一类具有垂直传播的SI捕食传染病模型的全局分析.doc

精品论文，值得推荐一类具有垂直传播的SI捕食传染病模型的全局分析 作者：刘烁 李文潮 赵清波 吴克坚 徐清华 万颖 【摘要】 通过假设捕食系统中疾病只在捕食者种群中传播，染病者会因病死亡且具有垂直传播能力，染病者恢复后对该病具有终身免疫力，建立了一类具有垂直传播的SI捕食传染病模型，通过构造Liapunov函数，得到了平衡点全局渐近稳定的充要条件。 【关键词】 垂直传播; 捕食系统; 传染病模型; 平衡点; 稳定性 1 引言 疾病在相互作用种群之间传播规律的研究，是种群生态学与传染病动力学的一种结合，是目前生物数学研究的热点问题之一。在现实生活中，有些传染病是垂直传播的，而已有的相关文献111在建立此类模型时，大都没有考虑疾病的垂直传播。本研究在捕食系统中，假设疾病只在捕食者种群中传播，考虑了染病者具有垂直传播的情形，通过构造Liapunov函数，得到了完整的全局分析结果。 2 模型 在捕食系统中，假设疾病只在捕食者种群中传播，将捕食者种群分为两个仓室：易感者仓室(S)，染病者仓室(I)。 假设一个易感者被染病者传染后，进入染病者仓室，染病者不能恢复，染病者会因病死亡且具有垂直传播的能力，疾病影响捕食者的捕获率，但不影响能量转化率，通常易感者的捕获率不小于染病者的捕获率。同时分别用S(t),I(t) 表示 时刻捕食者种群易感者、染病者的数量，x(t)表示t 时刻食饵的数量,于是，相应可建立如下模型：x=x(a-bx-c1S-c2I),S=S(kc1x-d1-I),I=I(kc2x+S-d2) (1)其中，a为食饵种群的内禀增长率，b为密度制约系数，c1为捕食者种群中易感者的捕获率，c2为捕食者种群中染病者的捕获率，通常c1c2 ，k为转化系数，为传染率系数，d1为捕食者种群的自然死亡率，为因病死亡率，d2=d1+，d2>d1 ，参数a,b,c1,c2,k,d1,d2 均为正常数。由系统(1)的第一个方程可得x=x(a-bx-c1S-c2I)x(a-bx)，因此，有lim suptx(t)ab ，所以区域=(x,S,I):0 3 平衡点的存在性 首先，讨论系统(1)的平衡点的存在性。记R0=kac1bd1 ，R1=kac2bd2 ，R2=bd1(R0-1)kc1(c1d2-c2d1) ，R3=bd2(1-R1)kc2(c1d2-c2d1)。定理3.1 系统(1)总存在平衡点E0(0,0,0) ，E1(ab,0,0) 。当R0>1 时，还存在平衡点E2(d1kc1,bd1(R0-1)kc21,0)。当R1>1 时，除E0,E1,E2 外，系统(1)还存在平衡点E3(d2kc2,0, bd2(R1-1)kc22)。 当R0>1 ，R2>1 且R3<1 时，系统(1)还存在平衡点E4(x*, d2-kc2x*, kc1x*-d1) ，其中，x*=a+c2d1-c1d2b 。证明 系统(1)的平衡点由以下方程组确定：x(a-bx-c1S-c2I)=0,S(kc1x-d1-I)=0,I(kc2x+S-d2)=0 (2)当I=0,S=0时，解得x=0 或x=ab ，所以系统(1)存在平衡点E0(0,0,0) 和E1(ab,0,0) 。当I=0，S0 时，解得x=d1kc1 ，代入(2)的第一个方程可得S=bd1(R0-1)kc21 ，所以当R0>1时，系统(1)还存在平衡点E2(d1kc1,bd1(R0-1)kc21,0)。当 I0，S=0时，解得x=d2kc2 ，代入(2)的第一个方程可得I=bd2(R1-1)kc22 ，所以当R1>1 时，系统(1)还存在平衡点E3(d2kc2,0, bd2(R1-1)kc22)。当 I0 ， S0 时，显然 x0 ，否则I=d1<0 。由(2)的第二个方程可得 I=kc1x-d1, (3)则当x>d1kc1 时，I>0 。由(2)的第三个方程可得 S=d2-kc2x (4)则当x0 。将(3)和(4)代入(2)的第一个方程计算可得x=a+c2d1-c1d2b ，则当d1kc1<a+c2d1-c1d2b1 且R3<1 时，系统(1)还存在平衡点E4(x*, d2-kc2x*, kc1x*-d1) ，其中x*=a+c2d1-c1d2b 。定理3.1证毕。 4 平衡点的全局稳定性 接下来讨论平衡点的全局稳定性。定理4.1 当R0<1时，平衡点E1 是全局渐近稳定的。证明 定义Liapunov函数V=(x-ab-ablnbax)+Sk+Ik ，则V 沿着系统(1)的轨线的全导数V=(x-ab)x+Sk+Ik=(x-ab)(a-bx-c1S-c2I)+S(c1x+d1k-Ik)+I(c2x+Sk-d2k)=-b(x-ab)2+ab(c1S+c2I)-(d1Sk+d2Ik)=-b(x-ab)2+d1(R0-1)kS+d2(R1-1)kI ,当R0<1 时，有R1<1 ，所以有V0 ，当且仅当x=ab ，S=0 ，I=0 时取等号，因此，由LaSalle不变集原理知，当 R0<1时，平衡点E1 是全局渐近稳定的。定理4.1证毕。定理4.2 当R0>1 且R2<1 时，平衡点E2 是全局渐近稳定的。证明 当R0>1 且R2<1 时，定义Liapunov函数V=(kx-d1c1-d1c1lnkc1d1)+(S+bd1(R0-1)kc21-bd1(R0-1)kc21lnkc21bd1(R0-1)S)+I，则V 沿着系统(1)的轨线的全导数V= k(x-d1kc1)(a-bx-c1S-c2I)+(S-bd1(R0-1)kc21)(kc1x-d1-I)+I=-bk(x-d1kc1)2+(c2d1c1+bd1(R0-1)kc21-d2)I=-bk(x-d1kc1)2-(d2-c2d1c1)(1-R2)I0，当且仅当x=d1kc1 ，I=0时取等号，此时，S=bd1(R0-1)kc21 ，因此，由LaSalle不变集原理知，当R0>1 且r2<1时，E2是全局渐近稳定的。定理4.2证毕。定理4.3 当R1>1且R3>1时，平衡点E3 是全局渐近稳定的。证明 当R1>1且R3>1时，定义Liapunov函数V=(kx-d2c2-d2c2lnc2d2x)+S+(I-bd1(R1-1)kc22-bd2(R1-1)kc22lnkc22bd2(R1-1)I) ，则V 沿着系统(1)的轨线的全导数V= k(x-d2kc2)(a-bx-c1S-c2I)+S+(I-bd2(R0-1)kc22)(kc2x+S-d2)=-bk(x-d2kc2)2+(c2d2c2-bd2(R1-1)kc22-d1)S=-bk(x-d2kc2)2-(c1d2c2-d1)(R3-1)S0，当且仅当x=d2kc2 ，S=0时取等号，此时，I=bd2(R1-1)kc22 ，因此，由LaSalle不变集原理知，当 R1>1且R3<1 时，平衡点E3 是全局渐近稳定的。定理4.3证毕。定理4.4 当R2>1 且R3<1 时，平衡点E4 是全局渐近稳定的。证明 当R2>1 且R3<1 时，定义Liapunov函数V=1x*(xx*-lnxx*-1)+2S*(SS*-lnSS*-1)+3I*(II*-lnII*-1)其中1,2,3 为待定的正常数，则V 沿着系统(1)的轨线的全导数V=1(x-x*)(a-bx-c1S-c2I)+2(S-S*)(kc1x-d1-I)+3(I-I*)(kc2x+S-d2)=-b1(x-x*)2+(kc12-c11)(x-x*)(S-S*)+(kc23-c21)(x-x*)(I-I*)+(3-2)(S-S*)(I-I)+1(a-bx*-c1S*-c2I*)(x-x*)=-b1(x-x*)2+(kc12-c11)(x-x*)(S-S*)+(kc23-c21)(x-x*)(I-I*)+(3-2)(S-S*)(I-I*)为使上式后三项为零，令kc12-c11=0，kc23-c21=0，3=2，则有1=k2=k3，故只要1,2,3 满足1=k2=k3，就有V=-b1(x-x*)20 ，当且仅当x=x* 时取等号，此时S=S* ，I=I* ，因此，由LaSalle不变集原理知，当R2>1 且R3<1 时，平衡点E4 是全局渐近稳定的。定理4.4证毕。 5 生物意义的讨论 模型的结论有很强的生物意义，具体的来讲： 由定理4.1知，当R0<1 时，随着时间的推移，捕食者种群最终会灭绝，食饵种群会持续生存，数量最终趋向于其环境容纳量ab ; 由定理4.2知，当R0>1 且R2<1 时，随着时间的推移，食饵种群将持续生存，数量最终趋向于d1kc1，捕食者种群中疾病将会消亡，最终趋向于bd1(R0-1)kc21; 由定理4.3知，当 R1>1且R3>1 时，随着时间的推移，食饵种群会持续生存，数量最终趋向于d2kc2，捕食者种群中疾病不会消亡，最终都将成为染病者，数量趋向于bd2(R1-1)kc22; 由定理4.4知，当满足条件R2>1 且R3<1 时，随着时间的推移，食饵种群会持续生存，数量最终趋向于a+c2d1-c1d2b，捕食者种群中疾病不会消亡，最终形成地方病。 【参考文献】 1 马知恩,周义仓,王稳地,靳祯.传染病动力学的数学建模与研究.北京:科学出版社,2004.2 R M Anderson,R M May.The invasion,persistence,and spread of infectious diseases within animal and plant communites,Phil.Trans.R.Soc.London,1986,(B1314):533570.3 Y N Xiao,L S Chen.Modeling and analysis of a predatorprey model with diseases in theprey.Math. Biosci，2001,171:5982.4 R G Bowers,M Begon.A hosthostpathogen model with free living infective stages,applicable to microbial pest control.J.Theor.Biol,1991,148:305329.5 M Begon,R G Bowers,N Kadianakis,D E Hodgkinson.Disease and community structure:the importance of hostregulation in a hosthostpathogen model.Am.Nat,1992,139: 11311150.6 K P Hadeler, H I Freedman. Predatorprey populations with parasitic infection. J.Math.Biol,1989, 27:609631.7 L T Han,Z E Ma,H W Hethcote.Four predatorprey models with infectious diseases. Mathl.Comput. Mode