高考数学复习指导：不等式.doc

海量资料 超值下载不等式内容要求ABC基本不等式一元二次不等式线性规划不等式的基本性质含有绝对值的不等式的求解利用不等式求最大(小)值不等式的证明(比较法、综合法、分析法)算术几何平均不等式与柯西不等式运用数学归纳法证明不等式一元二次不等式、基本不等式是C级要求,二者是中学数学中的基本而且重要的知识,尤其是一元二次不等式,在高考中是属于重中之重,它与函数、方程、数列等数学主干知识有密切的联系,与最值问题及参数的范围等重要数学问题也密切相关,故须特别重视.线性规划是A级要求,因为设置本内容主要是通过不等式和数形结合思想的运用,体会数学在生产经营中的应用价值,今后将在高等数学中进一步学习.故本章的一元二次不等式、基本不等式是高考考查的重点.在近年的高考中,不等式的考查在填空题、解答题中都有,不仅考查不等式的基础知识、基本技能、基本方法,而且还考查运算能力,分析问题、解决问题的能力.解答题以函数、不等式、导数交汇命题,函数与不等式相结合的题多以导数的处理方式解答;数列与不等式相结合的题目,多是先由归纳及直觉思维定方向,以递推、数学归纳法等方法解决,具有一定的灵活性.具体要求如下:1. 熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的基本解法,体会数形结合的思想.2. 掌握解不等式的基本思路化归,即,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式.3. 通过复习不等式的性质、基本不等式及不等式的常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),较灵活地运用常规方法(即通性通法)解决不等式的有关问题.4. 在证明不等式的过程中,增强运用数形结合、函数等基本数学思想方法的意识.5. 了解线性规划的基本思想:数学建模、数形结合等.6. 通过不等式的基本知识、基本方法在函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,领悟数学知识间的融会贯通,从而提高分析问题、解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、思想和方法解决问题的过程中,提高数学素养及创新意识.例如在江苏省高考中,2012年的第13题、14题、17题2013年的第9题、11题、17题、18题以及2014年的第10题、18题、19题,都要用到不等式的知识.7. 能较灵活应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的实际问题,如2012年江苏省高考的第17题(应用题).1. 将不等式与函数、方程等知识联系起来复习,理解数学知识的整体性,也便于多角度、灵活地解决问题.例如不等式参数的范围问题常可转化为函数的最值问题;用函数图象可以理解不等式的解集的几何意义.2. 求解含有参数的不等式问题是高考常考题型,解题过程中要利用不等式的性质将不等式进行变形,转化为一元二次不等式等去解决,注意参数在转化过程中对问题的影响.3. 对于应用题,要通过阅读理解所给定的材料,寻找量与量之间的内在联系,提炼出事物的主要特征与相互关系,从而建立数学模型,利用不等式的知识求解.4. 在不等式的证明中,要加强化归思想的复习.证明不等式,既可以考查基础知识,又可以考查代数推理能力,在理科数学复习中要特别关注.第21课时一元二次不等式内容要求ABC一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用1. 理解一元二次不等式与相应函数、方程之间的关系,掌握一元二次不等式的解法,能将其他不等式问题转化为一元二次不等式问题,能从实际情境中抽象出一元二次不等式,将实际问题转化为一元二次不等式问题.2. 一元二次不等式的应用相当广泛,如求函数的定义域、值域,研究函数单调性、最值、参数的取值范围等.该部分内容要求定为C级,要重点加强.1. 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系(a0):0=00的解集x|xx2xx-Rax2+bx+c0的解集x|x1x0 (a0)恒成立ax2+bx+cA在区间D上恒成立,等价于在区间D上f(x)minA;若f(x)在区间D上有最大值,则不等式f(x)B在区间D上恒成立,等价于在区间D上f(x)maxA成立,等价于在区间D上f(x)maxA;若f(x)在区间D上有最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立,等价于在区间D上f(x)minB.1. 不等式2x(x+2)3(x+2)的解集为.2. 函数y=的定义域为-, -1)(1,.3. 关于x的不等式ax2+bx+10的解集是,则a=-6, b=1.4. 设集合A=x|(x-1)23x+7, xR,则集合AZ中有6个元素.提示由(x-1)23x+7,可得-1x0对于xR恒成立,则实数a的取值范围是0, 4).1. 一元二次不等式的基本解法例1解下列不等式:(1) x2-7x+120;(2) -x2-2x+30;(3) x2-2x+10;(4) x2-2x+20的解集是x|x4.(2) 不等式两边同乘以-1,原不等式可化为x2+2x-30.方程x2+2x-3=0的解为x1=-3, x2=1.根据y=x2+2x-3的图象,可得原不等式-x2-2x+30的解集是x|-3x1.(3) 方程x2-2x+1=0有两个相同的解x1=x2=1.根据y=x2-2x+1的图象,可得原不等式x2-2x+10的解集为.(4) 因为0,所以方程x2-2x+2=0无实数解,根据y=x2-2x+2的图象,可得原不等式x2-2x+20的解集为.反思掌握解一元二次不等式的步骤.拓展1. y=的定义域为x|x=3.2. (1) 解不等式0;(2) 解不等式1.略解(1) 原不等式或 不等式解集为x|-7x3.(2) 原不等式化为0,即得不等式解集为x|-7x10.2. 含参数的一元二次不等式的解法例2解关于x的不等式ax2-(a+1)x+11;当a0时,分解因式得a(x-1)0.当a0,不等式的解集为;当0a1时,1,不等式的解集为x1x1时,1 (aR).解00. 当a1时,不等式为0.由-2=0,即2, 解集为. 当0a1时,不等式为2, 解集为. 当a0时,不等式为0.此时0的解集为x|x2或x-1.不等式2x2+(2k+5)x+5k0可化为(x+k)(2x+5)0,由题意可得2x2+(2k+5)x+5k0的解集为. 不等式组的整数解的集合为-2, -2-k3,即-3k0的解集为x|2x0的解集.解由题意得即代入不等式cx2-bx+a0得6ax2+5ax+a0 (a0),即6x2+5x+10, 所求不等式的解集为.2. 设不等式x2-2ax+a+20的解集为M,如果M1, 4,求实数a的取值范围.解设f(x)=x2-2ax+a+2,有=(-2a)2-4(a+2)=4(a2-a-2). 当0时,-1a0时,a2.设方程f(x)=0的两根为x1, x2,且x1x2,那么M=x1, x2, M1, 41x1x24解得2-2x的解集为(1, 3).(1) 若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;(2) 若f(x)至少有一个值为正数,求a的取值范围.点拨二次函数有三种表达形式:一般式、顶点式、零点式.本题可以设一般式f(x)=ax2+bx+c,再利用两个条件去求解系数a和b;也可以运用整体思想把f(x)+2x看成一个函数,则f(x)+2x=a(x-1)(x-3).解(1) 因为f(x)+2x0的解集为(1, 3),故可设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0.因为方程有两个相等的根,所以=-(2+4a)2-4a9a=0,即5a2-4a-1=0.解得a=1或a=-.由于a0,舍去a=1.将a=-代入得f(x)=-x2-x-.(2) 由(1)知a0,故原问题可转化为“f(x)的最大值为正数”.由f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a=a-及a0,可得f(x)的最大值为-.由解得a-2-或-2+a0求解.拓展若关于x的不等式x2-ax-a-3的解集不是空集,求实数a的取值范围.解设f(x)=x2-ax-a.则关于x的不等式x2-ax-a-3的解集不是空集f(x)-3在(-, +)上能成立fmin(x)-3,即fmin(x)=-3,解得a-6或a2.1. 充分利用方程思想、函数思想及数形结合思想,即抓住一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的联系,并尽可能借助二次函数的图象.2. 解含参数的不等式,对于参数的讨论,要利用分类讨论思想,做到不“重复”不“遗漏”.1. (根据必修5P94复习题第1题改编)解下列关于x的不等式:(1) x2-5x+60;(2) (x+a)(x-2a+1)3或x 时,不等式的解集为x|-ax2a-1;当a时,不等式的解集为x| 2a-1x0, a1)在区间0, 恒有f(x)0,则f(x)的单调增区间是.(2) 当x(1, 2)时,不等式(x-1)2logax恒成立,则实数a的取值范围是(1, 2.提示(2) 令f(x)=(x-1)2, g(x)=logax, y=f(x)与y=g(x)的图象均过点(1, 0),由不等式(x-1)21.点(2, 1)在y=f(x)的图象上,当y=g(x)的图象过点(2, 1)时,a=2.由图象知,10的解集是,则a+b的值是 -14.4. (根据必修5P71习题3.2第5题改编)已知不等式(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+30对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.略解 若a2+4a-5=0,则a=1或a=-5.当a=1时,原不等式化为30,该不等式对一切实数x恒成立;当a=-5时,原不等式化为24x+30, 该不等式对一切实数x不恒成立,所以a=1符合题意. 若a2+4a-50,依题意有即所以所以1a0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线)2. 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法:由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x, y),把它的坐标(x, y)代入Ax+By+C,所得到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0, y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C0表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当C0时,常把原点作为此特殊点)3. 求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤:(1) 寻找线性约束条件,线性目标函数;(2) 由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域;(3) 在可行域内求目标函数的最优解或最值.1. 画出不等式组表示的平面区域.(第1题)2. 已知点(3, 1)和点(-4, 6)在直线3x-2y+m=0的两侧,则m的取值范围为-7m24.3. 设实数x, y满足(1) 2x+y的最小值为; (2) 的最大值为;(3) x2+y2的最小值为. 4. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是5a0时,有点(x, y)在一条形区域内(含边界);当y0,由对称性得出,如图(2).(例1)反思不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.拓展1. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是00, b0,且a+b=S(定值)时,由知ab有最大值;当a0, b0,且ab=S(定值)时,由知a+b有最小值2.3. 四个“平均数”的大小关系:.(a0, b0)1. 设x, y是正实数,且x+y=5,则lgx+lgy的最大值是2-4lg2.2. 若x0, y0,则的最大值为.3. 已知函数f(x)=log2(x-2),若实数m, n满足f(m)+f(2n)=3,则m+n的最小值是7.提示由log2(m-2)+log2(2n-2)=3,得(m-2)(n-1)=4,则m=+2,所以m+n=+2+n=+(n-1)+32+3=7(当且仅当n=3时取等号),故m+n的最小值为7.4. 某公司一年购买某种货物400t,每次都购买xt,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=20t.5. 若正数a, b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是9, +).提示ab=a+b+32+3, 3,即ab9.1. 利用基本不等式证明不等式例1已知x0, y0, x+y=1,求证:x4+y4.点拨利用基本不等式证明不等式要注意给定的条件与要求证的不等式之间的关系,充分利用好有关公式进行化简.证明 x0, y0, x+y=1, x2+y22xy,两边同加上x2+y2,得2(x2+y2)(x+y)2=1,故x2+y2.又x4+y42x2y2,两边同加上x4+y4,得2(x4+y4)(x2+y2)2, x4+y4.等号当且仅当x=y=时成立.拓展1. 已知a, b是正数,ab, x, y(0,+),求证:+,并指出等号成立的条件.2. 利用拓展1的结论求函数f(x)=+x的最小值,并指出取最小值时x的值.解1. (x+y)=a2+b2+a2+b2a2+b2+2=(a+b)2,故+.当且仅当a2=b2,即=时,上式取等号.2. f(x)=+=25.当且仅当=,即x=时,上式取最小值,即f(x)min=25.2. 利用基本不等式求最值例2当0x4时,求y=x(8-2x)的最大值.点拨由0x0,利用基本不等式求两数积的最大值,和必须为定值.此题为两个式子的积形式,但和不为定值.注意到2x+8-2x=8为定值,故只需凑上一个系数即可.解y=x(8-2x)=2x(8-2x)=8.当且仅当2x=8-2x时,即x=2时取等号.故所求最大值为8.反思基本不等式 (a0, b0,当且仅当a=b时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求函数最值问题.有些可直接用公式,有些题目必须进行必要的变形.本题的变形为“凑系数”,还有“凑项”、“分离”、“整体代换”等变形,见拓展部分.拓展1. 已知x,求函数f(x)=4x-2+的最大值.解因为x0,所以f(x)=4x-2+=-+3-2+3=-2+3=1,当且仅当5-4x=,即x=1时等号成立.故当x=1时函数f(x)取最大值1.注:本题用“凑项”变形.2. 求y= (x-1)的值域.解y=x+1+5.当x+10,即x-1时,y2+5=9(当且仅当x=1时取等号);当x+10,即x0, b0, a+b=1,求t=+的最小值.解t=1=(a+b)=1+2=3+3+2=3+2,当且仅当=时取等号.由得a=-1, b=2-,故当a=-1, b=2-时,t=+取最小值3+2.注:本题用“整体代换”变形.3. 基本不等式与其他知识的交汇例3过点P(1, 2)的直线与x轴、y 轴的正半轴分别交于A和B两点.(1) 当AOB的面积最小时,求直线l的方程,并求出最小值;(2) 当OA+OB最小时,求直线l的方程,并求出最小值;(3) 当PAPB最小时,求直线l的方程,并求出最小值.点拨要求最值,只要把所求表达式分别用函数表示出来.解(1) 由题意知直线l的斜率k0, b0).由直线过点P(1, 2),得+=1,即2a+b=ab,解出b=0.又 a0. a1,于是OA+OB=a+b=a+=a+=a-1+33+2.当且仅当a-1=,即a=+1 (a=-+1舍去)等号成立.此时直线l的方程为+=1, OA+ OB的最小值是3+2.(3) 由题意知直线l的斜率k0, b0),该如何求解呢?4. 基本不等式的实际应用例4设计一幅宣传画,要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为 (1),画面的上下各留8 cm的空白,左右各留5 cm的空白.(1) 问:怎样确定画面的高与宽的尺寸,能使宣传画所用纸张面积最小?(2) 如果,那么为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?点拨根据题意建立函数关系式不难,难点在于运用不等式求最小值时等号成立的条件.解(1) 设画面的高为x cm,宽为x cm,则x2=4840.设纸张面积为S,则有S= (x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160=5000+446760,当且仅当8=,即=时,S取最小值,此时高x=88(cm),宽x=88=55(cm).(2) 如果,则上述等号不能成立.现证函数S()在上单调递增.设1, 8-0.又 -0, S(1)-S(2)1)的最小值是4+2.5. (根据必修5P90例4改编)如图,要挖一个面积为432m2的矩形鱼池,上下侧、左右侧分别留出宽为3m, 4m的堤堰,要想使占地总面积最小,则此时鱼池的长为24m,宽为18m.第24课时不等式的综合运用1. 不等关系是一类重要的数量关系.不等式的运用几乎已渗透到数学的所有分支中,一些重要的问题,如求参数的范围、函数的最值与单调性、数列中各项的取值大小、图形中有关量的估算等常用到不等式,体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性和应用的广泛性,要重视、熟悉这方面的典型问题和思考方法,特别是运用一元二次不等式和基本不等式(C级要求)的有关问题和解法.2. 运用不等式知识解题的关键是建立不等式关系,其建立的途径:利用几何意义;利用判别式;利用变量的有界性;应用函数的有界性;应用均值不等式等.1. 不等式的综合运用大致可分为两类:一类是建立不等式,求不等式中参数的取值范围;另一类是建立函数关系,利用平均值不等式求解一些实际问题中的最大(小)值,如最优化问题常转化为不等式模型.2. 设等比数列an的首项a10,当公比q(0, 1)时,Sn=bc0, x=, y=, z=,则xy, yz, zx, x2, y2, z2中最小的是x2.3. 若实数m, n, x, y满足m2+n2=a, x2+y2=b (ab),则mx+ny的最大值是.4. 设a, b, cR, ab=2且ca2+b2恒成立,则c的最大值为4.5. 若log2(x+y)=log2x+log2y,则x+y的取值范围是4, +).1. 不等式在函数中的运用例1已知函数f(x)=满足f(c2)=.(1) 求常数c的值;(2) 解不等式f(x)2.点拨由0c1,易知c2c.解(1) 因为0c1,所以c2c.由f(c2)=,即c3+1=, 得c=.(2) 由(1)得f(x)=由f(x)2得当0x时,解得0x;当x1时,3x2+x-20,解得x,所以f(x)2的解集为.反思对于分段函数,由函数值求自变量时,要讨论自变量所在定义域的哪个子集上.对于已知分段函数的函数值的范围,求自变量的范围的问题,要分区域讨论.拓展已知函数f(x)=x2+ax+b.(1) 若对任意的实数x,都有f(x)2x+a,求a, b满足的条件;(2) 当x-1, 1时,f(x)的最大值为M,求证:Mb+1;(3) 若a,求证:对于任意的x-1, 1, |f(x)|1的充要条件是-1b-a.解(1) 对任意的xR,都有f(x)2x+a对任意的xR, x2+(a-2)x+(b-a)0=(a-2)2-4(b-a)0b1+( aR, b1). a, b满足的条件为b1+.(2) f(1)=1+a+bM, f(-1)=1-a+bM, 2M2b+2,即Mb+1.(3) 由0a得-2n-.点拨在利用前n项和的公式与通项公式的关系的时候,一定要对第一项进行讨论,再找到递推关系式来判断是什么数列.证明数列有关的不等式考虑数列中常用方法.解(1) 因为S1= (a1-1), a1=a.当n2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,=a,即an是等比数列. an=aan-1=an. n=1时,a1=a1, an=an (nN*).(2) 由(1)知bn=+1=.若bn为等比数列,则有=b1b3.而b1=3, b2=, b3=,故=3,解得a=.再将a=代入得bn=3n成立,所以a=.(3) 由(2)知an=,所以cn=+=+=+=1-+1+=2-.由得-2-,从而Tn=c1+c2+cn+=2n-+=2n-2n-.即Tn2n-.拓展1. 已知数列an满足a1=5, a2=5, an+1=an+6an-1 (n2).(1) 求证:an+1+2an是等比数列;(2) 求证:an-3n是等比数列,并求数列an的通项公式;(3) 设3nbn=n(3n-an),且|b1|+|b2|+|bn|m对于nN*恒成立,求m的取值范围.解(1) 由an+1=an+6an-1, an+1+2an=3(an+2an-1)(n=2). a1=5, a2=5, a2+2a1=15,故数列an+1+2an是以15为首项,3为公比的等比数列.(2) 由(1)得an+1+2an=53n.于是(an+1-3n+1)=-2(an-3n),故an是等比数列,an-3n=2(-2)n-1,an=3n+2(-2)n-1=3n-(-2)n.(3) 由3nbn=n(3n-an)=n3n-3n+(-2)n=n(-2)n, bn=n.令Sn=|b1|+|b2|+|bn|=+2+3+n,Sn=+2+(n-1)+n,得Sn=+-n=-n=2-n, Sn=6-3n6.要使得|b1|+|b2|+|bn|0且a1,数列an是首项为a,公比也为a的等比数列,令bn=anlgan (nN*),问:是否存在实数a,对任意正整数n,数列bn中的每一项总小于它后面的项?证明你的结论.解an=an, bn=anlgan=nanlga.假设存在实数a满足题意,即bn0. 当a1时,lga0, an0, 当且仅当(n+1)a-n0时式成立,即a对任意正整数n成立. 恒成立.当0a1时,lga0, 当且仅当(n+1)a-n0时式成立,即a对任意正整数n成立, , 0a1或0aan (nN*);an是单调减数列an+10).(2) 由V=a2h= (h0),得V=.而h+2=2,所以V,当且仅当h=即h=1时取等号.故当h=1m时,V有最大值,V的最大值为m3.反思建立函数关系式,有时需借助辅助变量,如本题中的h.提醒在求得a与h的函数关系式时易忘h的取值范围:h0.4. 不等式中参数的取值问题例4已知三个不等式:|2x-4|5-x; 1; 2x2+mx-10.(1) 若同时满足和的x值也满足,求m的取值范围;(2) 若满足的x值至少满足和中的一个,