厄米算符的本征值与本征函数.ppt

1,量子力学,光电子科学与工程学院 王可嘉 第七讲 厄米算符的本征值与本征函数 角动量的本征值与本征函数,2,第七讲目录,一、厄米算符回顾 二、再论统计诠释 三、厄米算符的本征值与本征函数 四、角动量的本征值与本征函数 五、例题,3,一、厄米算符回顾(1),1、转置算符:,2、共轭算符,3、厄米共轭算符,则 的共轭转置算符 称为 的厄米共轭算符,记为: 即,4,一、厄米算符回顾(2),4、厄米算符,5、厄米算符的平均值 定理：厄米算符的平均值为实数。,逆定理：在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符,5,一、厄米算符回顾(3),推论2：厄米算符平方的平均值大于等于零,推论1：量子力学中，力学量用算符表示。由于力学量是实验上可测量，这就要求在任何状态下平均值都是实数，因此相应的算符必须是厄米算符。,6,二、再论统计诠释,统计诠释 若粒子处于量子态 ，则 表示粒子出现在点 附近的概率。若测量该粒子的力学量 时，一般来说，可能出现各种不同的结果，各有一定的概率。,问题：1、是否可以确定“各种不同的结果”？ （即给出测量值的样本空间。）,2、是否可以确定“不同结果的概率”？ （即给出测量值的概率分布。）,7,三、厄米算符的本征值与本征函数(1),1、本征函数（本征态）和本征值（1）,处于量子态 的粒子，对其测量力学量 ，可能出现各种不同的结果，根据概率论，所得结果的平均将趋于一个确定值，即平均值（期望）： ， 每次测量结果则围绕平均值有一个涨落（方差）。定义为：,因为 是厄米算符， 必为实数，因此 也是厄米算符,根据前述的推论2：,8,三、厄米算符的本征值与本征函数(2),1、本征函数（本征态）和本征值（2）,若 ，涨落为零，其物理含义为：测量 所得的结果是唯一确定的，换句话说，测量 所得结果是以概率1取值。,改记为：,9,三、厄米算符的本征值与本征函数(3),该方程称为算符 的本征方程，称 为算符 的本征值， 称为对应于本征值 的本征态。,1、本征函数（本征态）和本征值（2）,量子力学的基本假设4:设体系处在任意状态 下，则测量其力学量 时所有可能出现的值，都是相应的线性厄米算符 的本征值 。若体系状态处在厄米算符 的本征态 下，测量结果以概率1取 ，即取确定值 。,10,三、厄米算符的本征值与本征函数(5),2、几个定理（1）,定理1：厄米算符的本征值必为实数。,设 为厄米算符， 和 为该算符的本征态与本征值，即：,【证明】：设 为 在本征态 下的平均值，即：,即：,前已证明：厄米算符在任意状态下的平均值均为实数，因此定理得证。即 为实数。,11,三、厄米算符的本征值与本征函数(6),2、几个定理（2）,定理2：厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此 正交。,【证明】：设 为厄米算符，有：,有： 左乘 ,全空间积分有：,即：,且：,12,三、厄米算符的本征值与本征函数(7),因为 是厄米算符，即 ，所以,即：,已证明：,定理得证,2、几个定理（3）,13,三、厄米算符的本征值与本征函数(8),2、几个定理（4）,正交归一化的表示：,14,四、角动量的本征值与本征函数（1）,1、角动量及其算符(1),角动量： 对应的算符为：,直角坐标系下：,计算得到：,15,四、角动量的本征值与本征函数（2）,1、角动量及其算符(2),球坐标下：,16,直角坐标与球坐标的变换关系,这表明： r = r (x, y, z) x = x (r, , ),球坐标,将（1）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,将（2）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,对于任意函数f (r, , ) （其中，r, , 都是 x, y, z 的函数）则有：,将（3）式两边分别对 x y z 求偏导数得：,17,将上面结果 代回原式得：,则角动量算符 在球坐标中的 表达式为：,18,四、角动量的本征值与本征函数（3）,2、角动量 分量的本征值与本征函数(1),设本征值与本征函数为 和 ，本征方程为：,解为： 其中 为归一化常数,当 ，系统将回到原来的位置，由波函数的单值性要求，有： ，即：,是量子化的,相应的本征函数：,19,四、角动量的本征值与本征函数（4）,2、角动量 分量的本征值与本征函数(2),由归一化条件，有：,所以： 可证明以下情况：,归一：,正交：,即：,20,四、角动量的本征值与本征函数（5）,3、平面转子的本征值与本征函数(1),经典力学中：绕 轴转动的平面转子的哈密顿量 为：,量子力学中：对应的哈密顿算符 ：,所以绕 轴转动的平面转子能量本征方程写为：,21,四、角动量的本征值与本征函数（6）,3、平面转子的本征值与本征函数(2),波函数的单值性要求：,其中：,22,四、角动量的本征值与本征函数（7）,解的讨论：除 以外，一个 对应两个,3、平面转子的本征值与本征函数(3),简并：同一个本征值对应于多个本征函数。,根据归一化条件，可得：,可验证：,23,四、角动量的本征值与本征函数（8）,4、动量 分量的本征值与本征函数,设本征值与本征函数为 和 ，本征方程为：,若 ，则 ，为连续变化：,所以称 为连续谱本征函数：,不能用一般的方式进行归一化,24,四、角动量的本征值与本征函数（9）,4、一维自由粒子的能量本征态,一维自由粒子的哈密顿量算符为：,能量本征方程为：,解为：,一个 对应两个 ，所以称能级是二重简并的。,也是连续谱本征函数，不能用一般的方式进行归一化.,25,五、例题(1),在第5讲：一维势场中粒子能量本征态的一般性质中讲到：,例题：粒子在一维无奇点势场 中运动，试证明：属于不同能级的束缚态波函数相互正交。,定理7：设粒子在无奇点势场 中运动，若存在束缚态，则必定是不简并的。,定理1之推论1：,对应于能量的某个本征值