高考数学复习指导：平 面 向 量.docVIP

海量资料 超值下载平 面 向 量内容要求ABC平面向量平面向量的概念平面向量的加法、减法及数乘运算平面向量的坐标表示平面向量的数量积平面向量的平行与垂直平面向量的应用1. 向量是现代数学中重要和基本的概念之一.新课程增加了新的现代数学内容,其意义不仅在于数学内容的更新,更重要的是引入新的思维方法,可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题.因此,新课程试卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合,凡涉及此类问题,高考命题都采用了新旧结合,以新带旧或以新方法解决的思路进行处理,这启示我们在高考复习中,应突出向量的工具性,注重向量与其他知识的交汇与综合,但不宜“深挖洞”.这与绝大部分内容的要求为B级相一致.我们基本上可以预测2015年向量高考题的难度不会上升到压轴题的水平.2. 新课程试卷中关于平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似,虽然只是个别小题,但它对学习具有指导意义,教学中重视教材的使用应有不可估量的作用.因此,复习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观念和方法组织成整体,形成知识体系.3. 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用,因它具有代数形式和几何形式的“双重身份”,融数形于一体,能与中学数学教学内容的许多主干知识如三角函数、不等式、解析几何等综合,形成知识交汇点,所以在高考复习中应引起足够的重视.1. 正确理解概念是学好本章的关键.向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出来的,要善于与物理、生活中的模型进行类比与联想;向量的有关概念与我们学习过的有关知识如实数、线段等既有联系又有区别,要注意对比与分析.防止将学习过的有关知识错误地迁移到现学的知识中来.例如:向量平行没有传递性.2. 把握向量中蕴含的数学思想.除了数形结合思想,也要重视“基本量”思想在向量中的体现用基向量解题.基向量是处理向量问题的基础,与代数式不同的是,由平面上的一个关于基向量的等式能求解出两个未知数.3. 了解向量的工具作用,熟悉运用向量知识解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法;此外,再结合应用问题,感受向量方法的优越性.4. 学习向量应注意类比,如向量的运算法则及运算律可与实数、复数相应的运算法则及运算律进行横向类比.而一维情形下向量的共线条件到二维的平面向量基本定理(理科还可推广到三维的空间向量基本定理),又可进行纵向类比.第35课时平面向量的概念及线性运算内容要求ABC平面向量平面向量的概念平面向量的加法、减法及数乘运算1. 向量不同于数量,向量既有大小,又有方向,向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小.2. 向量的加减法实质上是向量的平移,实数乘向量实质上是向量的伸缩.3. 数形结合思想是向量加法、减法运算的核心.向量是一个几何量,是有“形”的量,因此在研究有关向量的问题时,要尽可能结合图形进行分析、判断,这是研究平面向量的重要方法与技巧.4. 向量共线的充要条件常用来解决三点共线和两直线平行问题,应用向量共线定理时注意待定系数法和方程思想的运用.1. 我们把既有大小又有方向的量称为向量.2. 长度为0的向量称为零向量.长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.平行向量又称为共线向量.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.我们把与向量a长度相等,方向相反的向量叫做a的相反向量,记作-a, a与-a互为相反向量.3. 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.运用三角形法则的关键是向量要依次首尾顺次相连.对于两个不共线的非零向量a, b,我们还可以作平行四边形来求两个向量的和.分别作=a, =b,以OA, OC为邻边作OABC,则以O为起点的对角线OB就是向量a与b的和.我们把这种方法叫做向量加法的平行四边形法则.运用平行四边形法则的关键是向量要有共同起点.4. 向量的减法是向量加法的逆运算.若b+x=a,则向量x叫做a与b的差,记为a-b,求两个向量差的运算,叫做向量的减法.当向量a, b起点相同时,从b的终点指向a的终点的向量就是a-b,也可以用相反向量全部统一转化为加法.5. 一般地,实数与向量a的积是一个向量,记为a,它的长度和方向规定如下:(1) |a|=|a|;(2) 当0时,a与a方向相同;当0, y0),求4x+y的最小值.略解由M, G, N三点共线,得+=3,-4x+y=(4x+y)=3,当且仅当=,即时,取等号.3. 有关向量共线的问题例3(1) 已知向量a=2e1-3e2, b=2e1+3e2,其中e1, e2不共线,向量c=2e1-9e2.问:是否存在这样的实数, ,使向量d=a+b与c共线?(2) 已知=+ (, 为实数),若A, B, C三点共线,求证+=1.(例3)(3) 如图,在ABCD中,M为AB的中点,N为BD靠近B的三等分点,求证:M, N, C三点共线.点拨对于第(1)题,假设存在,根据共线得到关系式,求出实数, 关系即可;对于第(2)题,由三点共线得到=k,结合已知关系式,证明+=1;对于第(3)题,由共线向量定理即证.解(1) d=(2e1-3e2)+(2e1+3e2)=(2+2)e1+(-3+3)e2,要使得向量d与c共线,则应有实数k,使得d=kc,即(2+2)e1+(-3+3)e2=2ke1-9ke2, 得=-2.故存在这样的实数, ,使得向量d与c共线.(2) =+, =-=(-1) +,=-=+(-1) .又 A, B, C三点共线, =k,即 =k,化简得+=1.(3) 设=a, =b. N是BD的三等分点, =(b-a), =-=-a-b.又M为AB的中点, =-=-a-b,得=.由共线向量定理知.又与有公共点C, M, N, C三点共线.1. 注意向量0的方向是任意的.例如:ab, bc/ac(如b=0时).2. 向量a平移为向量b后,有a=b.高中研究的是自由向量,向量平移之后不改变,还是它本身.1. (根据必修4P55“思考”改编)在平面直角坐标系内,若O为坐标原点,|=r(r0),则点A的轨迹是圆心在原点,半径为r的圆.2. (根据必修4P57练习第2题改编)下列命题中正确的是.(只填序号) a与b共线,b与c共线,则a与c也共线; 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点; 向量a与b不共线,则a与b都是非零向量; 有相同起点的两个非零向量不平行.3. (根据必修4P66习题2.2第2题改编)在平面直角坐标系内,若向量a, b满足|a-b|=|a|-|b|,则a与b必须满足的条件为a, b同向且|a|b|;或者b=0.(第4题)4. (根据必修4P67习题2.2第12题改编)如图,在ABC中,=,记=a, =b,求证:=(b-a).(用向量的方法)证明 =a+b, =-=-(a+b). =, =b, =+=-(a+b)=(b-a).第36课时平面向量的坐标表示内容要求ABC平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示为B级要求.有了坐标和平面向量基本定理,就可以在直角坐标系中研究向量,用代数方法解决向量问题,并且可以和直线与圆以及圆锥曲线进行联系综合.2. 本课内容属于平面向量的基础性内容,与平面向量的数量积比较,出题量较小.出题可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题.1. 平面向量基本定理:如果e1, e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1, 2,使得a=1e1+2e2.2. 平面向量的坐标运算:已知向量a=(x1, y1), b=(x2, y2)和实数,那么a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), a=(x1, y1).3. 已知A(x1, y1), B(x2, y2),则=-=(x2-x1, y2-y1).一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标.注意与向量减法相区别.4. 向量平行的坐标表示:设向量a=(x1, y1), b=(x2, y2),且a0,则ab b=a x1y2-x2y1=0.(简记为交叉积之差等于0)1. 已知向量a=(1, ), b=(-2, 0),则a+b=(-1,).2. 设向量a=(1, 2), b=(2, 3),若向量a+b与向量c=(-4, -7)共线,则=2.3. 已知a0,若平面内三点A(1, -a), B(2, a2), C(3, a3)共线,则a=1+.4. 在平面直角坐标系xOy中,有点A(-1, -2), B(2, 3), C(-2, -1),则以线段AB, AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为4, 2.5. 已知a=(-1, 2), |c|=3, ca,则c=(-3, 6)或(3, -6).1. 平面向量基本定理的应用例1如图,在ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线交CD于点F.若=a, =b,则=.点拨可将, 分别用a, b表示,然后由=(+)及=即可将也用a, b表示.(例1)解=+=a+b.=(+)=a+b.由DEFBEA得=a+b=a+b.反思平面向量基本定理是向量法解题的依据.向量的坐标表示也是以此为基础.这个定理反映了数学“化繁为简”的本质,须细心领会.2. 利用向量的坐标判断向量的位置关系例2平面内给定三个向量a=(3, 2), b=(-1, 2), c=(4, 1).(1) 求满足a=mb+nc的实数m, n的值;(2) 若(a+kc) (2b-a),求实数k的值;(3) 若d满足(d-c) (a+b),且|d-c|= ,求d.点拨对于第(1)题, 向量相等即对应坐标相等,列方程求解;对于第(2)题,由两向量平行的条件列方程求解;对于第(3)题,设d=(x, y),由平行关系及模为联立方程组求解.解(1) 由题意得(3, 2)=m(-1, 2)+n(4, 1), 得(2) a+kc=(3+4k, 2+k), 2b-a=(-5, 2). (a+kc)(2b-a), 2 (3+4k)-(-5)(2+k)=0, k=- .(3) 方法一:设d=(x,y), 则d-c=(x-4, y-1), a+b=(2,4).由题意得解得或 d=(3, -1)或(5, 3).方法二: (d-c)(a+b), d-c=(a+b). a+b=(2, 4), |d-c|=, =. d-c=(1, 2), d=(3, -1)或(5, 3).反思(1) 运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机结合;(2) 根据平行的条件建立方程求参数是解决这类题目的常用方法,充分体现了方程思想在向量中的应用;(3) 往往用最基本、最原始的概念和原理反而能将问题轻松解决.3. 用向量的坐标处理几何问题例3已知向量=(1, 4), =(5, 10), =(2, m).(1) 若点A, B, C能构成三角形,求实数m应满足的条件;(2) 若ABC为直角三角形,求实数m的值;(3) 若点A, B, C能构成以AB为底边的等腰三角形,求ACB的余弦值.点拨对于第(1)题, 点A, B, C能构成三角形,即三点不共线;对于第(2)题, ABC为直角三角形,由两向量垂直求解;对于第(3)题,转化为求向量与夹角的余弦值.解(1) 若点A, B, C能构成三角形,则这三点不共线.因为=(4, 6), =(1, m-4),故4(m-4)6,所以实数m应满足的条件为m.(2) 由题设知=(-3, m-10).因为ABC为直角三角形,若A为直角,则,所以4+6(m-4)=0,解得m=;若B为直角,则,所以-12+6(m-10)=0,即m=12;若C为直角,则,所以-3+(m-4)(m-10)=0,即m2-14m+37=0,所以m=72.故m=或m=12或m=72.(3) 由|2=|2,即1+(m-4)2=9+(m-10)2,得m=,所以=, =, 故cosACB=-.反思应用向量坐标的平行与垂直公式.1. 向量平行有两种表达方法:b=a(a0);坐标表示法.注意解题中灵活选用.2. 平面向量的坐标表示的依据是平面向量基本定理.1. (根据必修4P70练习第3题改编)设P, Q分别是ABC的两边AB, AC的中点,=c, =b,则=b-c.(用基底b, c表示)2. (根据必修4P73练习第1题改编)与向量a=(3, -4)平行的单位向量为或.3. (根据必修4P74例5改编)(1)已知a=(2, 0), b=(-1, 1),当实数k=-时,向量ka-b与a+3b平行;(2)若a, b为不共线的向量,向量ka-b与a+3b平行,则k=-.4. (根据必修4P75练习第2题改编)在平面直角坐标系中,已知平面上三点的坐标分别为A(-2, 1), B(-1, 3), C(3, 4),求点D的坐标,使这四点构成平行四边形的四个顶点.解当平行四边形为ABCD时,由=,得D1(2, 2);当平行四边形为ACDB时,由=,得D2(4, 6);当平行四边形为DACB时,由=,得D3(-6, 0).第37课时平面向量的数量积内容要求ABC平面向量的数量积平面向量的平行与垂直1. 平面向量的数量积为C级要求,它揭示了向量和数量之间的联系,要注意向量运算律与实数运算律的区别,灵活运用运算律,达到简化运算的目的.2. 平面向量的平行与垂直为B级要求,高考主要是要求能够通过坐标形式求解相关问题.3. 熟练运用平面向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题,体会向量方法的优越性.1. 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为(0180),则把数量|a|b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积),记为ab.规定:零向量与任一向量的数量积为0.2. 对于ab=|a|b|cos,其中|b|cos叫做b在a方向上的投影.3. 数量积的运算律 交换律:ab=ba; 数乘结合律:(a)b=a(b)=(ab)=ab; 分配律:(a+b)c=ac+bc.6. 若a=(x1, y1), b=(x2, y2),则ab=x1x2+y1y2.7. 向量的模长公式:设a=(x, y),则|a|=.8. 两点间距离公式:设A(x1, y1), B(x2, y2),则=(x2-x1, y2-y1),|=.9. 向量的夹角公式:设a=(x1, y1), b=(x2, y2), a与b的夹角为,则有cos= .10. 两个向量垂直:设a=(x1, y1), b=(x2, y2), a0, b0,则ab x1x2+y1y2=0.注:对零向量只定义了平行(零向量与任一向量平行),而不定义垂直.1. 已知正三角形ABC的边长为4,则=-8.2. 若向量a, b满足|a|=1, |b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|=.3. 设x, yR,向量a=(x, 1), b=(1, y), c=(2, -4).若ac, bc,则|a+b|=.4. 若|a|=1, |b|=2, c=a+b,且ca,则c与b的夹角为.(第5题)5. 如图,在ABCD中,APBD于点P, AP=3,则=18.6. 已知点O, N, P均在ABC所在平面内,且|=|=|, +=0, =,则点O, N, P依次是ABC的外心、重心、垂心.1. 平面向量的数量积的概念例1已知下列等式或命题: a(b-c)=ab-ac; a(bc)=(ab)c; (a-b)2=|a|2-2|a|b|+|b|2; 若ab=0,则a=0或b=0; 若ab=cb,则a=c; |a|2=a2; (ab)2=a2b2; (a-b)2=a2-2ab+b2.其中正确的是.(填序号)点拨掌握向量数量积的定义和运算法则,并注意它与实数运算的异同.解.反思向量运算和实数运算的异同:对于一个向量等式,可以移项,两边平方,两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约).2. 平面向量的数量积的运算例2(1) 已知ABC为等边三角形,AB=2.设点P、 Q满足=, =(1-), R.若=-,则=.(2) 已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则的值为,的最大值为.点拨掌握向量数量积运算的方法.(例2(1)解(1) 如图,=-, =-. =-, (-)(-)=-,即-+=-.又 =, =(1-),代入上式得(1-)-(1-)-+=-.(*) ABC为等边三角形,且|=|=|=2, =|cos60=22=2.又 |2=4, |2=4,代入(*)式得42-4+1=0,解得=.(例2(2)(2) 如图,建立平面直角坐标系,则D(0, 0), B(1, 1), C(1, 0).设E(x, 1),那么=(x, 1), =(0, 1), =1. =(1, 0), =x. 正方形ABCD的边长为1, x的最大值为1,故的最大值为1.反思(1)、 (2)两题分别用平面向量的数量积的定义法、坐标法求解.拓展已知向量a=, b=cos, -sin,且x.若函数f(x)=ab-2|a+b|的最小值是-,求的值.解由题设得f(x)=2(cosx-)2-1-22. x, 0cosx1. 若1,则当且仅当cosx=1时,f(x)取得最小值1-4,由1-4=-,解得=,这与1相矛盾.综上所述,=.3. 向量的夹角与向量的模例3已知|a|=4, |b|=3, (2a-3b)(2a+b)=61.(1) 求a与b的夹角;(2) 求|a+b|的值;(3) 若=a, =b,求ABC的面积.点拨第(1)题利用数量积的定义求夹角;第(2)题求向量的模可先平方转化为向量的数量积;第(3)题由三角形的面积公式直接求解.解(1) (2a-3b)(2a+b)=4a2-6ab+2ab-3b2=4a2-4ab-3b2=416-443cos-332=61, cos=-.又0, , =.(2) |a+b|2=(a+b)2=42+243+32=13, |a+b|=(3) SABC=|sinBAC=43=3.反思(1) 求向量的夹角时,要注意夹角的取值范围;(2) 如何求向量的模?拓展设向量a, b, c满足|a|=|b|=1, ab=-, =60,求|c|的最大值.(例3拓展)解 ab=-, |a|=|b|=1, cos=-, =120.将a, b, c的起点平移至同一点O,则a-c=, b-c=, ACB=60, AOB=120,于是A, O, C, B四点共圆,故OC为直径时,|c|取最大值. AB=, 由正弦定理知2R=2, |c|的最大值为2.例4已知a=(cos, sin), b=(cos, sin), |ka+b|=|a-kb|(k0).(1) 求证:(a+b)(a-b);(2) 求ab的最小值及此时a与b的夹角.点拨非零向量abab=0.要注意运算技巧,有时把向量都用坐标表示,不一定能够简化运算,要因题而异.解(1) |a|=|b|=1, (a+b)(a-b)=a2-b2=0, (a+b)(a-b).(2) |ka+b|2=k2+2kab+1, (|a-kb|)2=3(1+k2)-6kab.由条件得k2+2kab+1=3(1+k2)-6kab. k0, ab=.当且仅当k=,即k=1时,取等号,此时cos=.又0, , =.故ab的最小值为,此时=.反思向量、三角函数及基本不等式的综合应用.1.已知向量a, b,可利用向量数量积定义式的变形式求夹角的余弦cos,进而求,注意的范围(本来的范围0, 和题目中的范围).2. 向量是“数形统一体”,例如垂直这一几何特征可化成坐标满足的方程.1. (根据必修4P81习题2.4第5题改编)已知|a|=|b|=1, |a+b|=,则|a-b|=,并构造一个图形来解释你的结果.(答案:图略.作一边长为1的正方形即可)2. (根据必修4P81习题2.4第10题改编)设a=(x, 2), b=(2, 1),若a与b的夹角为锐角,则x的取值范围是(-1, 4)(4, +).3. (根据必修4P81习题2.4第5题改编)构造一个图形来解释|ab|a|+|b|这个公式的几何意义.(答案:图略.当a, b不平行时,公式表示三角形的两边之和大于第三边;当a与b平行时,即为有理数的运算性质)4. (根据必修4P77练习第2题改编)已知正三角形ABC的边长为2,设=a, =b, =c,则ab+bc+ca=-6.第38课时平面向量的应用内容要求ABC平面向量的应用1. 平面向量的应用为A级要求.向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,但由于对能力的要求比较高,因此高考中降低了这方面的考查要求.2. 在具体运用中能用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题.3. 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的形象与直观,是一个数形结合的产物.在利用向量解决问题时要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合.1. 力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法,运动的叠加亦用到向量的合成.2. 功就是力与所产生的位移的数量积.(第1题)1. 如图,夹角为60的两根绳子提起一个重物,每根绳子用力都是2N,则物体所受的重力为2N.2. 在ABC中,若+=0,则ABC的形状是直角三角形.3. 在ABC中,角A, B, C的对边依次为a, b, c,且A, B, C依次成等差数列,若=-,且b=,则a+c的值为2.4. 已知向量a=(2cos, 2sin), b=(2cos, 2sin),且直线2xcos-2ysin+1=0与圆(x-cos)2+(y+sin)2=1相切,则向量a与b的夹角为.(第5题)5. 给定两个长为1的平面向量和,它们的夹角为120.如图,点C在以O为圆心的圆弧上移动.若=x+y,其中x, yR,则x+y的最大值是2.1. 向量基本定理的应用例1用向量法证明平行四边形四边的平方和等于两对角线的平方和.已知:四边形ABCD为平行四边形.求证:2(AB2+DA2)=AC2+BD2.点拨本题主要的证明方法:(1) 利用余弦定理;(2) 由向量分解定理,选择, 为一组基底,其他线段的对应向量都可以表示为这组基的线形组合,把证明转化为向量的运算.证明设=a, =b,则=a+b, =a-b, AC2+BD2=|2+|2=(a+b)2+(a-b)2=2(|a|2+|b|2)=2(AB2+DA2), 2(AB2+DA2)=AC2+BD2.反思运用向量法证明平面几何题的解题步骤:图形到向量向量的运算与图形有关的结论.2. 向量在平面几何中的应用(例2(1)例2(1) 如图,在矩形ABCD中,AB=, BC=2,E为边BC的中点,点F在边CD上.若=,则的值是.(2) 在ABCD中,A=,边AB, AD的长分别为2, 1.若M, N分别是边BC, CD上的点,且满足=,则的取值范围是.点拨要求向量的数量积,可建立适当的直角坐标系.解(1) 解法一:以A为原点、AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系.设F(x, 2), =(x, 2), =(, 0), =x=, F(1, 2), =.解法二:=|cosBAF=, |cosBAF=1,即|=1, |=-1,=(+)(+)=+=+=(-1)(-1)+121=.(例2(2)(2) 建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2, 0), C, , D, .令=,则M, N, =+=-2-2+5=-(+1)2+6. 01, 2, 5.反思向量中几何问题可通过建立直角坐标系求解.3. 向量在解析几何中的应用例3已知平面上一定点C(2, 0)和直线l:x=8, P为该平面上一动点,作PQl,垂足为Q,且 =0.(1) 求动点P的轨迹方程;(2) 若EF为圆N:x2+(y-1)2=1内任一条直径,求的最小值.解(1) 设P(x, y),则Q(8, y).由=0,得|2-|2=0,即(x-2)2+y2-(x-8)2=0,化简得+=