中学数学教育中数学美的特性.doc

中学数学教育中数学美的特性摘要：美学方法是数学思维方法中一类重要的方法。数学是科学的语言,自身蕴涵着特殊的美。数学无论在内容上或在结构上还是在方法上都具有特殊的美数学美。数学美是科学美的一种,它既具有美的共性,更具有独特的个性。其内涵和外延都是极其丰富的。本文阐述了数学美的基本内涵及主要特征：简洁性、对称性、统一性和奇异性。它们有机结合,组成数学美的整体,是数学发现和创造中的美学因素之一。关键词：数学美 美学教育 简洁 对称 奇异 统一数学的本质是美的。正如著名数学家庞加莱所说：数学中的美“那就是各个部分之间的和谐、对称、恰到好处的平衡，一句话，那就是秩序井然，统一协调，”。数学家徐利治认为：“数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性、结构系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性，典型性和普遍性，还有数学的奇异性。”1p36事实上，数学发明创造的实质有就是对这种数学内在美的深刻认识。中学数学是数学科学的基础知识，虽然不能完全反映数学本质的全部美，但对数学内在美的一些主要特征仍表现得相当充分。通过中学数学教学，充分揭示数学美，将是对中学生进行美育，从而陶冶情操、锻炼性格提高素质的重要手段。数学美的基本内涵及主要特征是简洁美、对称美、统一美、奇异美，它们的有机结合，组成数学美的整体，是数学发现和创造中的美学因数之一。（1）简洁美。简洁性是数学结构美的重要标志，是数学形态美的基本内容，是数学发现和创造中的美学因数之一。正如爱因斯坦所说：“美在本质上终究是简单化”。简单、清晰、明快、易懂会给人以美感。数学以高度抽象、极其简洁的形式和思想反映了客观世界，在杂乱无章的客观现象中，抽象出来的数学理论，用简单、清晰的数学形式来表达，反过来再去解释、处理更多的客观事物和现象，这就是数学的简单美。欧拉给出的公式：V-E+F=22p73，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少没有人能说清楚，但它的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式。一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，令人惊叹不已。由它还可派生出许多同样美妙的东西，如：平面图的点数V、边数E、区域数F满足V-E+F=2，这个公式成了近代数学的两个重要分支拓扑学与图论的基本公式。(2)对称美。对称的图形具有无可争辩的美感。毕达哥拉斯认为：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形。”3p32因为这两种图形在各个方向上都是对称的。笛卡尔创建的解析几何学可以说是美学思想在数学领域成功的运用。在这种坐标几何学中，代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达到完美的统一。在代数上形如1+2，12，1+2+3，2122+2223+2321等均称为对称多项式，对称多项式有许多有趣的性质，常常可利用这一点巧妙地解答某些数学问题。对称性不仅是指几何图形的对称，也包括各种数学概念和理论之间的对称。数学中的对称美是数学对自然本质的一种反映。（3）统一美。统一性是部分与部分、部分与整体之间的协调一致，数学的统一美是客观世界统一性的结晶。圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线本是互不相同的曲线（例如椭圆与抛物线无渐进线，椭圆与双曲线是有心曲线，抛物线是无心曲线等等），但可以用统一的定义将它们表示出来：平面内到一个顶点与一条定直线的距离之比等于常数e的点的轨迹。当0e1，e1，e=1时分别表示椭圆、双曲线、抛物线，而且在极坐标系中它们有统一的形式：ep/(1-ecos)。人们为了寻求统一，对某些概念定理加以拓广，从而使知识体系达到完美和谐的统一。如“勾股定理”的各种拓广形式，见下表格。（4）奇异美。奇异性是指研究对象的不能用任何现成的理论解释的特殊性质。在某种意义上说，数学中的和谐性与奇异性是世界的统一性和多样性在数学中的反映。客观世界表现为统一性与多样性的统一，而数学则是和谐性与奇异性的统一。培根曾指出：“没有一样极美的东西不是在调和中存在着某种奇异。”4p61事物的奇异美往往能给人以一种奇特而新颖的感觉。就数学中的奇异美而言，有许多习惯思维无法接受的概念的提出，都显示了数学的奇异美，经过实践和漫长的历史的考验，许多奇异变成了数学科学里的新天地，例如，虚数的提出，非欧几何的出现都是极好的例证，还有神奇的科赫曲线。（如下图）又如神奇的科赫雪花图案，循环“加密”下去，发现它面积有限而周长无限，见下图。以上两组图形是属于分形几何，分形几何的兴起，正在成为一种新的审美理念和审美情趣。分形的奇异之美还应用在时装设计、贺卡、仿伪标志，房间装饰等广泛的领域，有人还根据分形几何的自相似原理创作分形音乐呢。往往一个数学题目中都包含了多个数学美的特征在内例1 在数学学习中，联系数学美的特征，我们能看到图形的结构美，体会解题的方法美，领略类比、联想和想象的思维之美。例如同角三角函数有3种基本关系:倒数关系，平方关系，商数关系，它们既相互独立又相互统一。如图，6种三角函数各在六边形的6个角上，1位于中心，阴影三角形顶点3个量都是平方关系;每条对角线上的3个量是倒数关系;任意3个相邻的三角函数都有商数关系，它们是这样和谐统一在这个六边形图示中。运用这个图示学生可以清晰地把握这部分知识内容。例2 设+=0，xyz0，求：(1/+1/)+(1/+1/)+(1/+1/)的值。分析：为追求式中三项与已知三项的统一，在每个括号里各加一项，美化成1/+1/+1/的统一形式。解：原式=(1/+1/+1/)+(1/+1/+1/)+(1/+1/+1/) -1/-1/ -1/=(+)(1/+1/+1/) -3=-3中学数学教学并不满足于数字美的论述，更重要的是如何在数学教学过程中展现数学美，使学生能够感受和欣赏数学美，把数学的美育功能真正落实在中小学的教学课堂上。我们认为，数学教学中的美学教育有以下4个层次：美观、美好、美妙、完美。第1个层次：美观。这主要是教学对象以形式上的对称、和谐、简洁、给人的感官带来美丽、漂亮的感受。从某种意义上是从美学观点出发的一种本性的体现。“爱美之心，人皆有之”，我们实在不应该太多的责备这样的学生。相反，我们应珍惜这种审美意向，并鼓励他们在学习数学时充分运用这种审美创造性去认识和理解数学。当然，我们也应该告诉他们，美观的东西不一定都是好东西。罂粟花虽然美丽但是有毒、金玉其外可能败絮其中，光靠美观，不足以学好数学。第2个层次：美好。数学上的许多东西，只有认识到它的正确性，才能感受其“美好”。事实上数学结果在外观上有的美观，有的不美观。不美观的数学也有其美，正如巴黎圣母院中的卡西摩多，外表丑陋而内心美好。所以这就全靠数学教师的努力了。现在的情况是，外形美观的有时还会说一说，指一指。对于外形不美，实际上非常美好的东西，则避而不谈。这样做，对于数学的美学价值似乎理解得太肤浅了。第3个层次：美妙。美妙的感觉需要培养，教师在课堂上应该多给学生一些创新、探究，以至发现的机会，体验发现真理的快乐。学生自己发现一个数学真理该会是何等的惊喜，也许只有用一个“妙”字加以概括了，这种美妙的意境，会使人感到天地造化数学之巧妙，学生才真正感受到数学美的真谛，被学生所吸引、喜欢数学、热爱数学。 第4个层次：完美。数学总是尽力做到至善至美、完美无缺。这也许是数学的最高“品质”和最高的精神“境界”。数学家通过300余年的努力来证明费马定理，陈景润对歌德巴赫猜想的苦苦追求，都是追求数学美“完美”的典型事例。在课堂教学中，需要有目的地展现和欣赏数学美，数学的美学风格和艺术风格是一脉相承的，徐利治先生早就把数学概念和诗的意境相结合（如借“孤帆远影碧空尽”5p1来描述极限）， 更是一种高品位的美学欣赏。参考文献：1徐利治,漫谈数学的学习与研究方法M,大连:大连理工大学出版社，1989：362陆桂菊,赏析数学美J，大连:教育探索,20