一道2003高考题的课本不同探源与探索.doc

蝿螇肂蕿蕿羂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃薇袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁芁螀肇艿芀葿袀芅芀蚂肅膁艿螄羈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈莅螁羅肄莄蒀螇羀莄薃羃莈莃螅螆芄莂袇肁膀莁薇袄肆莀虿肀羂荿螁袂芁葿蒁肈膇蒈薃袁肃蒇蚆肆罿蒆袈衿莈蒅薈螂芄蒄蚀羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇肂蕿蕿羂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃薇袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁芁螀肇艿芀葿袀芅芀蚂肅膁艿螄羈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈莅螁羅肄莄蒀螇羀莄薃羃莈莃螅螆芄莂袇肁膀莁薇袄肆莀虿肀羂荿螁袂芁葿蒁肈膇蒈薃袁肃蒇蚆肆罿蒆袈衿莈蒅薈螂芄蒄蚀羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇肂蕿蕿羂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃薇袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁芁螀肇艿芀葿袀芅芀蚂肅膁艿螄羈肇芈袆螁莆芇薆羆节芆蚈蝿膈莅螁羅肄莄蒀螇羀莄薃羃莈莃螅螆芄莂袇肁膀莁薇袄肆莀虿肀羂荿螁袂芁葿蒁肈膇蒈薃袁肃蒇蚆肆罿蒆袈衿莈蒅薈螂芄蒄蚀羇膀蒃螂螀肆蒃蒂羆羂薂薄螈芀薁蚇羄膆薀蝿螇肂蕿蕿羂肈薈蚁袅莇薇螃肀芃薇袅袃腿薆薅聿肅膂蚇袁羁芁螀肇艿芀葿袀芅 一道2003高考题的课本不同探源与探索江苏省如皋市丁堰中学 潘建国 （226521）材是高考命题的参照物，学生通过对教材的学习形成技能，发展能力,以便实现高考时能力的再显。但不少考生高考时，面对新背景、新问题时却一脸茫然。其实，高考题或多或少总能在课本上找到影子或模型，只不过有些比较直观如2001年全国高考试题（19）则是高二上册P123第6题的简单变形；有些“只缘身在此山中”，却“不识庐山真面目”。本文试图从两个方向探源今年高考（江苏卷）20题，并对高考题做些探索，其中一个方向是不断地探索与发展一组课本习题。一、 探源 方向-：我们不妨先看新教材高二上册有这样两道习题：题目1：一条线段AB（|AB|=2a）的两个端点A和B分别在X轴、Y轴上滑动。求线段AB的中点M的轨迹方程。（P88复习参考题七A组20）题目2：如图，线段AB的两个端点A、B分别在X轴、Y轴上滑动，|AB|=5。点M是AB上一点，且|AM|=2，点M随线段AB的运动而变化，求点M的轨迹方程。（P97习题8.1第7题）(一)探索组合题1、纵向探索探索1、两题中均是定长线段在坐标轴上滑动；求定长线段上特殊比例点的轨迹方程，只不过线段长度不等与比值不同。因而考虑其一般情形。于是发展为问题1。（以下省去“发展”两字） 问题1：线段AB的长度为定值记2a（a0）,两个端点A、B分别在X轴、Y轴上滑动,点M内分有向线段AB所成的比为（0），求点M的轨迹方程并说明轨迹。（解法可归结为命题2解法，故略）探索2、若将命题1中的内分点改为一般情形如何？便得问题2。问题2 ：线段AB的长度为定值记2a（a0）,两个端点A、B分别在X轴、Y轴上滑动,点M分有向线段AB所成的比为，求点M的轨迹方程并说明轨迹。为考虑一般性设 解析：设M（x,y）A（x1,0）,B(0,y1)，则由点M分有向线段AB所成的比为得x= ，y=，故x1= x（1+）、y1=。由|AB|=2a得x2(1+)2+y2=4a2即。当2=1即=1时，方程为2+2=a2, 点M的轨迹是以（0，0）为圆心，a为半径的圆；当21即1或-1时，方程表示的M点的轨迹是以（0，0）为中心，焦点在y轴上的椭圆； 当21即-11且时，方程表示的M点的轨迹是以（0，0）为中心，焦点在x轴上的椭圆；探索3、原题线段AB的长度为定值，能否改为不定，如果可以，如何改？问题3：已知常数a0，经过定点A（0，a）斜率为k=-2a的直线交x轴于点B，点P分有向线段AB的比为22，求点P的轨迹方程并说明轨迹。解析：设P（x，y）. 经过定点A（0，a）斜率为k=-2a的直线为y-a=-2ax,令y=0得x=即B（，0）；又点P分有向线段AB的比为22则x=,y=.消去并化简得关于x、y的方程为。当a=时，方程是圆；当0a时，方程是椭圆；当a时方程是椭圆。探索4、点P的给出能否隐晦些？（此处直线的斜率之积为定值）问题4：已知常数a0，经过定点A（0，a）,斜率为k1=-2a的直线与经过原点的斜率为k2=动直线交于P，求点P的轨迹方程并说明轨迹。解析：由题意得两直线方程分别为y=-2ax+a,y=x,联立方程组可解得P点的坐标，然后再消去，归结为问题3的做法。探索5、能否在直线斜率的给出形式上变化些？我们联想到倾斜角或相关量。于是便有课本P133页类似习题称为问题5：问题5、两定点的坐标分别为A（-1，0），B（2，0），动点M满足条件MBA=2MAB，求动点M的轨迹方程。探索6、能否在直线斜率的给出上隐晦些？我们联想到直线的方向向量。问题6：已知常数a0，向量c(0,a),i=(1，0)。经过原点0以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i-2c为方向向量的直线相交于点P，其中R，求点P的轨迹方程并说明轨迹。解析. 由向量c(0,a),i=(1，0)得c+i=（，a），i-2c=（1，-）。直线OP和AP的方程分别为y=ax和y-a= -x，消去参数，得点P（x,y）的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x2,整理得。余下归结为问题3的做法。 探索7、从以上解题过程可以看出当a取不同的值时轨迹有所区别，其中有圆与椭圆，能否再将命题5的所求做些改进？特别是在椭圆的表达方式.问题7：已知常数a0，向量c=(0，a)，i=(1，0)。经过原点0以c+i为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i-2c为方向向量的直线相交于点P，其中R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。至此2003年高考试题江苏卷的第20题便呈现在我们眼前。分析：如此一改，此题以成为一道典型的结论探索性习题。不管这样的点是否存在，先要将满足条件的点P的轨迹方程求出。解析:在问题6的解法基础上加当a=时，方程是圆；当0a时，方程是椭圆；焦点E（）和F（-）为符合题意的两个定点；当a时，方程是椭圆，焦点E（0，）和F（0，）为符合题意的两个定点。2、横向探索以上是对课本一组习题的纵向探索，当然我们还可以适当改变背景和条件对它做一些特殊的横向探索。（限于篇幅以下解题过程略）问题8：（定长线段在圆上运动）已知线段|AB|=2a(a0)的两个端点在圆（ar）运动。点M在线段AB上且|AM|=（），求动点M的轨迹方程。问题9：（动线段在双曲线上运动）已知双曲线的右支上一动点P1与右焦点的连线与右支相交于P2求P1P2的中点M的轨迹方程。问题10：（动线段在椭圆上运动）已知的一动点P1与左焦点的连线与椭圆相交于P2求P1P2的中点M的轨迹方程。问题11：（定长线段在抛物线上运动）定长为3的线段AB的两个端点在上移动，AB的中点为M，求动点M的轨迹方程并求当点M到y轴的最短距离时M的坐标。方向二：考虑到高考题中经过点O与A的两条动直线的斜率之积为定值-2a2,我们联想到新教材高二上册P96页练习4：ABC的两个顶点A、B的坐标分别是（-6，0）、（6，0），边AC、BC所在直线的斜率之积等于-，求顶点C的轨迹方程。（解略）我们可以将课本习题中的两个关于原点对称的点改为y轴上的两个点，把-改为-2a2，再在直线斜率的给出方式上引进方向向量即可。应该说高考题是课本习题的一般情形，且高于课本。限于篇幅，不再赘述。二、对高考题的一点探索1、只改点A的位置为坐标轴上除原点外任意一点，其余条件不变。为了便于计算不妨设OA=a (a)，情形如何？问题12：已知常数a(a)，向量c(0,a),i=(1，0)。经过原点0以c+i为方向向量的直线与经过坐标轴上的定点A(OA=a）以i-2c为方向向量的直线相交于点P，其中R，求点P的轨迹方程并说明轨迹。解：由向量c(0,a),i=(1，0)得c+i=（，a）， i-2c=（1，-）。因为坐标轴上的定点A（OA=a）有两种坐标表达形式分别为（a,0）;(0,a)。A（0,a）时，直线OP和AP的方程分别为y=ax和y-a=-x.得点P（x,y）的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x2,整理得 当a=时，方程是圆；当a且a0时，方程是椭圆。 A（a，0）时，直线OP和AP的方程分别为y=ax和y-a=-(x-a)消去参数。得点P（x,y）的坐标满足方程y2=-2a2x(x-a),整理得 当a=时方程是圆；当a且a0时，方程是椭圆。结论：不论点A在坐标轴的位置（除原点）如何，点M 的轨迹基本相同。2、不改变点A的位置，只改变其中一条直线的方向向量，不妨把经过定点A的直线以i-2c为方向向量改为i+2c，情形如何？问题13：已知常数(a0)，向量c(0,a),i=(1，0)。经过原点0以c+i为方向向量的直线与经过定点A以i+2c为方向向量的直线相交于点P，其中R，求点P的轨迹方程并说明轨迹。解：由向量c(0,a),i=(1，0)得c+i=（，a），i+2c=（1，）。因此，直线OP和AP的方程分别为y=ax和y-a=x,消去参数并化简得，方程表示双曲线。3、上述条件的适当改变可以看出i+2c或 i-2c影响着点M的轨迹，因而我们再次引进参变常数k,构造其中一直线的方向向量i+2kc,其余条件不变。问题14：已知常数(a0)，向量c(0,a),i=(1，0)。经过原点0以c+i为方向向量的直线与经过定点A(0,a),以i+2kc（k）为方向向量的直线相交于点P，其中R，求点P的轨迹方程并说明轨迹。略解：由向量c(0,a),i=(1，0)得c+i=（，a），i+2kc=（1，）。因此，直线OP和AP的方程分别为y=ax和y-a=x,消去参数并化简得 ,以下讨论略。 三、一点思考1、 评析2003年高考江苏卷（20）。这是一道以向量为载体的交点轨迹问题且设问方式为探索口气，是一道典型的结论探索性试题。主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。此题求直线方程较易，判定曲线与方程的关系较难，因而它是一道背景新、立意明、综合性强，上手易、出手却不易的好题。2、对课本例习题处理的一点思考。美藉匈牙利数学家G波利亚对解题过程有着精辟的论述：不断地变换你的问题；我们必须一再地变化它，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止。笔者以为它对如何探索发展习题同样极具指导意义。一般而言，课本例习题一般用来巩固相应章节的内容，通常的处理方式是在相应章节后配套练习，讲评之后鲜有问津。其实，不少例习题之间内在联系密切，若能在教学时有意将它们进行组合，进行横向探索反映问题的外延；纵向探索揭示问题的内涵。这样既有效地巩固了基础知识，又提高了思维能力和创新能力，同时还扩大习题容量，提高课堂教学效率，甚至可以收到“以不变应万变”，以少胜多，事半功倍的良好效果.近几年的高考试题中，不乏源于课本，高于课本的。因而，加强对课本例习题的有效处理，不仅可以突出教材的基础作用、教师的主导地位、学生的主体地位，而且可以引导学生以本为本地进行自主性、研究性学习，避免题海战。本文发表于“数学教学研究”（甘肃） 2003，10 蒈袀莃荿蒇羂膆芅蒆肄罿薄蒅螄膄蒀薄袆羇莆薃罿膃节薂蚈羅芈薂袁芁薆薁羃肄蒂薀肅艿莈蕿螅肂芄薈袇芇膀蚇罿肀葿蚆虿芆莅蚆螁聿莁蚅羄莄芇蚄肆膇薆蚃螆羀蒂蚂袈膅莈蚁羀羈芄螀蚀膃膀螀螂羆蒈蝿羅膂蒄螈肇肅莀螇螇芀芆螆衿肃薅螅羁芈蒁螅肃肁莇袄螃芇芃蒀袅聿腿葿肈芅薇蒈螇膈蒃蒈袀莃荿蒇羂膆芅蒆肄罿薄蒅螄膄蒀薄袆羇莆薃罿膃节薂蚈羅芈薂袁芁薆薁羃肄蒂薀肅艿莈