数列（一） 通项与求和.docVIP

蒇螄羇莁薀薇袃莀艿螃蝿荿莁薆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅莅蒈蚂膄莅薀袈肀蒄蚃蚀羆蒃莂袆袂聿薅虿袈聿蚇羄膇肈莇螇肃肇葿羂罿肆薁螅袄肅蚄薈膃膄莃螄聿膃蒆薆羅膃蚈螂羁膂莇蚅袇膁蒀袀膆膀薂蚃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄芇蒆袇螀芇蕿蚀肈芆芈袅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肁芁蒇螄羇莁薀薇袃莀艿螃蝿荿莁薆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅莅蒈蚂膄莅薀袈肀蒄蚃蚀羆蒃莂袆袂聿薅虿袈聿蚇羄膇肈莇螇肃肇葿羂罿肆薁螅袄肅蚄薈膃膄莃螄聿膃蒆薆羅膃蚈螂羁膂莇蚅袇膁蒀袀膆膀薂蚃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄芇蒆袇螀芇蕿蚀肈芆芈袅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肁芁蒇螄羇莁薀薇袃莀艿螃蝿荿莁薆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅莅蒈蚂膄莅薀袈肀蒄蚃蚀羆蒃莂袆袂聿薅虿袈聿蚇羄膇肈莇螇肃肇葿羂罿肆薁螅袄肅蚄薈膃膄莃螄聿膃蒆薆羅膃蚈螂羁膂莇蚅袇膁蒀袀膆膀薂蚃肂腿蚄袈羈膈莄蚁袄芇蒆袇螀芇蕿蚀肈芆芈袅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅节莅蕿肁芁蒇螄羇莁薀薇袃莀艿螃蝿荿莁薆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅莅蒈蚂膄莅薀袈肀蒄蚃蚀羆蒃莂袆袂聿薅虿袈聿蚇羄膇肈莇螇肃肇葿羂罿肆薁螅袄肅蚄 数列(一) 通项与求和目的要求: 熟练应用等差等比数列的通项,求和工式 解决数列的相关问题重点 难点 综合分析1 等差等比数列的常用性质(略)2应用 例1 个正数排列成行列行成等差数列,列成等比数列(同一) ， 求: 解法一 分析 求出 设 则有: 解得: (1) (2)(1)-(2)时: 例2:中,是否存在一个无穷等比数列,其和为?解:设符合条件, 则 (1)讨论 不存在.例3 设为至少含有两项,公差为正数的等差数列,其项均在S中,且添加S中的元素于A中,均不能为A有相同公差的等差数列,求A的个数.解法1 分析: 1)首项满足? 再添加? 至少两个,取10得 则 不符合题目中的条件 解法1 时 个 A有个时 个 A有个时 个 A有的个数 解法(二) (先定再定) 1 (偶)时, 1个A 2个A 共有1个AA共有:个 由 1个A 由 2个A 由 A共有:个A共有:个2 当为奇数时 (由上面方法)_ A共有:解法(三) A中至少有连续两项(取其中中间两项) 则通项确定的所在所值,就随之确定,A就确定.例4 设 且, 求证:中奇数的个数是 中满足为定值证明:分析: 中奇数的个数和=奇数 中偶数的个数和=偶数从而 为定值(反证法)假设中奇数的个数不是4的倍数 则个数为 1 当为时=奇数+偶数 矛盾2 时,不妨设为 中的奇数 则为 中的偶数又 假设不在中但在中有: (1) (2)解得 为奇数,与个奇数之和应为偶数矛盾因此, 中奇数的个数必是4的倍数.再证, 为定值(尽量用到其中值) 定值. (各项均为定值). 数列(二) 高阶等差 等比数列目的要求:理解差分数列, 高级等差 等比数列的的概念,定理重点 定义 定理难点 定理的证明1 阶差分数列定义 称 为的一阶差分 的一阶差分数列: 如: 1 , 2 , 4 , 9 , 23 , 64 : 1 , 2 , 5 , 14 , 91 , : 1 , 3 , 9 , 27 , 规定: 结论: 求证 (数归证法) 时, 左 证毕定理1 (1) (2) (3)证明: (2) (3) 证毕 注意: 常用到 若,则2 阶等差数列定义: 若使是非零常数列 则为阶等差数列.如 : 1 , 4 , 9 , 16 , : 3 , 5 , 7 , 9 , 一阶差分数列为等差 : 2 , 2 , 2 , 2 , 非零常数列则称这二阶等差数列.定理2 是阶等差数列是的次多项式 且 证明: 若是次多项式,则是阶等差数列(数归法)时, 显然,零多项式为常数列的是零阶 时, 设 则 则是1阶等差数列 假设: 时成立, 是的次多项式,则是阶等差数列 时, 设 是的次多项式由假设, 是阶等差数列又是非零常数列是非零常数列是阶等差数列 必要性已证 若是阶等差数列,则是.且证明: 显然是的次多项式 是的次多项式)1 先证, 对, 时, 假设时成立, 即 时, 由 得: 对 是阶等差数列 定理3 若是阶等差数列,则是阶等差数列 且证明 由又 是的阶多项式 由定理2 是的阶等差数列3 阶等比数列定义 若使得为公比不为1的等比数列 而为非等比数列,则称为阶等比数列. 如 : 1 , 2 , 4 , 9 , 23 , 64 : 1 , 2 , 5 , 14 , 91 , : 1 , 3 , 9 , 27 , 是公比为3的是二等比数列例 求的通项公式解: (逐次叠加法) 令 则 所以 得 数列(三) 递推数列目的要求 掌握线性齐次(非齐次)递推数列的通项求法(递推法)重点 一阶线性常系数齐次(非齐次)递推数列的通项难点 一阶线性常系数非齐次递推数列一 递推数列1递推数列(1) 定义: 对,从某项起，它的任意项都可用它的前面的若干相邻项来表示，则数列叫做递推数列。若 （*）则称中阶递推数列，上式叫做的递推公式。 （2）分类：若（*）是线性的，则称由（*）确定的数列是线性递推数列，否则 称其为非线性递推数列。 如 二阶线性 一阶非线性2 常系数线性齐次递推数列（1） 定义 对,从第项后的任意项都满足： 是常数，且，则由确定的，称阶常系数线性齐次递推数列。 定义 满足递推公式，称方程 为的特征方程。（2） 求通项（特征根法） 定理1 1）若特征方程在个互异根 则 其中，是方程组：的唯一解。定理2 若特征方程在重根 则 其中， 定理2 若特征方程在重根重根 其中， 则 举例说明上述三种财情况。例1 已知：， ， 解：， 设由 解得 例2 解： 由 得 3 线性齐次递推数列与高阶等差数列的关系定理4 阶等差数列是由递推方程所确定的阶线性递推数列。 说明：（举例）若为等差数列，则有 即，所以为二阶线性齐次递推数列。二阶等差数列 由得， 所以，二阶等差数列是二阶线性齐次递推数列。定理2 若是阶线性递推数列，特征方程 则是阶线性奇次递推数列。例 (补充) : 求:解: 是3阶线性奇次递推数列,且特征方程 则 其中 得 (补充题): : 求: 1) 2) 的前项和4 一阶线性非奇次递推数列设 (P为常数,为常数列或为求和) 若则 若(常数), (常数) 则可造以下三种方法求: 迭代法: :化等差、等比数列若常数 则为以为公比的等比数列由 ：化为二阶齐次线性数列求解 特征方程求解。若 由定理8：若 同除以 令 例2 （补充）: 求 解： 为首项。 迭代法： 衿蒄莆蚄肅莀莅螇袈芆莄衿肃膂莃蕿袆肈蒂蚁肁莇蒁螃袄芃蒀羆肀艿蒀蚅羃膅葿螈膈肁蒈袀羁荿蒇薀膆芅蒆蚂罿膁薅螄膅肇薄袇羇莆薄薆螀莂薃螈肆芈薂袁衿膄薁薀肄肀薀蚃袇荿虿螅肂芅蚈袇袅膁蚈薇肁肇蚇蝿袃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃芁螆羀聿芀袈膅莈荿薈羈芄莈蚀膄膀莇袂羇膆莆羅衿蒄莆蚄肅莀莅螇袈芆莄衿肃膂莃蕿袆肈蒂蚁肁莇蒁螃袄芃蒀羆肀艿蒀蚅羃膅葿螈膈肁蒈袀羁荿蒇薀膆芅蒆蚂罿膁薅螄膅肇薄袇羇莆薄薆螀莂薃螈肆芈薂袁衿膄薁薀肄肀薀蚃袇荿虿螅肂芅蚈袇袅膁蚈薇肁肇蚇蝿袃蒅蚆袂腿莁蚅羄羂芇蚄蚄膇膃芁螆羀聿芀袈膅莈荿薈羈芄莈蚀膄膀莇袂羇膆莆羅衿蒄莆蚄肅莀莅螇袈芆莄衿肃膂莃蕿袆肈蒂蚁肁莇蒁螃袄芃蒀羆肀艿蒀蚅羃膅葿螈膈肁