2019届高考数学二轮复习专题七1第1讲坐标系与参数方程学案.docx

第1讲坐标系与参数方程年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷极坐标及其应用T221.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.卷参数方程及其应用T22卷参数方程及其应用T222017卷参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离T22卷直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题T22卷直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法T222016卷参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用T23卷极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系T23卷参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值T23极坐标方程及其应用(综合型) 圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r，则圆的方程为：220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(a，0)，半径为a：2acos ；(3)当圆心位于M，半径为a：2asin . 直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴与此直线所成的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点M(a，0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过点M且平行于极轴：sin b. 典型例题 (2018南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系(1)求C的极坐标方程；(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为(R)，(R)，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求OMN的面积【解】(1)由参数方程(为参数)，得普通方程为x2(y2)24，所以C的极坐标方程为2cos22sin24sin 0，即4sin .(2)不妨设直线l1：(R)与曲线C的交点为O，M，则M|OM|4sin2.又直线l2：(R)与曲线C的交点为O，N，则N|ON|4sin2.又MON，所以SOMN|OM|ON|222.(1)极坐标方程与普通方程互化的技巧巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ，sin ，2的形成，然后利用公式代入化简得到普通方程巧借两角和差公式，转化sin()或cos()的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程将直角坐标方程中的x换成cos ，将y换成sin ，即可得到其极坐标方程(2)求解与极坐标有关问题的主要方法直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标对点训练1在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐极；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程解：(1)因为cos1，所以cos cossin sin1.又所以xy1，即曲线C的直角坐标方程为xy20，令y0，则x2；令x0，则y.所以M(2，0)，N.所以M的极坐标为(2，0)，N的极坐标为.(2)因为M，N连线的中点P的直角坐标为，所以P的极角为，所以直线OP的极坐标方程为(R)2(2018高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1，0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与 C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.参数方程及其应用(综合型)直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)(t为参数)圆(xx0)2(yy0)2r2(为参数)椭圆1(ab0)(为参数)双曲线1(a0，b0)(为参数)抛物线y22px(t为参数)典型例题 (2018武汉调研)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于A，B两点(1)求|AB|的值；(2)若F为曲线C的左焦点，求的值【解】(1)由(为参数)，消去参数得1.由消去参数t得y2x4.将y2x4代入x24y216中，得17x264x1760.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以|AB|x1x2|，所以|AB|的值为.(2)由(1)得，F(2，0)，则(x12，y1)(x22，y2)(x12)(x22)(2x14)(2x24)x1x22(x1x2)124x1x22(x1x2)125x1x26(x1x2)60566044，所以的值为44.(1)有关参数方程问题的2个关键点参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义(2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：t0.|PM|t0|.|AB|t2t1|.|PA|PB|t1t2|. 对点训练1(2018高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率解：(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.2已知曲线C：1，直线l：(t为参数)(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值解：(1)曲线C的参数方程为(为参数)直线l的普通方程为2xy60.(2)曲线C上任意一点P(2cos ，3sin )到l的距离为d|4cos 3sin 6|.则|PA|5sin()6|，其中为锐角，且tan .当sin()1时，|PA|取得最大值，最大值为.当sin()1时，|PA|取得最小值，最小值为.极坐标方程与参数方程的综合问题(综合型)典型例题 (2018郑州第二次质量检测)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为cosa，且l过点A，曲线C1的参数方程为(为参数)(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；(2)过点B(1，1)且与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|BN|的值【解】(1)由直线l过点A可得cosa，故a，则易得直线l的直角坐标方程为xy20.根据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点到直线l的距离d，其中sin ，cos ，所以dmax.即曲线C1上的点到直线l的距离的最大值为.(2)由(1)知直线l的倾斜角为，则直线l1的参数方程为(t为参数)易知曲线C1的普通方程为1.把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得t27t50，设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，所以t1t2，根据参数t的几何意义可知|BM|BN|t1t2|.解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件 对点训练(2018贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C：(为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos1.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)过点M(1，0)且与直线l平行的直线l1交曲线C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之和解：(1)曲线C的普通方程为y21，由cos1，得cos sin 2，所以直线l的直角坐标方程为xy20.(2)直线l1的参数方程为(t为参数)，将其代入y21中，化简得：2t2t20，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2，t1t21，所以|MA|MB|t1|t2|t1t2|.1(2018益阳、湘潭调研)在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为(为参数)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos.直线l与曲线C交于A，B两点(1)求直线l的直角坐标方程；(2)设点P(1，0)，求|PA|PB|的值解：(1)由cos得cos cos sin sin ，又cos x，sin y，所以直线l的直角坐标方程为xy10.(2)由(为参数)得曲线C的普通方程为x24y24，因为P(1，0)在直线l上，故可设直线l的参数方程为(t为参数)，将其代入x24y24得7t24t120，所以t1t2，故|PA|PB|t1|t2|t1t2|.2(2018合肥第一次质量检测)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：2cos 0.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN|的最小值解：(1)由2cos 0得22cos 0.因为2x2y2，cos x，所以x2y22x0，即曲线C2的直角坐标方程为(x1)2y21.(2)由(1)可知，圆C2的圆心为C2(1，0)，半径为1.设曲线C1的动点M(3cos ，2sin )，由动点N在圆C2上可得|MN|min|MC2|min1.因为|MC2|，所以当cos 时，|MC2|min，所以|MN|min|MC2|min11.3(2018高考全国卷)在平面直角坐标系xOy中，O的参数方程为(为参数)，过点(0，)且倾斜角为的直线l与O交于A，B两点(1)求的取值范围；(2)求AB中点P的轨迹的参数方程解：(1)O的直角坐标方程为x2y21.当时，l与O交于两点当时，记tan k，则l的方程为ykx.l与O交于两点当且仅当1，解得k1或k1，即或.综上，的取值范围是.(2)l的参数方程为(t为参数，)设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP，且tA，tB满足t22tsin 10.于是tAtB2sin ，tPsin .又点P的坐标(x，y)满足所以点P的轨迹的参数方程是(为参数，)4(2018昆明调研)在直角坐标系xOy中，已知倾斜角为的直线l过点A(2，1)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为2sin ，直线l与曲线C分别交于P，Q两点(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若|PQ|2|AP|AQ|，求直线l的斜率k.解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)曲线C的直角坐标方程为x2y22y.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2(4cos )t30，由(4cos )2430，得cos2，由根与系数的关系，得t1t24cos ，t1t23，由参数的几何意义知，|AP|t1|，|AQ|t2|，|PQ|t1t2|，由题意知，(t1t2)2t1t2，则(t1t2)25t1t2，得(4cos )253，解得cos2，满足cos2，所以sin2，tan2，所以直线l的斜率ktan .5(一题多解)(2018郑州第一次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直线l过点(1，0)，倾斜角为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求AOB的面积解：(1)由题知直线l的参数方程为(t为参数)因为，所以sin28cos ，所以2sin28cos ，即y28x.(2)法一：当时，直线l的参数方程为(t为参数)，代入y28x可得t28t160，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t28，t1t216，所以|AB|t1t2|8.又点O到直线AB的距离d1sin ，所以SAOB|AB|d82.法二：当时，直线l的方程为yx1，设M(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y28(y1)，即y28y80，由根与系数的关系得SAOB|OM|y1y2|142.6(2018陕西教学质量检测(一)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为(t0，为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin3.(1)当t1时，求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；(2)若曲线C上的所有点都在直线l的下方，求实数t的取值范围解：(1)由sin3得sin cos 3，把xcos ，ysin 代入得直线l的直角坐标方程为xy30，当t1时，曲线C的参数方程为(为参数)，消去参数得曲线C的普通方程为x2y21，所以曲线C为圆，且圆心为O，则点O到直线l的距离d，所以曲线C上的点到直线l的距离的最大值为1.(2)因为曲线C上的所有点均在直线l