2016届中考数学复习专题三新定义探究测试题.docx

专题三 新定义探究一、基本运算新定义1.（2013河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有ab=a（ab）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：25=2（25）+1=2（3）+1 =6+1 =5=-+（1）求（2）3的值；（2）若3x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来 解：（1）ab=a（ab）+1，（2）3=2（23）+1=10+1=11；（2）3x13，3（3x）+113，93x+113，3x3，x1在数轴上表示如下：2. （1）23(2+3)( 23)+23(2+3)1(5)+ 231 5+6 1（2）因为ab(a+b)(ab)+2b(a+b)=+2 ab+2= ；ba(b+a)(ba)+2a(b+a)= +2 ab+2= 所以abba 二、几何图形新定义1（2015台州）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，求BN的长；（2）如图2，在ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且ECDEBD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使点C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MNAMBN，AMC，MND和NBE均为等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究SAMF，SBEN和S四边形MNHG的数量关系，并说明理由 （1）解：当MN为最大线段时，点 M、N是线段AB的勾股分割点，BN=；当BN为最大线段时，点M、N是线段AB的勾股分割点，BN=，综上所述：BN=或；（2）证明：FG是ABC的中位线，FGBC，=1，点M、N分别是AD、AE的中点，BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，点D、E是线段BC的勾股分割点，且ECDEBD，EC2=BD2+DE2，（2NG）2=（2FM）2+（2MN）2，NG2=FM2+MN2，点M、N是线段FG的勾股分割点；（3）解：作法：在AB上截取CE=CA；作AE的垂直平分线，并截取CF=CA；连接BF，并作BF的垂直平分线，交AB于D；点D即为所求；如图所示：（4）解：S四边形MNHG=SAMF+SBEN，理由如下：设AM=a，BN=b，MN=c，H是DN的中点，DH=HN=c，MND、BNE均为等边三角形，D=DNE=60，在DGH和NEH中，DGHNEH（ASA），DG=EN=b，MG=cb，GMEN，AGMAEN，c2=2abac+bc，点 M、N是线段AB的勾股分割点，c2=a2+b2，（ab）2=（ba）c，又bac，a=b，在DGH和CAF中，DGHCAF（ASA），SDGH=SCAF，c2=a2+b2，c2=a2+b2，SDMN=SACM+SENB，SDMN=SDGH+S四边形MNHG，SACM=SCAF+SAMF，S四边形MNHG=SAMF+SBEN2（2015嘉兴）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件（2）问题探究：小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由如图2，小红画了一个RtABC，其中ABC=90，AB=2，BC=1，并将RtABC沿ABC的平分线BB方向平移得到ABC，连结AA，BC，小红要使平移后的四边形ABCA是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB的长）？（3）拓展应用：如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，BAD+BCD=90，AC，BD为对角线，AC=AB，试探究BC，CD，BD的数量关系解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；（2）正确，理由为：四边形的对角线互相平分，这个四边形是平行四边形，四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等，这个“等邻边四边形”是菱形；ABC=90，AB=2，BC=1，AC=，将RtABC平移得到ABC，BB=AA，ABAB，AB=AB=2，BC=BC=1，AC=AC=，（I）如图1，当AA=AB时，BB=AA=AB=2；（II）如图2，当AA=AC时，BB=AA=AC=；（III）当AC=BC=时，如图3，延长CB交AB于点D，则CBAB，BB平分ABC，ABB=ABC=45，BBD=ABB=45BD=B，设BD=BD=x，则CD=x+1，BB=x，在RtBCD中，BD2+（CD）2=（BC）2x2+（x+1）2=（）2，解得：x1=1，x2=2（不合题意，舍去），BB=x=（）当BC=AB=2时，如图4，与（）方法一同理可得：BD2+（CD）2=（BC）2，设BD=BD=x，则x2+（x+1）2=22，解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），BB=x=；（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，AB=AD，将ADC绕点A旋转到ABF，连接CF，ABFADC，ABF=ADC，BAF=DAC，AF=AC，FB=CD，BAD=CAF，=1，ACFABD，=，BD，BAD+ADC+BCD+ABC=360，ABC+ADC360（BAD+BCD）=36090=270，ABC+ABF=270，CBF=90，BC2+FB2=CF2=（BD）2=2BD2，BC2+CD2=2BD23（2015杭州）如图1，O的半径为r（r0），若点P在射线OP上，满足OPOP=r2，则称点P是点P关于O的“反演点” 如图2，O的半径为4，点B在O上，BOA=60，OA=8，若点A，B分别是点A，B关于O的反演点，求AB的长 解：设OA交O于C，连结BC，如图2，OAOA=42，而r=4，OA=8，OA=2，OBOB=42，OB=4，即点B和B重合，BOA=60，OB=OC，OBC为等边三角形，而点A为OC的中点，BAOC，在RtOAB中，sinAOB=，AB=4sin60=2三、函数新定义1（2015扬州）平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为P，即P=|x|+|y|（其中的“+”是四则运算中的加法）（1）求点A（1，3），B（+2，2）的勾股值A、B；（2）点M在反比例函数y=的图象上，且M=4，求点M的坐标；（3）求满足条件N=3的所有点N围成的图形的面积解：（1）A（1，3），B（+2，2），A=|1|+|3|=4，B=|+2|+|2|=+2+2=4；（2）设：点M的坐标为（m，n），由题意得解得：，M（1，3），（1，3），（3，1），（3，1）（3）设N点的坐标为（x，y），N=3，|x|+|y|=3，x+y=3，xy=3，xy=3，x+y=3，y=x+3，y=x3，y=x3，y=x+3，如图：所有点N围成的图形的面积=3=182（2015河南）如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PFBC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD、PE、DE（1）请直接写出抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置发现：当P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（3）小明进一步探究得出结论：若将“使PDE的面积为整数”的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使PDE的周长最小的点P也是一个“好点”请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE周长最小时“好点”的坐标解：（1）边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，C（0，8），A（8，0），设抛物线解析式为：y=ax2+c，则，解得：故抛物线的解析式为：y=x2+8；（2）正确，理由：设P（a，a2+8），则F（a，8），D（0，6），PD=a2+2，PF=8（a2+8）=a2，PDPF=2；（3）在点P运动时，DE大小不变，则PE与PD的和最小时，PDE的周长最小，PDPF=2，PD=PF+2，PE+PD=PE+PF+2，当P、E、F三点共线时，PE+PF最小，此时点P，E的横坐标都为4，将x=4代入y=x2+8，得y=6，P（4，6），此时PDE的周长最小，且PDE的面积为12，点P恰为“好点，PDE的周长最小时”好点“的坐标为：（4，6），由（2）得：P（a，a2+8），点D、E的坐标分别为（0，6），（4，0），当4a0时，SPDE=；4SPDE12，当a=0时，SPDE=4，8a4时，SPDE=（a2+8+6）（a）46（a4）（a2+8）=a23a+4，4SPDE13，当a=8时，SPDE=12，PDE的面积可以等于4到13所有整数，在面积为12时，a的值有两个，所以面积为整数时好点有11个，经过验证周长最小的好点包含这11个之内，所以好点共11个，11个好点，P（4，6）3、（2011河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t秒（t0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为 A （1，0），B （1，5），D （4，0） （1）求c，b （用含t的代数式表示）：（2）当4t5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N在点P的运动过程中，你认为AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出AMP的值；求MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，；（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为“好点”若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接