，因此，企业 i 只要将其价格略 微 低 于 其 它 企 业 就 将 获 得 整 个 市 场 的 需 求 ， 而 且 利 润 也 会 上 升 至 ()() 22 ii ii pcpc Q pQ p ，()0。同样，其它企业也会采取相同的策略，如果此下 去，直到每家厂商都不会选择降价策略，此时的均衡结果只可能是 pipjc。此时，企业 i 的需求 函数为 2 i ac q =。 11 （差异价格竞争）假定两个寡头企业进行价格竞争，但产品并不完全相同，企业 （差异价格竞争）假定两个寡头企业进行价格竞争，但产品并不完全相同，企业 i 的市场需求的市场需求 )2 , 1,(),(=+=jippappq jijii ， 两家企业的生产成本函数为， 两家企业的生产成本函数为 cq， 求两个寡头同时选择价格时 的纳什均衡。 ， 求两个寡头同时选择价格时 的纳什均衡。 企 业i的 利 润 函 数 为()() iiiiiij p qcqpc app=+， 由 一 阶 条 件 02=+= cppa p ji i 可得企业 i 的反应函数为 2 j i apc p + =。考虑到对称性，同样方法 可以得到企业 j 的反应函数为 2 cpa p i j + =，联立此两方程可得两个寡头同时选择价格时的纳 什均衡为：capp ji +=。 12构造一个例子说明博弈中可能存在如下情况：一个参与人的选择空间越打大，他的处境越差。构造一个例子说明博弈中可能存在如下情况：一个参与人的选择空间越打大，他的处境越差。 习题 1 中去掉 R 战略。 13如果重复剔除严格劣战略只剩下唯一的战略组合，证明该组合必然是唯一的纳什均衡。如果重复剔除严格劣战略只剩下唯一的战略组合，证明该组合必然是唯一的纳什均衡。 证明：在 n 个博弈方的博弈 G=S1,Sn;U1,Un中，如果使用重复剔除严格劣战略方法排除 了（S1*,Sn*）以外的所有策略组合，则（S1*,Sn*）一定是 G 的唯一的纳什均衡。 首先，假设严格劣战略已经剔除了除（S1*,Sn*）以外的所有策略组合，但（S1*,Sn*）却不 是一个纳什均衡。表明至少存在某个博弈方 i 和他的某个策略空间 Si 中的策略 si，使得 ui(s1*,si-1*, si*, si+1*, sn*)，所以在位者将选择产量 8，即最后的精练子博弈纳什均衡是在位者选择产量 8， 潜在进入者不进入。 3两位投资者各自将两位投资者各自将 D 存在银行，而银行则将他们资金用于长期投资。本博弈的规则如下：在第 一期，两位投资者同时决定是否收回资金。如果任何投资者收回资金，则项目被迫清算，项目收 益为 存在银行，而银行则将他们资金用于长期投资。本博弈的规则如下：在第 一期，两位投资者同时决定是否收回资金。如果任何投资者收回资金，则项目被迫清算，项目收 益为 2r。此时抽取资金投资者收益为。此时抽取资金投资者收益为 D，而未抽回资金投资者收益为，而未抽回资金投资者收益为 2rD；如果两位投资者都 抽回资金，则投资者收益都为 ；如果两位投资者都 抽回资金，则投资者收益都为 r；如果两者都未抽回资金，博弈进入第二期。第二期项目成熟且项 目收益为 ；如果两者都未抽回资金，博弈进入第二期。第二期项目成熟且项 目收益为 2R。此时如果两投资者都抽回资金则收益为。此时如果两投资者都抽回资金则收益为 R；如果只有一位抽取资金，抽回资金投资 者收益为 ；如果只有一位抽取资金，抽回资金投资 者收益为 2R-D，未抽回为，未抽回为 D；如果两者都不抽回资金则收益为；如果两者都不抽回资金则收益为 R，假定，假定 RDrD/2，求解子博弈 精炼纳什均衡。 ，求解子博弈 精炼纳什均衡。 首先考虑第二期博弈，可以用如下战略式来表示： 9 2 S 1 S 抽 不抽 抽 ,R R 2,RD R 不抽 ,2RRD ,D D 用划线法可知，若第一期不抽回，则第二期的均衡是（抽回，抽回） 。 考虑第一期的博弈，用战略式表示如下： 2 S 1 S 抽 不抽 抽 ,r r ,2DrD 不抽 2,rD D ,R R 用划线法可知存在两个均衡（抽回，抽回）与（不抽回，不抽回） 。 因此，该博弈的子博弈精练纳什均衡有两个： （第一期抽回，第一期抽回）与（第一期不抽回 第二期抽回，第一期不抽回第二期抽回） 。 4在囚徒困境中， “针锋相对”战略定义为： （在囚徒困境中， “针锋相对”战略定义为： （1）每个参与人开始选择“抵赖” ； （）每个参与人开始选择“抵赖” ； （2）在）在 t 阶段选 择对方在 阶段选 择对方在 t-1 的行动。假定贴现因子 的行动。假定贴现因子 1，证明以上战略不是子博弈精炼纳什均衡。，证明以上战略不是子博弈精炼纳什均衡。 假定两囚徒博弈的战略式表述如下： 2 S 1 S 坦白 抵赖 坦白 6，6 0，8 抵赖 8，0 1，1 给定针锋相对战略，如果参与人 j 坚持针锋相对战略，参与人 i 没有积极性首先坦白，因为如 果他选择抵赖，他的支付是：() ()111 + + +，而若选择坦白然后再转向针锋相对战略， 则他的支付是：()()08080+ + +，前者严格大于后者。因此，在合作路径上针锋相 对战略是纳什均衡。 但是，如果参与人 j 首先选择坦白，参与人 i 并没有积极性惩罚他，因为如果惩罚，将得到的 支付是()()8080+ +，而如果原谅则可以连续得到1 的支付；类似的，参与人 i 也 没有积极性惩罚自己。所以在惩罚路径上，针锋相对战略不是子博弈纳什均衡。 5如果以下重复博弈两次，支付（如果以下重复博弈两次，支付（4，4）是否能作为子博弈精炼纳什均衡结果出现，请说明理由。 假定贴现因子 ）是否能作为子博弈精炼纳什均衡结果出现，请说明理由。 假定贴现因子 1。 S2 S1 L C R T 3，1 0，0 5，0 10 M 2，1 1，2 3，1 B 1，2 0，1 4，4 该静态博弈有两个纯战略纳什均衡（T，L）和（M，C） ，其支付均小于（B，R）带给两方的 收益，因此，在两次博弈中，双方有可能选择（B，R） 。由于对 2 S而言， （B，R）带来的是最大收 益，因此，他没有偏离的动机。然而 1 S仍可以选择 T 战略已获得更高的收益，因此可以设置如下 制约 1 S行为的触发战略： 1 S：第一阶段选择 B 策略，第二阶段选择 T 策略； 2 S：第一阶段选择 R 策略；在第二阶段，如果第一阶段的结果是（B，R） ，则采取 L，否则 采取 C。 如此，由于 1 S从第一阶段选择 B 第二阶段选择 T 的战略中获得的收益为 437 大于第一阶 段偏离选择 T，第二阶段选择 M 的收益 516，所以 1 S也没有动机偏离。因此， （B，R）将作为 二阶段博弈的子博弈精练纳什均衡结果在第一阶段出现。 6考虑如下战略式博弈重复两次，在第二阶段开始时能够观察到第一阶段的博弈结果，假定贴现 因子是 考虑如下战略式博弈重复两次，在第二阶段开始时能够观察到第一阶段的博弈结果，假定贴现 因子是 1，则，则 x 满足什么条件的情况下（满足什么条件的情况下（4，4）可以作为第一阶段博弈的均衡结果。）可以作为第一阶段博弈的均衡结果。 S2 S1 X2 Y2 W2 Z2 X1 2，2 x，0 1，0 0，0 Y1 0，x 4，4 1，0 0，0 W1 0，0 0，0 0，3 0，0 Z1 0，1 0，1 1，1 3，0 考虑两种情况， （1）若4x，则单阶段博弈的纳什均衡为() () () 121212 ,x xw wz z，构造如 下战略， 若第一阶段() 12 ,y y出现， 则第二阶段选择() 12 ,x x； 若第一阶段 2 S偏离() 12 ,y y， 选择 2 x， 则第二阶段选择() 12 ,z z；若第一阶段 1 S偏离() 12 ,y y，选择 1 x，则第二阶段选择() 12 ,w w。如此， 对于 1 S与 2 S而言，第一阶段出现() 12 ,y y的条件是，其总收益 426 将不小于他们在第一阶段 选择其他战略下的收益 x0x，即6x。即，() 12 ,y y在第一阶段出现的条件是46x 对于政策建议者而言，最优化问题是： 12 maxus=，因此， 10 ss，因此重点考虑 0 s的情况， 有两种： （1） 若 0 sb。所以该博弈的子博弈精练纳什均衡是：参与人 1 承诺() 2 1 1 2 t a=+，() 2 00t a =， 结果是 1 ut= ， 2 12 ut= 。 10考虑电力设备和一个发电厂之间的两阶段博弈，在第一阶段设备厂决定是否投资以及投资多 少；在第二阶段，双方决定是否交易以及在什么价格交易。在此以 考虑电力设备和一个发电厂之间的两阶段博弈，在第一阶段设备厂决定是否投资以及投资多 少；在第二阶段，双方决定是否交易以及在什么价格交易。在此以 C 代表设备的生产成本，代表设备的生产成本，V 代 表设备对电厂的价值， 代 表设备对电厂的价值，X 代表投资额。假定代表投资额。假定 C 时时 X 的递减凸函数，的递减凸函数，V 和和 X 无关，VC（0）并且 X 时专用性投资，对于其他发电厂而言没有任何价值，求下述情况下的精练纳什均衡时的投资水平。 （1）没有事前合同，双方根据纳什讨价还价决定成交价格。 （2）事前签订合同，规定设备厂有权单方面决定价格，发电厂只有接受或者拒绝的选择。 （3）事前签订合同，规定发电厂有权单方面决定价格，设备厂只有接受或者拒绝的选择。 无关，VC（0）并且 X 时专用性投资，对于其他发电厂而言没有任何价值，求下述情况下的精练纳什均衡时的投资水平。 （1）没有事前合同，双方根据纳什讨价还价决定成交价格。 （2）事前签订合同，规定设备厂有权单方面决定价格，发电厂只有接受或者拒绝的选择。 （3）事前签订合同，规定发电厂有权单方面决定价格，设备厂只有接受或者拒绝的选择。 （1）在没有事前合同的情况下，纳什讨价还价解为每个参与人从中获得剩余的 1/2，即成交价格是 () 2 Vc X 。在这种情况下，投资应该是：() 1 1 2 CX=。 13 （2） 若设备厂有权单方面决定价格， 则剩余肯定完全被设备厂独享， 即设备厂的利润为()Vc X， 而发电厂的利润为 0。在这种情况下，投资应该是：()1CX =。 （3） 若发电厂有权单方面决定价格， 则剩余肯定完全被发电厂独享， 即发电厂的利润为()Vc X， 而设备厂的利润为 0。在这种情况下，投资应该是：()0CX =。 11两个厂商在市场进行价格竞争，厂商两个厂商在市场进行价格竞争，厂商 1 首先确定价格水平，厂商首先确定价格水平，厂商 2 在观察厂商在观察厂商 1 的价格水平之 后决定价格水平。厂商 的价格水平之 后决定价格水平。厂商 1 和厂商和厂商 2 的产品是完全同质的，且市场逆需求函数是的产品是完全同质的，且市场逆需求函数是 P=a-Q，问以下条 件下的精炼纳什均衡的价格： ，问以下条 件下的精炼纳什均衡的价格： （1） 如果厂商） 如果厂商 1 和厂商和厂商 2 的生产成本函数为的生产成本函数为 cq（c 所以 * 21 pp=；同理可得 * 12 pp=，所以子博弈精练纳什均衡为 * 12 ppc=。 （2）厂商 2 的最优价格战略为： =，则pp p 。 给定企业 2 最优价格战略，企业 1 的最优价格战略是： 2 1 11 max/2p xx,（ 11 2xap） 。 由一阶条件可得 11 xp=或者另外， 11 2xap=： （1）如果 11 xp=，则 2 11 /2p=，当 1 p 时， 1 也最大，这是不可能的； （2） 如果 11 2xap=， 则 () () 2 1111 22/2p apap=， 一阶条件下可求得 1 3 /8pa=。 所以子博弈精练纳什均衡为 * 121 3 , 8 pa pp=。 14 12在霍特林价格竞争模型中，两个厂商的生产边际成本都是在霍特林价格竞争模型中，两个厂商的生产边际成本都是 c，运输成本参数为，运输成本参数为 t。博弈进行两 期，在第一阶段两个厂商同时在线性城市上选择自己的位置；第二阶段在观察到两者位置后选择 自己的价格。 。博弈进行两 期，在第一阶段两个厂商同时在线性城市上选择自己的位置；第二阶段在观察到两者位置后选择 自己的价格。 （1） 如果运输成本为线性函数，证明以上博弈不存在纯战略精炼纳什均衡） 如果运输成本为线性函数，证明以上博弈不存在纯战略精炼纳什均衡 （2） 如果运输成本为二次型函数（运输成本为） 如果运输成本为二次型函数（运输成本为 tx2） ，证明以上博弈的精炼纳什均衡的结果是 两个厂商位于城市两端。 ） ，证明以上博弈的精炼纳什均衡的结果是 两个厂商位于城市两端。 （1）假设运输成本为线性函数tx；并假设厂商 1 和厂商 2 的价格分别为 p1和 p2，则：x 点到厂商 1 和厂商 2 购买的最终支付成本相等，即满足：)1 ()( 21 xbtpaxtp+=+，可得： t batpp x 2 )1 ( 12 + =。 厂商 1 和厂商 2 的最优价格应该满足： t batpp cpp 2 )1 ()( )max(arg 12 11 + ， 12 22 ()(1) argmax() 1 2 pptab ppc t + 。求一阶条件可得： 2 1 2 pbtattc p + + =， 1 2 1 2 patbttc p + + + =。因此， * 1 2222 3 atbttbc p + =， * 2 23 3 atbttc p + + =，因 此， * 0 2 c x t = 0 2 0, 2 )1 ( 21 21 21 21 baif t baif bat baif baif 根据上述条件可知，只要ba ，厂商间的利润将不对称，这时厂商必然将对其位置进行调以 使得利润相等，最终调整的结果一定是使得ba =，显然，当0= ba时，双方的利润要大于 0= ba的结果，因此最终的精炼纳什均衡必然使得0= ba，即厂商位于城市的两端。 13考虑两个国家的关税模型，每个要家只有一家企业，其单位生产成本都为考虑两个国家的关税模型，每个要家只有一家企业，其单位生产成本都为 c，每个国家市场逆 需求函数为 ，每个国家市场逆 需求函数为)2 , 1(=iQap ii 。博弈时序如下。第一阶段两个国家政府同时选择税收水平。博弈时序如下。第一阶段两个国家政府同时选择税收水平 ti；第 二阶段两个国家的企业在观察税收水平 ；第 二阶段两个国家的企业在观察税收水平 ti之后，同时选择产量水平以及供应本国市场产量之后，同时选择产量水平以及供应本国市场产量 hi和出 口 和出 口 ei。假定两个企业生产产品完全同质，以上博弈的子博弈精炼纳什均衡结果。假定两个企业生产产品完全同质，以上博弈的子博弈精炼纳什均衡结果。 给定关税水平 12 ,t t，则两企业的最优为()max, , , ijiijj t t h e h e。企业 i 的利润最大化可拆分 为在国内与国内两个市场上的利润最大化，即国内市场产量 i h满足：()max iij h ahec + ， 国际市场上的出口量 i e满足：()max ijiji eahect e + 。 假设： * , jjj eac hact ，则可得 () * 1 2 ij hace= ， () * 1 2 ijj eacht= 。 同理可得 * j h与 * i e，如此解得： () * 2 , 33 i i ii actact he + =。 下面给定企业的最优产量水平，求解最优关税水平。此时，对于国家 i 而言要实现其福利水平 i w最 大 化 ， 则 要 求 实 现 居 民 消 费 者 剩 余 、 企 业 利 润 和 关 税 收 入 总 和 的 最 大 化 ， 即 2 1 2 max i iiij t Qt e + ，（ iij Qhe=+）。即： ()()()() 2 22 * 22 18993 max i jiiij t actactactactt+ +。 解 一 阶 条 件 得 * 3 i ac t =。 由此可得子博弈精炼均衡为（() () * 4 , 399 iii acac thace =） 。 16 14在三寡头的市场中，市场的逆需求函数在三寡头的市场中，市场的逆需求函数为三家产量之和QQap,=，每家企业的不变边际 成本为 ，每家企业的不变边际 成本为 c，固定成本为，固定成本为 0。如果企业。如果企业 1 首先选择产量，企业首先选择产量，企业 2 和企业和企业 3 观察到企业观察到企业 1 的产量后同时 选择产量，则均衡时的市场价格。 的产量后同时 选择产量，则均衡时的市场价格。 （1）给定企业 1 产量，求解企业 2 和企业 3 同时选择产量时的价格。我们有三家企业的利润函数： 113211 )(cqqqqqa=， 223212 )(cqqqqqa=， 333213 )(cqqqqqa=。 求解企业 2 与企业 3 的一阶条件， 有() 132 20aqqcq =， () 123 20aqqcq =。可得 3 1 32 qca qq =。 给定企业 2 与企业 3 的产量，企业 1 的最优满足：0/ 11 =q，得到 2 1 ca q =。 所以， 6 32 ca qq =，均衡时的市场价格为： 3 2 321 ca qqqap + =。 （2）给定企业 1 的价格为 1 p，企业 2 与企业 3 的最优满足： 23 , max pp = () ii pcq 若 1i pp 2,3i= 0 若 1i pp 所以，() * 1 0 i pp =。 给定企业 2 与企业 3 的选择，企业 1 的最优满足： 1 max p = () 11 pcq 若 1 pc 0 若 1 pc，则() * 11 0 i ppp =+ 求一阶条件可得：() ij hli i P yy wwe e = 。由于 ()()()() 1 jj ijijjiijjijjjjjijj P yyPeePeefdF eefd =+=+=+ ，考虑对称均衡，则一阶条件可以化为：()() 2 j hljji wwfde = 。 给定工人的最优选择，企业的最优选择满足： * max2 ihl eww，由于在对称均衡的情况下， 每个工人获胜的概率是 1/2，所以，该最优存在约束条件： 2 0 222 hli wwe +。特别的，在最优的 情况下，等号成立，因此，问题转化为 2 * max0 2 i i e e，一阶条件为 * 1 i e=。 代入工人的一阶条件，可得()() 2 1 j hljj wwfd = ，联立企业最优的约束条件 1 0 222 hl ww +=可得 211 2 , 22 hl nn ww + =。 16有有 n 个完全相同且每个企业的生产函数为个完全相同且每个企业的生产函数为 cq，市场需求，市场需求 Q=a-p，假定博弈重复无穷次，每次 每个企业的定价和产量都能被下一阶段所有企业观察到，每个企业都使用“触发战略” 。假定每个 企业的贴现因子都相同，问在以下条件下，垄断价格作为子博弈精炼纳什均衡结果出现的最低贴 现因子： ，假定博弈重复无穷次，每次 每个企业的定价和产量都能被下一阶段所有企业观察到，每个企业都使用“触发战略” 。假定每个 企业的贴现因子都相同，问在以下条件下，垄断价格作为子博弈精炼纳什均衡结果出现的最低贴 现因子： （1） 如果每个阶段企业之间进行古诺博弈，则最低贴现因子。） 如果每个阶段企业之间进行古诺博弈，则最低贴现因子。 （2） 如果每个阶段企业之间进行伯川德博弈，则最低贴现因子。） 如果每个阶段企业之间进行伯川德博弈，则最低贴现因子。 （1）由于古诺博弈的阶段均衡是 1 i ac q n = + ，此时的利润为 2 1 ac n + ；若各家企业合作垄断市场， 则此时的最优产量是()argmax iii anqcq，可求得 2 i ac q n =，此时的利润为 2 4 ac n ， 此时若有企业 i 背叛，其产量就是() 1 24 j j i i acq n qac n + = ，其收益为() 2 21 4 n ac n + 。 下面我们来看重复博弈下的古诺博弈。在这个博弈中，有两个博弈路径，我们分别进行讨论。 首先，在惩罚路径上，由于每个阶段参与企业选择的都是最优的产量，因此能够获得最优的收 益，因此是均衡的。 18 其次，在合作路径上，只要合作的收益大于背叛的收益，则均衡也是可以实现的，这要求： () 222 2111 41411 acnac ac nnn + + + ，解得 () 1 2 4 1 1 n n + + 。 （2）伯川德博弈的阶段均衡是 i pc=，此时参与者的利润均为 0。若各企业合作，则此时的 最优价格是：()()argmax iii ppcap，此时 2 i ac p =，则 2 i ac q n =，利润为 () 2 4 ac n 。 而若有企业 i 背叛，则其选择价格(),0 2 i ac p =，其产量为 Q，利润为 () 2 4 ac 。下面 我们来看重复博弈下的伯川德博弈，在这个博弈中，也有两个博弈路径，我们分别讨论如下： 首先在惩罚路径上，由于每个阶段的企业选择都是眼前最优，因此，它能够实现均衡。 其次，在合作路径上，只要合作的收益大于背叛的收益，则均衡也是可以实现的，这就要求： ()() 22 1 0 414 acac n + ，求得 1n n 。 （3） 伯川德博弈中的最低贴现因子小于古诺博弈中的贴现因子的原因在于其惩罚要严重的多， 因此其对于耐心的要求也就要相对较小。 19 贝叶斯均衡 贝叶斯均衡 1海萨尼（海萨尼（1968）认为博弈参与人关于博弈结构的不确定性总是可以归为三类不确定性：）认为博弈参与人关于博弈结构的不确定性总是可以归为三类不确定性：a.参与 人关于其他参与人战略空间 参与 人关于其他参与人战略空间 i S的不确定性；的不确定性； b.参与人关于博弈结果的不确定性， 或者说从战略组合 SY 之间映射的不确定性；参与人关于其他参与人从某个博弈结果得到效用的不确定性，或者说 从结果 YV 的效用空间的不确定性。 (1) 参与人关于博弈结果的不确定性， 或者说从战略组合 SY 之间映射的不确定性；参与人关于其他参与人从某个博弈结果得到效用的不确定性，或者说 从结果 YV 的效用空间的不确定性。 (1) 证明关于某个参与人是否参与博弈可以归结为以上不确定性。 (2) 证明关于某个参与人是否参与博弈可以归结为以上不确定性。 (2) 证明参与人关于某个参与人是否知道某个消息的不确定性可以归结为以上三类不确定性。 (3) 证明参与人关于某个参与人是否知道某个消息的不确定性可以归结为以上三类不确定性。 (3) 证明以上三类不确定性都可以归结为对参与人效用函数的不确定性， 即对于从战略组合到 参与人的效用空间的映射的不确定性。 证明以上三类不确定性都可以归结为对参与人效用函数的不确定性， 即对于从战略组合到 参与人的效用空间的映射的不确定性。 （1）某个参与人是否参与博弈可以看成其战略空间 i S的不确定性，因为，如果一个参与人没有参 与博弈可以看成其选用的战略 0 ii ss=是不在博弈的战略空间 i S中的。 （2） 某个参与人 i 不知道参与人 j 是否知道某个具体事件 e 是否发生往往可以看成是战略空间的不 确定性，即参与人 i 可能不知道参与人 j 的战略空间 j S。究其原因，从博弈论的角度看，此类情形 的关键事实是参与人 i 不能判定，参与人 j 是采用当事件 e 确定发生时所用的包含一组行动的战略 0 j s，还是采用当事件 e 不发生时所用的包含另一组行动的战略。这就是说，这种情况本质上等同 于参与人 i 不知道相关战略 0 j s对参与人 j 的可行性。 （3）首先，我们看第二种情况，它可以转化成效用函数的不确定性。很简单，这是因为支付本身 就是博弈结果的函数，所以博弈结果的不确定性肯定可以转化为支付函数的不确定性。 接着，我来看第一种情况下，战略空间的不确定性也可以转化为效用函数的不确定性。因为， 从博弈论的角度看， 一个战略 0 ii ss=对参与人 i 不可行的假设等价于参与人 i 从来不会实际采用该 战略 0 i s（即使该战略是实际可行的） 。因为，无论其他参与人1,1,iin+, -1,?可能采用什么样 的战略 11 , iin ssss +-1 ,， 参与人 i 如采用战略 0 i s总会得到非常低 （如 () 1, , iiin xUsss= 0 ,? ）的支付。所以，所有的不确定性都可以归结为对参与人效用函数的不确定性。 2考虑如下贝叶斯博弈： （考虑如下贝叶斯博弈： （1）自然决定支付矩阵（）自然决定支付矩阵（a）或（）或（b） ，概率分别为） ，概率分别为 u 和和 1-u； （； （2）参与人）参与人 1 知道自然的选择，即知道自然选择支付矩阵（知道自然的选择，即知道自然选择支付矩阵（a）或（）或（b） ，但是参与人） ，但是参与人 2 不知道自然的选择； （不知道自然的选择； （3） 参与人 ） 参与人 1 和参与人和参与人 2 同时行动。给出这个博弈的扩展式表述并求纯战略贝叶斯均衡。同时行动。给出这个博弈的扩展式表述并求纯战略贝叶斯均衡。 表 3.1.a S2 S1 L R T 1，1 0，0 B 0，0 0，0 20 表 3.1.b S2 S1 L R T 0，0 0，0 B 0，0 2，2 在该博弈中，S1 的战略是私人信息类型的函数，当自然选择 a 时，S1 选择 T，当自然选择 b 时，S1 选择 B。 S2 的战略则根据期望利益最大化进行决定。S2 选择 L 的期望收益是 u1（1u）0u， 选择 R 的期望收益是 u0（1u）222u。由两种战略的无差异可得 u2/3。所以当 u2/3 时，S2 选择 L，当 u2/3 时，选择 L，在 u时， 1 S选择 H；当 p tp时， 2 S选择 T。因此， 1 S选择 H 的概率是 xc x ，选择 T 的概率是 c x ； 2 S选择 H 的概率是 p x ，选择 T 的概率是 xp x 。 对 于 1 S而 言 ， 选 择H与T的 期 望 收 益 分 别 为 ：()()11 c xpp t xx + 与 ()11 xpp xx + ，由此可得在 2 2 c p tc xp = 时， 1 S会选择 H。 同理，在 2 2 p c tp xc = 时， 1 S会选择 T。 由上述两个结论联立，并考虑cp=的对称均衡可得 2 416 2 xx c + =，因此，可得 2 416 2 cxx xx + =，在0x 时，1/2 c x 。由于cp=，所以1/2 p x ，因此该博弈的纯 战略贝叶斯纳什均衡收敛于其完全信息下的混合战略均衡。 5 在私人价值的一级价格拍卖中 在私人价值的一级价格拍卖中nvnb ii /) 1(=是贝叶斯纳什均衡我， 其中是贝叶斯纳什均衡我， 其中 bi 是参与人是参与人 i 的叫价，的叫价， vi是参与人是参与人 i 的类型。利用显示原理构造一个直接机制，其均衡结果与以上均衡完全相同。的类型。利用显示原理构造一个直接机制，其均衡结果与以上均衡完全相同。 构造一规则如下： Xi= 1 ? ? max ij VV= 0 ? ? max ij VV i T = ? 1 i n V n ? ? max ij VV= 0 ? ? max ij VV 则要证明的就是? ii VV=是贝叶斯纳什均衡，也就是说给定其他人如实报价 i 是否需要如实报 价。由于效用函数是： ? 1 iiji j i n VVprob VV n d 0，计算贝叶斯均衡并证明均 衡是唯一的。 ，计算贝叶斯均衡并证明均 衡是唯一的。 根据问题的假设，可构造博弈的支付矩阵如下： 企业 2 企业 1 进入 不进入 进入 d i ， d i m i ，0 不进入 0， m i 0，0 假设企业 1 采用如下战略：当 * 11 时采用进入战略，当 * 11 时采用不进入战略。假设企 业 2 采用如下战略：当 * 22 时采用进 入战略，当 * 22 时采用不进入战略。因此企业 1 采用 进入战略的概率是 P（ * 1 ） ，不进入的战略的概率是 1P（ * 1 ） ；企业 2 采用进入战略的概率是 P （ * 2 ） ，不进入战略的概率是 1P（ * 2 ） 。 从企业 1 的角度看，选择进入与不进入的期望收益分别是： () ()()()()() *d*m*dmm 212121 1PPP +=+ 与 ()() * 22 0100PP += ，所以企业 1 选择进入的条件是： ()() *dmm 21 0P+，因此，可得 ()() *dmm 12 P=+ 同理可得： ()() *dmm 21 P=+。 从已知的分布函数( ) i F及上述两个条件式当可以解得 * 1 与 * 2 ， 如此可得该博弈的贝叶斯纳 什均衡。 23 7考虑如下结构的古诺博弈。市场逆需求函数考虑如下结构的古诺博弈。市场逆需求函数Qap=，两个企业成本函数，两个企业成本函数 ii cqc =；市场需 求是不确定的， ；市场需 求是不确定的， H aa =的概率为的概率为， L aa =的概率为的概率为1；企业；企业 1 知道知道 a 的确切取值，企业的确切取值，企业 2 不知道，但是知道不知道，但是知道 a 的概率分布。现在假定两个企业同时选择产量水