函数模型及应用.pptVIP

一、几类函数模型及其增长差异 1.几类函数模型,2.三种增长型函数之间增长速度的比较 (1)指数函数yax(a1)与幂函数yxn(n0)在区间 (0，)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定 范围内ax会小于xn，但由于ax的增长 xn的增长， 因而总存在一个x0，当xx0，时有 .,axxn,快于,(2)对数函数ylogax(a1)与幂函数yxn(n0) 对数函数ylogax(a1)的增长速度，不论a与n值的大小 如何总会 yxn的增长速度，因而在定义域内总存在 一个实数x0，使xx0时有 . 由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，但 它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在 (0，)上，总会存在一个x0，使xx0时有 .,慢于,logaxxn,axxnlogax,二、解函数应用问题的步骤(四步八字) 1.审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初 步选择数学模型； 2.建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为 符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； 3.求模：求解数学模型，得出数学结论； 4.还原：将数学问题还原为实际问题的意义.,以上过程用框图表示如下：,1.下列函数中，随x的增大而增大速度最快的是 ( ) B.y100lnx C.yx100 D.y1002x,解析：因指数函数型增长快，又e2.则应选A.,答案：A,2.设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车以匀速从甲 地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从 乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经 过的路程y和其所用的时间x的函数图象为 ( ),解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路 程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.,答案：D,3.某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万 元与年广告成本200万元两部分.若年利润必须按p%纳税， 且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他 不纳税.已知该企业去年共纳税120万元.则税率p%为( ) A.10% B.12% C.25% D.40%,解析：利润300万元，纳税300p%万元， 年广告费超出年销售收入2%的部分为 20010002%180(万元)， 纳税180p%万元， 共纳税300p%180p%120(万元)， p% 25%.,答案：C,4.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009 年产生的垃圾量为a t，由此预测，该区下一年的垃圾量 为 t,2014年的垃圾量为 t.,解析：由于2009年的垃圾量为a t，年增长率为b，故下一年的垃圾量为aaba(1b) t，同理可知2011年的垃圾量为a(1b)2 t，2014年的垃圾量为a(1b)5 t.,答案：a(1b) a(1b)5,5.某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产 一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数 Q的函数，K(Q)40Q ，则总利润L(Q)的最大值 是 .,解析：总利润L(Q)40Q 10Q2 000 (Q300)22 500. 故当Q300时，总利润最大值为2 500万元.,答案：2 500万元,1.在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0) 或直线下降(自变量的系数小于0)； 2.有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、 利润问题、产量问题等.一般利用函数图象的开口方向和 对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否 则极易出错.,某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y 48x8 000，已知此生产线年产量最大为210吨. (1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？,(1)用x表示出平均成本； (2)利润收入支出，其收入为40x，支出为y.,【解】 (1)每吨平均成本为 (万元). 则 482 48=32 当且仅当 ，即x200时取等号. 年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元.,(2)设年获得总利润为R(x)万元， 则R(x)40xy40x 48x8 000 88x8 000 (x220)21 680(0x210). R(x)在0,210上是增函数， x210时，R(x)有最大值为 (210220)21 6801 660. 年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.,1.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千 件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x) 10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x) 51x 1450(万元).通过市场分析，若每件售价为 500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.,(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利 润最大？,解：(1)当0x80，xN*时， L(x)= x210x250 = x2+40x250; 当x80，xN*时， L(x)= 51x +1450250 =1200(x+ ),(2)当0950. 综上所述，当x100时，L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大.,1.很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出， 而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路 程之间的关系，就是分段函数. 2.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可 以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来， 再将其合到一起.要注意各段变量的范围，特别是端点值.,某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨). (1)求y关于x的函数； (2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.,用水量的不同，收费标准不同，甲、乙两户的 用水量分别为5x、3x，需分段列函数式，根据 所列的分段函数分析判断共交水费26.4元，甲、乙应分别为多少.,【解】 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x4，乙的用水量也不超过4吨，y1.8(5x3x)14.4x； 当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x4，且5x4时， y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x4时， y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.,所以,(2)由于yf(x)在各段区间上均单调递增， 当x0， 时，yf( )26.4； 当x( 时，yf( )26.4； 当x( ，)时，令24x9.626.4，解得x1.5. 所以甲户用水量为5x7.5吨， 付费S141.83.5317.70(元)； 乙户用水量为3x4.5吨， 付费S241.80.538.70(元),2.某隧道长2150 m，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一个 由55辆车身长都为10 m的同一车型组成的车队(这种型号 的车能行驶的最高速度为40 m/s)匀速通过该隧道，设车 队的速度为x m/s，根据安全和车流的需要，当0x10时， 相邻两车之间保持20 m的距离；当10x20时，相邻两车 之间保持( )m的距离.自第1辆车车头进入隧道 至第55辆车车尾离开隧道所用的时间为y(s).,(1)将y表示为x的函数； (2)求车队通过隧道所用的时间y的最小值及此时车队的速度.( ),解：(1)由题意知， 当0x10时， y= 当10x20时， y= = +9x+18.,所以y (2)当x(0,10时，在x10时，ymin 当x(10,20时，y= +9x+18+2 = 18+180 329.4(s) 当且仅当9x ，即x17.3(m/s)时取等号. 因为17.3(10,20，,所以当x17.3(m/s)时，ymin329.4(s). 因为378329.4， 所以当车队的速度约为17.3 m/s时，车队通过隧道所用的时间y有最小值329.4 s.,指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查.在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示.通常可表示为ya(1p)x(其中a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式.,急剧增加的人口已经使我们赖以生存的地球不堪重负.控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前. (1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？ (2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？,以下数据供计算时使用：,增长率问题是指数函数与幂函数问题，利用已知条件，列出函数模型.,【解】 (1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口 数为y，则y(1x)n60，则当n40时，y30， 即30(1x)4060，(1x)402. 两边取对数，则40lg(1x)lg2， 则lg(1x) 0.007525， 1x1.017，得x1.7%. 故每年人口平均增长率是1.7%， (2)依题意，y12.48(11%)10， 得lgylg12.4810lg1.011.1392， y13.78，故人口至多有13.78亿.,3.某城市现有人口总数100万，如果年自然增长率为1.2%， 试解答下列问题： (1)写出该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系式； (2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).,解：(1)1年后该城市人口总数为 y1001001.2%100(11.2%). 2年后该城市人口总数为 y100(11.2%)100(11.2%)1.2% 100(11.2%)2. 3年后该城市人口总数为 y100(11.2%)2100(11.2%)21.2% 100(11.2%)3. ,x年后该城市人口总数为 y100(11.2%)x. 所以该城市人口总数y(万人)与年数x(年)的函数关系是 y100(11.2%)x. (2)10年后人口总数为 100(11.2%)10112.7(万). 所以10年后该城市人口总数为112.7万.,本节内容以解答题为主，考查数学建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力，综合性较强，属于中高档题，考查内容多与导数、不等式等知识相结合.2009年湖南卷考查了函数的实际应用.,(2009湖南高考)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米.余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2 )x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式； (2)当m640米时，需新建多少个桥墩才