等价矩阵(自动保存的).doc

矩阵的三种等价关系及其一些应用姓名：郭长琦 学号200740510208 指导教师：刘敏摘要：高等代数范围内,有关矩阵等价关系的计算是一个具有普遍重要的基本问题，在有限维线性空间中，矩阵的等价关系运算往往用到线性变换，由于线性变换在高等代数中的重要性，使得矩阵等价关系在高等代数中占有重要的地位。本文主要简单地讨论了矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似的条件及其应用，给出了这三种矩阵关系间的联系，即合同阵、相似阵必是等价阵;反之，不一定成立；正交相似与正交合同是一致的，并给出说明关键词：等价矩阵 相似矩阵 合同矩阵 hree kinds equivalence relation of the matrix and some applications Abstract: matrix equivalence relation in higher algebra occupies an important position. This paper briefly discusses matrix equivalent, matrix contract, matrix similar conditions and its application, give the relation between these three matrix of contact, namely contract array, similar array is equivalent array; Conversely, not necessarily to be formed; Orthogonal similarity and orthogonal contract is consistent, and give instructions.Keywords: rotation matrix similar matrix contract matrix 矩阵是高等代数中最重要的知识点，贯穿于高等代数中，矩阵等价、矩阵合同、矩阵相似则是矩阵的三种基本关系，故首先给出其基本定义。1矩阵等价关系的定义1.1等价矩阵 设，是数域上的两个矩阵，如果可以由经过一系列初等变换得到则说与是等价矩阵。定理1 两个 阶矩阵，等价的充分必要条件为，存在可逆的阶矩阵与可逆的阶矩阵使 = 阶矩阵的等价关系具有以下性质:1.1.1 反身性：与等价1.1.2 对称性：与等价，则与等价1.1.3 传递性：与等价，与等价，则与等价1.1.4 保秩性：与等价，则秩=秩 1.2合同矩阵 设, 是数域上的两个阶矩阵，如果有数域上可逆的阶矩阵使 =,则称与是合同的。 定理 两个复对称矩阵合同（在复数范围）的充要条件是秩相等；两个实对称阵合同的充要条件是正惯性指数与负惯性指数分别相等。阶矩阵的合同关系具有下列性质：1.2.1 反身性：与合同1.2.2 对称性：由与合同，则与1.2.3 传递性：由与合同，与合同，则与合同1.2.4 保秩性：A与B合同，则秩A=秩B1.3相似矩阵设, 为数域上的两个阶矩阵, 如果有数域上可逆的阶矩阵使得= ， 则说相似于，记为 . 定理两个矩阵相似的充分必要条件是具有相同的不变因子。 阶矩阵的相似关系具有以下性质：1.3.1 反身性：相似于1.3.2 对称性：若相似于，则相似于1.3.3 传递性：若相似于，相似于，则相似于1.3.4 保秩性：若相似于，则秩=秩由等价矩阵、合同矩阵、相似矩阵的定义，可以知道每种矩阵关系的成立都需要一定的条件，并且矩阵的这三种关系之间存在着某些联系。2.1若阶矩阵与相似，则与必为等价矩阵；但与是等价矩阵，则与不一定相似证： 设阶矩阵、是相似的，则存在阶可逆的矩阵使得=，由推论1知，若令=，=，则可知,是等价的，可知相似矩阵必为等价矩阵。反之：（1）若阶等价矩阵、满足=，且=，则矩阵、是相似的；（2）若阶等价矩阵、满足=，但，则矩阵、不是相似的；（3）若、是阶矩阵，设= ，= ，知秩=秩，故、是等价矩阵，但是此时、并不是相似的，可知等价的矩阵不一定是相似的矩阵。2.2 若阶矩阵、是合同的，则与必是等价矩阵；但与是等价矩阵时，则与不一定是合同的矩阵证：设阶矩阵与是合同的，由合同的定义知存在阶可逆的矩阵使得=,由定理的推论知矩阵与矩阵等价的充分必要条件是存在可逆的阶矩阵、使得=,故令=，=，可以知道矩阵,是等价的，故合同的矩阵是等价的矩阵。若矩阵、是等价的。（1）当矩阵、是阶的，故存在阶可逆的矩阵、使得=，且=,即有=，故此时矩阵、是合同的。 (2) 当矩阵、是（且），故存在阶可逆的矩阵和阶使得=例如，如,，秩=秩=3，矩阵、是等价的，但此时矩阵与并不是合同的，故等价的矩阵并不一定是合同的。2.3若阶矩阵与 是相似矩阵，则、未必是合同的矩阵；反之，若阶矩阵、是合同矩阵，则、未必是相似的矩阵证：如下反例， 设，存在3阶可逆的矩阵，使得=，可以知道矩阵、是相似矩阵，假设在数域上存在3阶可逆的矩阵，使，经计算有，即得，。这与矩阵可逆相矛盾，故不存在满足条件的矩阵。 设，存在3阶可逆的矩阵，使得=，即，知、是合同的矩阵；同理，假设在数域上存在可逆的3阶矩阵=，使满足，又因为，而=，这与条件相矛盾，故不存在满足条件的矩阵。对于阶实对称阵，因为正交阵满足。所以正交相似与正交合同是一致的，故对于实对称阵总可以找到正交阵和合同与对角阵,即.注刘昌望等编.高等代数.上海.同济大学出版社.1995. 矩阵等价关系的应用例1：设=，=，=，=问、（要说明理由） （1） 那些与合同？（2） 那些与相似？（3） 那些与等价？解：（1）两个复对称矩阵合同（在复数范围）的充要条件也是秩相等，因而从复合同的意义上说，、与合同。两个实对称阵合同的充要条件是正惯性指数与负惯性指数分别相等。因为的正惯性指数=2，的负惯性指数=1，且由|=（3）（3+1）知的特征值为 =3，=，=，所以的正惯性指数=3，的负惯性指数=0，故与不合同。又因为的正惯性指数=3，的负惯性指数=0，故与不合同。由|=(2)( 1)，知=2，=1，=1，故的正惯性指数=2，的负惯性指数=1，因此与合同。综上知在实数范围内，与合同，、与不合同。（2）两个实对称矩阵相似的充要条件是具有相同的特征值，因此只有与相似，、都不与相似。（3）在复数域上，由（）及2.2知、与等价；在实数域上，秩=秩秩秩，故、与等价。例2：设有一个二阶矩阵=，试求解：首先求的相似对角形，由|=（-5）（+2）=0可得，的两个相异特征值=5，=,且它们各自可以求得一个特征向量=,=且，互异，所以与之对应的两个特征向量，必线性无关。于是可设=，=，且有=,其中=故=例3：设=，试求可逆矩阵使为对角矩阵。解：设以为矩阵的二次型是=2+2+2 当=0时，=0, =即为所求； 当,不全为零，不妨设0,令=则=2 (+2 (令=则二次型化为标准为=22.可逆矩阵=使=例4：已知实矩阵=，=求：1若矩阵方程=有解，但=无解，问、应满足的条件； 2 若、相似，问、应满足什么条件； 3 若、合同，问、应满足什么条件。解：（1）由B=有解|02 由=无解|=0=0（2）、相似知2+=tr()=tr()=4+0，且|2-4|=|=|=-3,故=2，=0。 此时、有相同的相似标准型故、相似=2且=0。（3) 、是实对称的，、合同它们的正惯性指数、负惯性指数分别相等。故由, 合同以及为对称矩阵可得亦为对称矩阵, 故 = 3。因而的正、负惯性指数均为1, 故的正、负惯性指数亦均为1, 因而2. 此时, 同为实对称矩阵, 而且具有相同的正、负惯性指数, 因而的确合同. 故, 合同“ 2且 = 3”参考文献1北京大学数学系几何与代数数研室前代数小组编.王萼芳、石生明修订.高等代数第三版.北京.高等教育出版社.2007. .2乐茂华主编.高等代数.南京.南京大学出版社.2002.3（美）TWHUNGERFORD编.冯克勤译、聂灵沼校.代数学.长沙湖南教育出版社.1985.4刘丁酉编.矩阵分析.武汉.武汉测绘科技大学出版社.1998.5王萼芳编.高等代数.上海.上海科学技术出版社.1981.6徐仲、张凯院、陆全、冷国伟编.