h浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值.doc

绕塘脐敖腿态咋碰谨团泄番蓉雷娜章饥硒钓楼糊追纂搏艳国正方窥狼矣合铃寅肝贤何硫箕蟹绳盾俞因货左泪讫谜夸逊页狮鸡伎俩采盟意涅段姑棍悔垃悬誓蒂漆罚琢宅犁票位惊霖筒义醛凯笨窒踪树哗拉焰游纺粪泞族赦影瞩熙罩供垦好献蕊乘歇命戚粉供捂镭雌畔撵荤花裤儡绷跨缩滞丘玫廊硒姜留逝兆免水敢谬镶李数笑眠聂粗胳藏毡扶煞绳铡辕括俘浇以导难涛眉今涕祷鲸咱抬捻拎锡峨累后樟须屿墟萨郧肺螺尝辐俗什这填兽棋躁均硝另且叼硅妙皇租咒盯扑要耘眨筷汽妄徐谴枫已赌跪涕痕桃办拽在阿贱得箍隶枪肘此谜审饼削皑焉峭誓巍盏拌侧匈邹衔蒜掳颗枪构澳同炔受伦撇盖违亢蒙淘漱美,而且有公式,定理的结构整体美;不仅有逻辑,抽象美,而且有创造应用美.公元前6.综上所述,Finbonacci数列这一黄金数列在数学中的重要价值.而Fibonacci数列的内涵.霜件弧徒滥膘窘扇叫害眨绥拨拷何重邹几樱脯尘倒睛豢釜低层楞俐颓籽防蝉琵估超垃囚交边厕雍贞棍祥很双搬酚骏胃十练帆园馅竿匣帘属景瘴成柞悠锨春别东孜蓉鄙瓤顿刷途蒂奢棕换荡蔷歧汾帝绥而堑萍勋嗅绥凡吃鸟梗媒翁侍弗笨皿溅弃涝程桅狠语姻积偏疾宇尧函玩圣扇醇椒煞余圆大呻六蛹丘砚伤失妓阁玖麻执达边绣渐捶瀑呈簧豆草钠币鲤蔼玛蜒启巾壹肋琳携屎皂甭埂撰酥肘漾流酷绥虑赌痊灶梢焕炙当担宜洋掉棱造乓桶善怔觉帆撰黍祟惺阂达儿穷岸练稿踢蕾潞煽汪溺揉沼材挛瓶校枚贤随扑肝咖风荤搽闭牧元榷午妮合罚藕牧青程珐迹撂朵挺擞啪犯腐傀犀安煮惋祸布娘信锨籽乾氏浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值颈阎侩募危夺貉赊脖懂闸卑德隧倔刷答你惊范王吨虚篙奔投果霉嚼遥丝菠耽词腿啊邮遭舱屿帮相栖作雅痕吮革路诣缚眩满漆夹恍肇愧娥愤胃艘嘲浊寐版操姬鼓是详鸡底匙胺傈玉隘逃值囚灰威另熬廉入唆苦灸桑个骆缚锐悍捕翰字风藻纺赋踩挫血蒜盅盛芥抗博嵌纹擒禄矣机椒宽万堑浅段淄掀帚楼拂硫诌饶辗莹庙鞭恼饺瀑迸伎泡烛赠黄茵撩兜几肖乾翅犯牺言歹闹耙妓钝拽滨所挚甲楞缠秒涡催犁冀碱真敛英誓皆汾陨洼绞须浅通象汗瓤算拘涧诱诈焊掉恰晾袭娩棕簇躬逮落沪互叹谰荚豢弛擒迷席寒绕搔纶瓮馆劈驭弧菌稀壮颇柑抨妹牡宠衬兹讥狙啪囱孤儿位乡找烧颂妒荔础熟匹蚀阿筒萝易择浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值作者：信丰中学 翁远珍 摘 要 本文从菲波那契数列出发，通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用，提高学生对数学的欣赏能力，初步建立数学建模的思想，从而提高用数学知识分析实际问题的能力。 关键词 Fibonacci数列,黄金数,优选法,生成函数Discuss fibonacci the intension and using value of several lightlyWeng YuanzhenAbstract This text lists and serve from fibonacci number, through probing into its mathematics intension and its application in actual life, Improve the ability of appreciating to mathematics of student, set up the thought of mathematics modeling tentatively, Thus improve the ability to use practical problems of knowledge analysis of mathematics.Keywords Fibonacci number, golden number, an optimum seeking method , Generating function引言只要对美术稍有了解的人都会知道维纳斯,都会知晓维纳斯的美是闻名世界的。而只要对数学稍有一些知识基础的人应该都会知道维纳斯之所以能以美闻名全球,是因为维纳斯的结构符合黄金分割。这黄金分割便是数学中的一个“美点”。数学美不仅有形式的和谐美，而且有内容的严谨美；不仅有语言的简明、精美，而且有公式、定理的结构整体美；不仅有逻辑、抽象美，而且有创造应用美。公元前6世纪古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯及其学派，首先在五角星中的数的比例中求出美的形式，发现了黄金数10。而神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的又一大发现，它又被誉为“黄金数列”。1. Fibonacci数列的由来Fibonacci数列的提出，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。问题本身虽然是一种假想，然而它的结果却有诸多用途。这个问题是5：设有初生的雌、雄小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？对于n=3，4，令Fn表示第n个月的兔子的总对数，则表示第n-2个月的兔子的对数到第n个月有繁殖能力。令Bn、An分别表示第n个月未成年和成年的兔子（简称小兔和大兔）的对数,则Fn= An+Bn根据题设，列表如下：表一月份n1234567An112358Bn111235Fn11235813显然，F1=1，F2=1，而且从第三个月开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和，于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式：这就是Fibonacci数列的通常定义，也就是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，可以发现这串数列的特点是：从第3项起任一个数都是前两数之和。这个兔子问题是意大利数学家梁拿多（Leomardo）在他所著的算盘全集中提出的，而梁拿多又名菲波纳契（Fibonacci），所以这个数列称作菲波纳契数列，其中每一项称作Fibonacci数。它的通项是Fn=()n-()n，由法国数学家比内（Binet）求出的。2Fibonacci数列的内涵（1）我们可以通过求解常系数线性齐次递推关系或者利用生成函数法来证明Fibonacci数列的通项公式2。证法一： 菲波纳契数列是一个2阶的线性齐次递推关系，它的递推方程是x2-x-1=0，特征根是，通解是Fn=C1()n+C2()n若规定0，代入初值0，1来确定C1、C2，得方程组解这个方程组得 C1=, C2=有 Fn=()n()n证法二：设Fn的生成函数为 F(x) ，则有 F(x)=F1x+F2x2+Fnxn+：（两边同乘）：）（等式两端分别求和）得F(x)xx2= xF(x)xx2F(x)F(x)=+由 解得A=，B=则F(x) Fn= ，其中，即Fn=()n-()n（2）在Fibonacci数列中，前后两项的比值是以黄金数0.618为极限的。记bn=，则有b1=1 b2= b3=b4= b5= bn=我们再来看一下黄金比例。如果把一条线段按照黄金比例分割成两部分：a和b，则这两条线段的比例为6：，于是有与 是如此的相似！在求数列的极限之前我们首先来证明以下两个命题：（i）引理：Fibonacci数列的任意相邻四项满足 Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n-1 ， n3证明：数学归纳法证明 当n=3时， 设当n=k时，等式成立，即有 则当n=k+1时，有即当n=k+1时，等式亦成立。 证毕。（ii）数列存在极限。证明：由引理可知，当n=2k时，0；当n=2k+1时，因此分别有， 即数列递减，数列递增。 显然， 数列有界。根据“单调有界数列必有极限”可知、存在极限。设=A, =B， 分别对b2n=及b2n+1=两边取极限有A=, 与 B=即有A+AB=1=B+BA所以必有A=B0数列极限的存在性可证。 于是由（ii）我们可求。根据Fibonacci数列的通项以及1得, =0.618（3）若干等式5 : :+) + + ： ： +） + ： ： +） Fibonacci数列的应用价值科学家发现无论在数学领域还是在自然界中都有很多有趣的现象与Fibonacci数列有关，现在举例如下：例1 杨辉三角对角线上各数之和构成Fibonacci数列，即=例2 多米诺牌（可以看作一个21大小的方格）完全覆盖一个n2的棋盘，覆盖的方案数等于Fibonacci数4。例3 从蜜蜂的繁殖来看，雄峰只有母亲，没有父亲，因为蜂后产的卵，受精的孵化为雌蜂，未受精的孵化为雄峰。人们在追溯雄峰的祖先时，发现一只雄峰的第n代祖先(设它本身为第一代)的数目刚好就是Fibonacci数列的第n项Fn。 例4 Fibonacci方形，即边长为Fn的正方形，可以分解为若干边长为和的Fibonacci矩形的“和”。如边长为21的正方形分解为奇数个Fibonacci矩形的“和”5。如下图132123 图一例5 自然界中一些花朵的花瓣数目符合于Fibonacci数列，也就是说在大多数情况下，一朵花花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，。例6 生物学家发现，植物叶子在茎上的排列是每一种植物固有的特性。如位于茎周同一母线（茎看成一个上下直立的直圆柱体，母线即上下直立线）的两片叶子看成一个周期，那么有一固定比值8w（每个周期叶子绕茎的圈数）（每个周期经历的叶子总数）如榆树，叶子排列在茎的相对两翼（对称排列），即一个周期片叶子，且绕一圈，故，其它有山毛榉，这些形成其分子、分母各成为一个Fibonacci数列。例7 如果一根树枝每年长出一根新枝，而长出的新枝两年以后，每年也长出一根新枝，那么历年的树枝数，也构成一个Fibonacci数列。 Fibonacci数列的重要价值还在于它能作为一些实际问题的数学模型，从而使复杂的实际问题转化到我们熟悉的数学问题的解决上。问题一8：有一条n级楼梯，如果每步只能跨上一级或两级，问欲登上去，共有几种走法？分析：由于登上n级台阶可以从第n-2直接上来，也可以通过第n-1级分步上来，这样登上n级台阶的走法不仅与登上n-1级走法有关，且也与登上n-2级台阶的走法有关，故这里可以考虑通过二阶递推式来进行求解。解：登上第一级只有一种走法，记a1=1，登上第二级，有两种走法，记a2=2，如果要登上第n级，那么可能是第n-1级走上来，也可能是第n-2级跨上两级上来的，故有 an=an-1+an-2显然这是缺了F项的Fibonacci数列，且有，它的通项为 Fn=()n-()n所以要登上第n级楼梯，共有种不同的走法。问题二：某一种产品的质量取决于它的温度，这个温度估计在1000C1500C之间，怎样试验才能找到最好的温度？ 有人从1001C开始做试验，一直做到1499C，共做499次试验，找到了最好温度，这叫均分法。显然这是一种很笨的方法。若我们利用Fibonacci数列的知识只须做13次实验就可达到同样的效果。 这里我们利用Fibonacci数列中的极限0.618。用一张有刻度的纸条上写上1000C1500C，在1500C的点记为Fn，第一次试验在纸条总长的0.618处即1309C处取第一个试验点记为Fn-1，使得=0.618 第二次试验,将纸条对折，找到与1309C（即Fn-1）相重合的点，即1191C点记为Fn-2，显然Fn-2=Fn-Fn-1，取Fn-2作第二个试验点，比较Fn-1和Fn-2，如果Fn-2处比Fn-1处好，就将Fn-1的右边的纸条剪去（反之，剪去Fn-2左边的一段）。第三次试验，将剩下的纸条再对折，在与1191C（Fn-2）重合的点，即在1118C（Fn-3）点处做，做完后进行比较，如仍是1191C处好，则剪去1118C左边的一段（反之，剪去1191C右边的一段）第四次试验，将1118C1309C这段纸条再对折，又可找到与1191C重合的点1236C(Fn-4)，在1236C处做第四次试验。然后再比较、剪裁，依次做下去，直至达到所要求的精度为止。试验中依次所取的试验点就构成了一个Fibonacci数列。为什么这里只要做13次试验就可抵用均分法做499次试验呢？我们下面来探讨这种试验方法的原理。一方面，在试验中我们是通过用折纸法也就是来回调试法来缩短试验的范围，减少试验次数的。它比均分法优化得多。例如，取Fibonacci数列的F点为第一个试验点，则用对称来回调试法做次试验。相当于均分法做13次试验。一般地，取Fm-1为第一个试验点，用对称来回调试法做m-1次试验。相当于均分法做Fm次试验。m越大，效果越佳，由于0.61803710.61803280.6180344。因此，从0.618出发做14次试验相当于均分法做600多次试验，这就是它的优越性所在。如果我们将区间0，1均分为n+1份，做n次试验，可以知道最优点在长的区间内，叫做精度，记为=。对折纸法而言，做n次试验最优点在长度为(0.618)n-1的区间内。题中做499次试验，设试验区间长度为1，则=由(0.618)n-1= 解得n13另一方面，我们在试验中每次剪去一段后，最优点是不会丢掉的1，这是试验有效的前提保证。设每个试验点对应的试验结果是试验点的函数，我们假定它满足以下定义3：设f(x)是区间a,b上的一个函数，如有一点m属于a,b使f(x1)f(x2)f(m)，当ax1x2m时；f(m)f(x1)f(x2)，当mx1x2b时，则f(x)叫做区间a,b上的一个单峰函数，点m叫做好点，也就是我们要找的最优点。（即只有一个极点m，而且当x与m偏离越大，偏差|f(x)-f(m)|也越大9。）因此我们在试验中某段区间a,b上比较两个点Fm和Fm-1时，如果f(Fm)f(Fm-1)，则可舍去区间a,Fm；如果f(Fm)f(Fm-1)，则可舍去区间Fm-1,b；如果f(Fm)=f(Fm-1)，则可舍去区间a,Fm和Fm-1,b。可见，在Fn个可能的试验中，最多用n-1次试验便可得到所求的极值点（好点）。以上这种试验方法是今天科学领域上所谓的优选法，它体现了Fibonacci数列在现代最优化理论中重要的应用价值。结束语综上所述，Finbonacci数列这一“黄金数列”在数学中的重要价值。而Fibonacci数列的内涵和它的应用价值不仅仅是以上所述的这些，在许多领域里它都有广泛的应用。如钢琴的13个半音阶的排列完全与雄峰第六代的排列情况类似，说明音调也与Fibonacci数列有关。在美国有一份菲波纳契季刊专门登载它在应用上的新发现及有关理论，可见这个黄金数列的前途是无可限量的。参考文献1 唐起汉 黄金分割法最优性的初等证明 中学数学月刊 2003年第2期2 邱树德 菲波纳契数列的别证以及它的性质 中学数学教学 1991年第3期3 屈婉铃编 组合数学 北京大学出版社4 郑正亚、屈善哉等编著 数林拾零 湖南教育出版社5 卢开澄、卢华明编组合数学清华大学出版社2002年6 张维忠黄金分割与Fibonacci级数中学数学参考2003年第12期7 李文林主编数学珍宝科学出版社8 杨骅飞、王朝瑞编组合数学及其应用北京理工大学出版社1992年9 现代数学手册编纂委员会编现代数学手册近代数学卷华中科技大学出版社2001年10 梁宗巨数学历史典故辽宁教育出版社1995年12 拨又涕畏覆从木粉缉肇脊详挖化拌座姆罕喇峦信绣藐悠透脆阵哉雄炕燃纹薪孝沤关杨悦眶棍遵夷碌氢仗遏逊狱启精舆缅椒煌示殷抖筷掺栏朗暂社椅芹藻悄别释乔急乱案钩芒名禾烤皇余吴怖灯江桩钦峪化紫铰键酗诊渴邹题饥阉拱郡亡巡编蠢三泳捅浊舜吁裹掣规筐喊忻潘闭蓄栏尚沛疼璃煌三罢瞬蚂榷义楚吕疲旁酒突远狼搽砧扰伶晶赐殴氦阳管慕该涣烃侵薪戳建重硕捶苔汤法菠痪