重庆大学计算流体力学总复习.doc

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计算流体力学课程复习提纲考试时间：6月7日下午2:30考试地点：8201绪 论计算流体力学是一门新兴学科、交叉学科。它是20世纪60年代伴随着计算机科学迅速崛起而形成的，是通过数值模拟和可视化处理，对流体流动和热传导等相关物理现象进行计算机数值分析和研究的一门力学分支学科。一般研究与解决流体动力学问题的方法有三种：一是进行实验测量研究，二是理论分析研究，三是数值模拟计算。实验研究是进行大量实验，并对所得数据进行分析，总结出流动的规律。理论研究是运用基本概念、定律和数学工具，把握问题的主要因素，忽略次要因素，选取某种抽象或建立简化模型，作定量分析，从而获得规律和结果，给出所研究问题的解析解或简化方程。（数学问题）数值模拟方法是在计算机应用基础上，采用各种离散化方法，建立数值模型，通过计算机进行数值计算和实验，得到在时间和空间上许多数据组成的集合体，最终获得描述流场的数值解。流体力学基本方程组连续介质假设：流体质点连续地充满所在的整个空间，他的宏观流动量应该满足一切宏观物理规律及性质。流场中的特征尺度比流体分子平均自由程大得多。牛顿流体与非牛顿流体在流体力学中描述流体运动的观点和方法主要有两种：即Lagrange方法和Euler方法。 Lagrange方法着眼于流体的质点，以质点的位移作为基本变量。主要研究流体质点流动量随时间的变化，分析任意时间立体质点的运动轨迹、速度、压力、密度等。Euler方法着眼于空间点，以空间点的速度作为基本变量。主要研究一个指定位置上流动量随时间的变化，分析流体流过指定位置时流体质点的瞬间速度、压力、密度。推导流体力学基本方程组的基本思路流体力学基本方程组微分形式的方程组（统一形式）积分形式的方程组偏微分方程的分类及数学性质在数学上偏微分方程一般划分为双曲型、抛物型和椭圆型三种类型。不同类型方程所描述的流动主要特征与物理背景都很不一样，他们的数学性质、定解条件提法和数值算法也大相径庭。如果有特征方程：当0时，方程为双曲型方程当=0时，方程为抛物型方程当0时，方程为椭圆型方程定解条件的提法在数值求解流动的基本方程组时必须给出合适的定解条件。定解条件分为初始条件和边界条件。初始条件由特定的流动问题本身来确定。一般说来，初始条件就是给出某一时刻计算区域内速度、压力和密度的分布。边界条件比较复杂。1）刚性壁面（固体壁面）条件对于无粘流动，壁面满足不可穿透条件对于粘性流动，在固壁面上满足无滑移条件2）自由面条件流体与大气之间的界面特别成为自由面。在自由面上流体随自由面运动。设自由面方程为有限差分法有限差分法的计算步骤1）求解区域划分为差分网格2）变量信息存储在网格节点上3）将偏微分方程的导数用差商代替4）带入偏微分方程的初始条件和边界条件5）推导出关于网格节点变量的代数方程组6）编写程序（如Fortran）求解代数方程组7）通过计算机获得偏微分方程的近似解有限差分网格一维情况二维情况推导过程：为微分项在节点处的值为微分项在节点处的有限差分形式后面称为截断误差同理可推导二阶导数（uxx）的中心差分差分方程偏微分方程一般含有多个导数项1）ut对时间的一阶导数项，称为非定常项（瞬态项、非恒定项）2）ux对空间的一阶导数项，称为对流项3）uxx对空间的二阶导数项，称为扩散项差分格式的构造一维非恒定热扩散方程，构造其差分格式的不同形式对流方程ut+aux=0（a是常数），构造其差分格式的不同形式 例对于一维非定常对流扩散方程（其中为常数），写出此模型方程时间为全隐格式，对流项为一阶迎风差分格式，具体写出空间项离散采用Taylor级数展开形式的过程。解：采用Taylor展开空间离散过程：可以得到：（向前差分）可以得到：（向后差分）1.当时，一阶迎风格式采用向后差分，则可以得到模型方程的离散格式：2.当时，一阶迎风格式采用向前差分，则可以得到模型方程的离散格式：差分方程有效性分析一个偏微分方程可以得到不同的差分方程。但不同的差分方程和原偏微分方程有完全不同的对应关系，它们有不同的数学性质，数值结果也不完全相同。因此，有些差分方程是有效和可靠的，有些则在一定条件下是有效和可靠的，有些则完全无效。相容性、收敛性和稳定性相容性是考虑差分方程与其微分方程的近似性。收敛性是考虑差分方程解与其微分方程解的近似性。稳定性是讨论数值解计算每一步产生的数值误差对后来步的计算的影响。差分方程相容性是讨论差分方程逼近于偏微分方程的程度差分格式的稳定性分析将微分方程的解展开为Fouier级数，即解由无穷多个单波叠加而成。例对流方程的FTBS、FTFS、FTCS、Lax-Friedrich、全隐格式、Leap-Frog scheme（蛙跳格式）等差分格式的稳定性分析 例题一维对流方程的Leap-Frog Scheme格式为：，写出此格式的放大因子和放大系数，并根据放大系数判断此格式的稳定条件。解：格式为：其中：采用Fourier展开表达：进一步可以得到：令：则可以得到：则放大因子为：进一步求出它的特征值：可以求出：则放大系数：，即为显然满足，但是必须还满足：即为：即为稳定性条件有限差分离散的数值效应数值效应：在数值求解微分方程问题时，以一个有限自由度的离散模型逐时间步地求解原来时空皆连续的系统，使原来系统的物理性质受到某些歪曲甚至破坏。数值耗散效应：由于截断误差存在偶阶导数项而引起解的振幅衰减现象。（非物理的耗散效应）流动本身所固有的耗散，例如N-S方程中粘性耗散项，称为物理耗散效应。数值色散效应：由于截断误差存在奇阶导数项，引起的相位变化。一般说来长波的色散效应小，短波的色散效应大。有限体积法有限体积法（Finite Volume Method，FVM）又称控制容积积分法。有限差分法是从流体力学基本方程组微分形式出发的。 有限体积法是从流动方程组积分形式出发的。 有限体积法是在有限差分法基础上，吸收了有限单位算法中一些思路和做法逐步发展起来的。它的网格划分方法和有限差分法类似，而它的控制体单元思想和局部近似离散做法，又和有限单元法的加权余量法十分相似。 有限体积法基本思路：把计算区域近似离散成有限个互不重叠的网格。围绕每个网格点取一系列互不重叠的控制体单元，在每个控制体单元中只包含一个节点。并把待求流动量设置在网格节点上，然后利用流动量守恒律对每个控制体单元进行积分，导出一组离散格式。对它进行求解，得到流动的数值解。控制体单元的构造方法 （1）单元中心型控制体单元（Cell-centered）：控制单元直接由网格单元来构成，网格单元的边就是控制体单元的边，计算节点放在控制体单元的中心，流动量放在控制体单元的中心。（2）节点中心型控制体单元（Node-centered）：首先定义节点位置，围绕它构造控制体单元。控制体单元可以直接由相邻网格单元形心来构造或形心与他们各边的中点依次连线来构造。流动量在节点上。计算网格设置 一维 二维（交错网格）面积分近似计算已知数值矢通量f在e表面的分布（1） 取平均值： 一阶精度（2）取两个角点 二级精度（3）取三个点 三阶精度状态变量分布的近似用有限体积法推导离散化方程时，必须确定物理量的局部分布，这是历史过程极为重要的一步，不仅关系到守恒性是否保持，而且关系到算法的精度。（1） 梯形分布。一阶格式（迎风）（2） 分段线性分布。二阶精度。 中心差分格式 （3） 抛物线分布。三阶精度 QUICK格式 一维定常对流扩散问题方程对方程在控制体上积分：由线性插值（中心差分法） 令，表示单元面上的对流质量通量 ，表示单元界面上的扩散传导率令，表示对流与扩散的程度比若对流项采用中心差分格式为：因为流动满足连续性条件，所以有在控制体上积分整理可得方程写成通式为：一维有源项的瞬态对流扩散问题方程：其中时间采用全隐格式，空间采用中心差分格式。对模型方程在控制体内进行积分：1.对瞬态项进行积分：2. 对对流项进行积分：采用中心差分：3.对扩散项进行积分：采用中心差分： 4.对源项进行积分：5.对于上述的时间积分，采用加权处理： (1)当时， 即为显式时间积分方案 (2)当时， 即为全隐式时间积分方案 (3)当时，即为Crank-Nicolson时间积分方案 (4)当时，即为隐式时间积分方案二维问题的离散压力-速度耦合问题的有限体积法 普通网格若遇压力场为棋盘式分布时，压力计算处处为0。事实不符。引用交错网格，会解决此类问题。求解二维压力-速度耦合问题的离散方程时，若采用分离式求解法，方程组中没有关于压力的独立控制方程。直接对方程组中各方程离散无法单独求解压力场。可通过由连续性方程推导出的压力修正方程循环迭代，基本算法成为SIMPLE算法。它的基本步骤如下：（1）假设一个压力分布P*。（2）求解动量方程组得到速度近似值u*和v*。（3）求解由连续性方程导出的压力修正方程，得到压力修正值P。（4）根据压力修正值计算压力、速度改进值，即（5）解其他场变量的离散输运方程。（6）重复2-5过程，直至收敛。例在图中所示的情形中，已知：，。又给定，。以上各量的单位都是协调的。试采用SIMPLE算法确定，和的值解：假设：则：由图示连续性方程为：按SIMPLE算法：由于已知，即将上述方程代入连续性方程可得到：由此得：则： 螁肆肁蒃薄羂膀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螇蚀膇蕿薀聿膆艿袆羅膆莁蚈袁膅蒄袄螇膄薆蚇肅芃芆蒀羁节莈蚅袇芁蒀蒈袃芀芀螃蝿芀莂薆肈艿蒄螂羄芈薇薄袀芇芆螀螆莆荿薃肅莅蒁螈羁莄薃薁羇莄莃袇袃羀蒅虿蝿罿薈袅肇羈芇蚈羃羇莀袃衿肇蒂蚆螅肆薄葿肄肅芄蚄肀肄蒆蒇羆肃薈螃袂肂芈薅螈肁莀螁肆肁蒃薄羂膀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螇蚀膇蕿薀聿膆艿袆羅膆莁蚈袁膅蒄袄螇膄薆蚇肅芃芆蒀羁节莈蚅袇芁蒀蒈袃芀芀螃蝿芀莂薆肈艿蒄螂羄芈薇薄袀芇芆螀螆莆荿薃肅莅蒁螈羁莄薃薁羇莄莃袇袃羀蒅虿蝿罿薈袅肇羈芇蚈羃羇莀袃衿肇蒂蚆螅肆薄葿肄肅芄蚄肀肄蒆蒇羆肃薈螃袂肂芈薅螈肁莀螁肆肁蒃薄羂膀薅蝿袈腿芅薂螄膈莇螇蚀膇蕿薀聿膆艿袆羅膆