《平面向量的应用》doc版.doc

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te|a e|a te|2|a e2 解法2：数形结合.点评：向量与不等式综合题一般可以用代数方法求解，若能联想到向量的几何意义，则可收到更好的解答效果.例5（2005年全国II卷）点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）设开始时点的坐标为（10，10），则秒后点的坐标为（）A（-2，4） B（-30，25）C（10，-5）D（5，-10）答案：点评：本题通过平面向量和物理中位移的综合主要考查点的平移及向量的概念，考查学生学科间知识的综合应用能力第二类以平面向量为载体的综合问题此类题主要考查学生转化化归的思想及综合应用知识的能力以平面向量为载体的解析几何问题例 （2005年全国I卷）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且与椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与a = (3，1)共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且R)，证明为定值.解：设椭圆方程为=1 (ab0, F (c, 0)，则直线AB的方程为y = x c，代入=1，化简得(a2 + b2)x2 2a2cx + a2c2 a2b2 = 0.令A (x1, y1)、B (x2, y2)，则x1 + x2 =，x1x2 =.则= (x1 + x2, y1 + y2)，a = (3, 1)，由+ 与a共线，得3 (y1 + y2) + (x1 + x2) = 0. 又y1 = x1 c，y2 = x2 c，3 (x1 + x2 2c) + (x1 + x2)=0，x1 + x2 =，即，a2 = 3b2. c =，故离心率e =.（2）证明：由（1）知a2 = 3b2，椭圆=1可化为x2 + 3y2 = 3b2.设= (x, y)，由已知得(x, y) =(x1, y1) +(x2, y2)，M (x, y)在椭圆上， =3b2.即+ 2= 3b2.由（1）知x1 + x2 =c，a2 =c2，b2 =c2.x1x2 + 3y1y2 = x1x2 + 3 (x1 c) (x2 c) = 4x1x2 3 (x1 + x2)c + 3c2 =c2 + 3c2 = 0.又，代入得.故为定值，定值为1.点评：此例充分说明以向量为载体的解析几何题往往融向量、解几、方程、不等式等知识于一体，解这类向量题的基本方法是：利用平面向量的坐标表示法，将问题中的向量关系转化为代数关系，或将向量关系转化为解析几何的某种关系，同时也可将解析几何的某种关系向量化，从而转化为代数关系式，再根据解析几何中基本知识与方法求解以平面向量为载体的三角问题平面向量与三角的综合是当今高考命题的另一个热点，它包括向量与三角函数化简、求值与证明，三角函数的图象与性质，解三角形等知识的综合.题型特征是由向量给出已知，利用向量基本运算转化为三角函数问题，然后由三角函数基本知识和方法求解 例 已知向量a = (sin2x, cos2x)，b = (sin2x , 1)，f (x) = 8 ab.（1）求f (x)的最小正周期、最大值和最小值；（2）函数y = f (x)的图象能否经过平移后，得到函数y = sin4x的图象，若能，求出平移向量m；若不能，则说明理由.解：（1）f (x) = 8 ab = 8(sin2x, cos2x)(sin2x, 1) = 8(sin4x + cos2x) = 2(1 cos2x)2 + 4 (1 + cos2x) = 2(1 2cos2x + cos22x) + 4 + 4cos2x = 6 + 2cos22x = 7 + cos4x.f (x)的最小正周期为，最大值为8，最小值为6.（2）f (x) = 7 + cos4x = sin.假设它的图象可以按向量m = (h, k)平移后得到y=sin4x的图象.由得，代入y = sin，得即故按向量m = 平移后便得到y = sin4x的图象.点评：本题以向量为载体，实为考查三角函数的恒等变换能力，考查三角公式的运用及三角函数的性质 ， 平移变换时一定要注意准确理解x，y，的含义及两种平移理念的整合以平面向量为载体的函数问题函数思想是高中数学的主线，函数知识贯穿于中学代数始终，它是高中数学最重要的内容之一平面向量与函数的综合已出现在2005年高考试题中，值得关注例（2005年湖北卷）已知向量a = (x2, x + 1)，b = (1 x, t). 若函数f (x) = ab在区间(1, 1)上是增函数，求t的取值范围.解：依定义f (x) = x2(1 x) + t (x + 1) = x3 + x2 + tx + t.= 3x2 + 2x + t.若f (x)在(1, 1)上是增函数，则在(1, 1)上可设0.的图象是开口向下的抛物线，当且仅当= t 10，且= t 50时，在(1, 1)上满足0，即f (x)在(1, 1)上是增函数.故t的取值范围是t5.评析：本小题通过向量的运算给出函数表达式，主要考查平面向量数量积的计算方法，利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力.例 已知向量a = (1, 1)，b = (1, 0)，c满足ac = 0且|a| = |c|，bc0.（1）求向量c；（2）若映射f：(x, y)(x, y) = xa + yc；求映射f下(1, 2)的原象；若将(x, y)看作点的坐标，问是否存在直线l使得直线上的任一点在映射f的作用下的点仍在该直线上，若存在，求出直线l的方程，否则说明理由.解析：（1）设c = (m, n)，由题意得解得c = (1, 1).（2）由题意x (1, 1) + y (1, 1) = (1, 2)得解得(1, 2)的原象是假设存在直线l适合题设，平行于坐标轴的直线显然不适合.设所求的直线方程为y = kx + b (k0).在该直线上任作一点P (x, y)，经过映射f的作用得到点Q：(x, y) = (x + y, x y)仍在该直线上，x y = k (x + y) + b，即(1 + k) y = (1 k)x b.当b0时，无解，故这样的直线不存在.当b = 0时，(1 + k) : 1 = (1 k) : k，即k2 + 2k 1 = 0，解得k = 1.故这样的直线l存在，其方程为y = (1 +)x或y =.评析：将平面向量、映射、直线的方程等知识点综合在一起，此题情境新颖，源于课本，高于课本，要求考生了解映射的有关概念，理解掌握平面向量数量积的意义，灵活地应用分类讨论的数学思想方法解题，要求学生具有一定的理解、判断、分析、转化能力，具有一定的应变、创新能力，而这些正是考试大纲中所强调的命题原则. 点评：向量与函数的综合题也是通过坐标来结合的，一般考查向量的基本运算和函数的单调性、值域，导数等知识我们可以把问题先通过向量的坐标运算转化为代数关系式，从而实现已知向未知的过度，进而运用相关知识来求解. 向量若与映射综合，注意映射概念的准确运用.4以平面向量为载体的数列问题.例12 设an为首项是10，公差是2的等差数列，bn为首项是，公差是的等差数列，O是原点，向量，点列Pn满足(nN*).（1）证明：P1，P2，Pn共线；（2）若点Pk(kN*)表示点列Pn中处于第一象限的点，求k的值.解：（1），所以，所以c，c = (3, 5)，故P1，P2，Pn共线.（2）因为在第一象限，所以，所以k = 6，7.点评：向量与数列综合要注意与纯数列问题的区别与联系，此类问题可转化为纯数列或纯向量问题讨论，而向量求和须应用向量的坐标运算转化为纵、横坐标构建的数列求和问题第三类以平面向量为研究工具的综合问题此类题主要考查学生应用意识,考查学生综合应用向量法解决问题的能力以平面向量为工具的解析几何问题例10（2005年江西卷理）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.点评：向量的坐标表示与平面解析几何有着本质的联系，特别是两向量的相等、垂直、平行的充要条件以及两向量的夹角等知识在解析几何中应用广泛.以解析几何为知识载体，以向量为工具，以考查圆锥曲线性质和向量有关公式，性质及应用为目标的平面向量与解析几何的综合题是近几年高考试题的“黄金搭档”.以平面向量为研究工具的三角问题例11 （2005年全国III卷）ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，且.（1）求cotA + cotC的值；（2）设，求a + c的值.解：（1）由得，由b2 = ac及正弦定理得sin2B = sinAsinC.于是=.（2）由，得cacosB =，由，可得ca = 2，即b2 = 2.由余弦定理b2 = a2 + c2 2accosB得:a2 + c2 = b2 + 2accosB = 5，(a + c)2 = a2 + c2 + 2ac = 5 + 4 = ，a + c = 3.点评：三角函数，三角形问题相结合也是一个很好的命题素材，主要考查向量的数量积、正弦定理、余弦定理与三角函数等基础知识在这种试题中一般考查学生的转化化归思想，要求学生利用三角形的几何特性，通过构造向量，将解三角形的问题转化化归为向量的基本关系和基本运算四、高考命题趋势及教学建议2005年全国各省市试卷平面向量试题基本上是一小一大，估计2006年高考试题中这一格局基本上会保持不变. 小题重点考查向量的运算及应用，特别是解决有关长度、夹角、垂直、平行、判断多边形的形状等；解答题平面向量与三角、解几、函数知识相结合出现的可能性大，面貌可能较新.复习建议：1本章考题大多数是课本的