2019届高考数学二轮复习专题三1第1讲等差数列与等比数列学案.docx

第1讲等差数列与等比数列年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷等差数列基本量的计算T4an与Sn关系的应用T14等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题.卷等差数列基本量的计算、和的最值问题T17卷等比数列基本量的计算T172017卷等差数列的通项公式、前n项和公式T4卷等比数列的概念、前n项和公式、数学文化T3卷等差数列的前n项和公式、通项公式及等比中项T9等比数列的通项公式T142016卷等差数列的基本运算T3等比数列的运算T15等差、等比数列的基本运算(基础型) 通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1. 求和公式等差数列：Snna1d；等比数列：Sn(q1) 性质等差数列等比数列性质若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaq若m，n，p，qN*，且mnpq，则amanapaqanam(nm)danamqnmSm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差数列Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比数列(Sn0)考法全练1(2018贵阳模拟)设等差数列an的前n项和为Sn，若a62a3，则()A.B.C. D.解析：选D.故选D.2(2018高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5()A12 B10C10 D12解析：选B.设等差数列an的公差为d，因为3S3S2S4，所以3(3a1d)2a1d4a1d，解得da1，因为a12，所以d3，所以a5a14d24(3)10.故选B.3(2018郑州模拟)等比数列an的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn24Sn3恒成立，则a1的值为()A3 B1C3或1 D1或3解析：选C.设等比数列an的公比为q，当q1时，Sn2(n2)a1，Snna1，由Sn24Sn3得，(n2)a14na13，即3a1n2a13，若对任意的正整数n，3a1n2a13恒成立，则a10且2a130，矛盾，所以q1，所以Sn，Sn2，代入Sn24Sn3并化简得a1(4q2)qn33a13q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有解得或故a11或3，故选C.4(2018南宁模拟)在等比数列an中，a2a616，a4a88，则_解析：法一：设等比数列an的公比为q，由a2a616得aq616，所以a1q34.由a4a88，得a1q3(1q4)8，即1q42，所以q21.于是q101.法二：由等比数列的性质，得aa2a616，所以a44，又a4a88，所以或因为aa4a80，所以则公比q满足q41，q21，所以q101.答案：15(2018高考全国卷)等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解：(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，则Sn.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.等差、等比数列的判定与证明(综合型)证明数列an是等差数列或等比数列的方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；利用等差中项，即证明2anan1an1(n2)(2)证明an是等比数列的两种基本方法：利用定义，证明(nN*)为一常数；利用等比中项，即证明aan1an1(n2)典型例题 设Sn为数列an的前n项和，对任意的nN*，都有Sn2an，数列bn满足b12a1，bn(n2，nN*)(1)求证：数列an是等比数列，并求an的通项公式；(2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列bn的通项公式【解】(1)当n1时，a1S12a1，解得a11；当n2时，anSnSn1an1an，即(n2，nN*)所以数列an是首项为1，公比为的等比数列，故数列an的通项公式为an.(2)因为a11，所以b12a12.因为bn，所以1，即1(n2)所以数列是首项为，公差为1的等差数列所以(n1)1，故数列bn的通项公式为bn.判断(证明)等差(比)数列应注意的问题(1)判断或者证明数列为等差数列、等比数列最基本的方法是用定义判断或证明，其他方法最后都会回到定义，如证明等差数列可以证明通项公式是n的一次函数，但最后还得使用定义才能说明其为等差数列(2)证明数列an为等比数列时，不能仅仅证明an1qan，还要说明a10，才能递推得出数列中的各项均不为零，最后断定数列an为等比数列 对点训练记Sn为等比数列an的前n项和，已知S22，S36.(1)求an的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn1，Sn，Sn2是否成等差数列解：(1)设an的公比为q.由题设可得解得q2，a12.故an的通项公式为an(2)n.(2)由(1)可得Sn(1)n.由于Sn2Sn1(1)n2(1)n2Sn，故Sn1，Sn，Sn2成等差数列Sn，an关系的应用(综合型) 数列an中，an与Sn的关系an 求数列通项的常用方法(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)典型例题 (1)(2018合肥第一次质量检测)已知数列an的前n项和为Sn，若3Sn2an3n，则a2 018()A22 0181B32 0186C D(2)(2018福州模拟)已知数列an中，a11，a22，an13an2an1(n2，nN*)设bnan1an.证明：数列bn是等比数列；设cn，求数列cn的前n项和Sn.【解】(1)选A.因为a1S1，所以3a13S12a13a13.当n2时，3Sn2an3n，3Sn12an13(n1)，所以an2an13，即an12(an11)，所以数列an1是以2为首项，2为公比的等比数列所以an1(2)(2)n1(2)n，则a2 01822 0181.(2)证明：因为an13an2an1(n2，nN*)，bnan1an，所以2，又b1a2a1211，所以数列bn是以1为首项，以2为公比的等比数列由知bn12n12n1，因为cn，所以cn，所以Snc1c2cn. (1)给出Sn与an的递推关系求an的常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.(2)形如an1panq(p1，q0)，可构造一个新的等比数列 对点训练(2018贵阳模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且满足Snan，a11.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由已知Snan，得Sn1an1(n2)，得ananan1，即an3an1(n2)，又a11，所以数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，故an3n1.(2)由(1)知bn，所以Tn1，所以Tn.数列与新定义相交汇问题(创新型)典型例题 (2018武汉调研)对任一实数序列A(a1，a2，a3，)，定义新序列A(a2a1，a3a2，a4a3，)，它的第n项为an1an.假定序列(A)的所有项都是1，且a12a220，则a2_【解析】令bnan1an，依题意知数列bn为等差数列，且公差为1，所以bnb1(n1)1，a1a1，a2a1b1，a3a2b2，anan1bn1，累加得ana1b1bn1a1(n1)b1(n1)a2(n2)a1，分别令n12，n22，得解得a1，a2100.【答案】100数列新定义型创新题的一般解题思路(1)阅读审清“新定义”(2)结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识(3)利用“新定义”及常规的数列知识，求解证明相关结论 对点训练在数列an中，nN*，若k(k为常数)，则称an为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：k不可能为0；等差数列一定是“等差比数列”；等比数列一定是“等差比数列”；“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确判断的序号是_解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以错误；当an是等比数列，且公比q1时，an不是等差比数列，所以错误；数列0，1，0，1，是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以正确答案：一、选择题1已知等差数列an的前n项和为Sn，且a3a512，a20.若a10，则S20()A420B340C420 D340解析：选D.设数列an的公差为d，则a3a2dd，a5a23d3d，由a3a512得d2，由a10，a20，可知d0，则其前n项和取最小值时n的值为()A6 B7C8 D9解析：选C.由d0可得等差数列an是递增数列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以a1，则a80，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.6对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，数列an的“差数列”的通项公式为an1an2n，则数列an的前n项和Sn()A2 B2nC2n12 D2n12解析：选C.因为an1an2n，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n，所以Sn2n12.二、填空题7(一题多解)(2018高考全国卷)记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_解析：法一：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11；当n2时，a1a22a21，解得a22；当n3时，a1a2a32a31，解得a34；当n4时，a1a2a3a42a41，解得a48；当n5时，a1a2a3a4a52a51，解得a516；当n6时，a1a2a3a4a5a62a61，解得a632；所以S61248163263.法二：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S663.答案：638(2018惠州第二次调研)已知数列an满足a11，an12an2n(nN*)，则数列an的通项公式an_解析：an12an2n两边同除以2n1，可得，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以(n1)，所以ann2n1.答案：n2n19设某数列的前n项和为Sn，若为常数，则称该数列为“和谐数列”若一个首项为1，公差为d(d0)的等差数列an为“和谐数列”，则该等差数列的公差d_解析：由k(k为常数)，且a11，得nn(n1)dk，即2(n1)d4k2k(2n1)d，整理得，(4k1)dn(2k1)(2d)0，因为对任意正整数n，上式恒成立，所以得所以数列an的公差为2.答案：2三、解答题10已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解：(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1)，因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.11(2018高考全国卷)已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解：(1)由条件可得an1an.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.12已知数列an是等