2019届高考数学专题7解析几何考题预测精准猜押2.7.4与椭圆抛物线相关的定值定点及存在性问题.docx

2.7.4 与椭圆、抛物线相关的定值、定点及存在性问题考题预测精准猜押一、选择题1.在直线y=-2上任取一点Q,过Q作抛物线x2=4y的切线,切点分别为A,B,则直线AB恒过的点的坐标为()A.(0,1)B.(0,2)C.(2,0)D.(1,0)【解析】选B.设Q(t,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),抛物线方程变为y=x2,则y=12x,则在点A处的切线方程为y-y1=12x1(x-x1),化简得y=12x1x-y1,同理,在点B处的切线方程为y=12x2x-y2,又点Q(t,-2)的坐标适合这两个方程,代入得-2=12x1t-y1,-2=12x2t-y2,这说明A(x1,y1),B(x2,y2)都满足方程-2=12xt-y,则直线AB的方程为y-2=12tx,直线AB恒过点(0,2).2.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则AFK的面积为()A.4B.8C.16D.32【解析】选B.因为抛物线C:y2=8x的焦点为F(2,0),准线为x=-2,所以K(-2,0),设A(x0,y0),过点A向准线作垂线AB,垂足为B,则B(-2,y0),因为|AK|=|AF|,又|AF|=|AB|=x0-(-2)=x0+2,所以由|BK|2=|AK|2-|AB|2,则y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得A(2,4),所以AFK的面积为12|KF|y0=1244=8.3.已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,若双曲线C右支上一点P满足|PF1|=3|PF2|且=a2,则双曲线C的离心率为()A.3B.C.2D.【解析】选D.设|PF2|=t,则|PF1|=3t,所以3t-t=2a,所以t=a,由余弦定理可得cosF1PF2=5a2-2c23a2,因为=a2,所以3aa5a2-2c23a2=a2,所以c=a,所以e=.4.直线l:x-y+m=0与椭圆x2+y22=1交于A,B两点,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则m为()A.3B.-3C.3D.不存在【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x0,y0),联立直线y=x+m与椭圆的方程得,3x2+2mx+m2-2=0,=(2m)2-43(m2-2)0,即m23,x1+x2=-,所以x0=x1+x22=-,y0=x0+m=,即M.又因为M点在圆x2+y2=5上,可得+2m32=5,解得m=3与m20且k2+(2k-4)+10,即k1,且k-3,且k1,所以k1,且k-3,即直线l斜率的取值范围是(-,-3)(-3,1).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线PA方程为y-2=y1-2x1-1(x-1),令x=0得y=-y1-2x1-1+2,即点M为(0,-+2),所以=(0,-y1-2x1-1+1),又=(0,-1),=,所以(0,-y1-2x1-1+1)=(0,-1),所以=y1-2x1-1-1=y1-x1-1x1-1,=x1-1y1-x1-1,又点A(x1,y1)在直线l:y=kx+1上,所以=x1-1kx1-x1=1k-1-,同理=1k-1-,由(1)中方程(*)及根与系数的关系得,x1+x2=-,x1x2=