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压轴大题高分练3.解析几何(C组)压轴大题集训练,练就慧眼和规范,筑牢高考高分根基!1.如图,抛物线M:过y=x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B,点C是抛物线M上异于点A的点,设G为ABC的重心(三条中线的交点),直线CG交y轴于点D.(1)设点A(x0,)(x00),求直线AB的方程.(2)求的值.【解析】(1)因为y=2x,所以直线AB的斜率k=y=2x0.所以直线AB的方程y-=2x0(x-x0),即y=2x0x-x02.(2)由题意得,点B的纵坐标yB=- x02,所以AB中点坐标为.设C(x1,y1),G(x2,y2),直线CG的方程为x=my+x0.由联立得m2y2+(mx0-1)y+ 14x02=0.因为G为ABC的重心,所以y1=3y2.由根与系数的关系,得y1+y2=4y2=,y1y2=3y22=.所以 =x0212m2,解得mx0= -32.所以点D的纵坐标yD= -x02m=x026卤43,故|OB|OD|=46.2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(c,0),点P为椭圆C上的动点,若|PF|的最大值和最小值分别为2+和2-3.(1)求椭圆C的方程.(2)设不过原点的直线l与椭圆C 交于P,Q两点,若直线OP,PQ,OQ的斜率依次成等比数列,求OPQ面积的最大值.【解析】(1)由已知得解得a=2,c=3,椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)设l:y=kx+b(易知l存在斜率,且b0),设P(x1,y1),Q(x2,y2)由条件知kOP kOQ=k2,即k2=y1y2x1x2=(kx1+b)(kx2+b)x1x2=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2x1x2=k2+.所以=0,所以x1+x2=-bk. (4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,因为=(8kb)2-4(4k2+1)(4b2-4)0,所以4k2+1-b20,所以x1+x2=-x1x2=4(b2-1)1+4k2联立得:-bk=-,所以4k2=1.|PQ|=1+14=10-5b2,点O到直线l的距离d=|b|1+k2=.SOPQ=12|PQ|d=1210-5b2|b|54=|b|=(2-b2)b2=,因为4k2=1且4k2+1
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