测量误差的基本知识.ppt

第五章 测量误差的基本知识 本章共分5节，主要介绍了测量误差的分类和处理方法、算术平均值和精度评定的标准、误差传播定律。本章的重点内容是：误差的定义、分类、特性、影响及其处理方法，算术平均值原理、最或然误差及其特性，中误差的定义、用真误差和最或然误差计算中误差，误差传播定律、带权平均值及其中误差。,测量与观测值,观测与观测值的分类, 观测条件, 等精度观测和不等精度观测, 直接观测和间接观测, 独立观测和非独立观测,5.1 测量误差及其分类,5.1.1 测量误差及其来源, 测量误差的来源 （1）仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。 （2）人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。 （3）外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等 三项又称为观测条件, 测量误差的表现形式, 测量误差（真误差=观测值-真值）,（观测值与真值之差）,（观测值与观测值之差）,例： 误差 处理方法 钢尺尺长误差ld 计算改正 钢尺温度误差lt 计算改正 水准仪视准轴误差I 操作时抵消(前后视等距) 经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均) ,1.系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按 规律性变化，具有积累性。, 系统误差可以消除或减弱。 (计算改正、观测方法、仪器检校),5.1.2 测量误差分类,2.偶然误差误差出现的大小、符号各不相同， 表面看无规律性。 例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差， 导致观测值产生误差 。, 准确度(测量成果与真值的差异）, 最或是值（最接近真值的估值，最可靠值）, 测量平差（求解最或是值并评定精度）,3.几个概念:, 精（密）度（观测值之间的离散程度）,举例: 在某测区，等精度观测了358个三角形的内 角之和，得到358个三角形闭合差i(偶然误 差，也即真误差) ，然后对三角形闭合差i 进行分析。 分析结果表明，当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而 且，观测次数越多，规律性越明显。,5.1.3 偶然误差的统计特性,误差分布表,误差分布图,从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误差的四个特性：,特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。,偶然误差的特性,5.2.1 精度,5.2 衡量精度的指标,所谓精度，是指对某一个量的多次观测中，其误差分布的密集或离散的程度。,在相同的观测条件下，所测得的一组观测值，虽然它们的真误差不相等，但都对应于同一误差分布，故这些观测值彼此是等精度的。,1、中误差（标准差）,二 衡量精度的指标,方差的定义 设对某一未知量X进行了n次等精度观测，其观测值为l1, l2， ln，相应的真误差为1,2，n i = li X 方差的定义为：,中误差（标准差）, 表示的 离散程度,x=,y,较小,较大,称为标准差：,例：有两组观测值，各组分别为等精度观测，它们的真误差分别为 第一组：+4,-2.0,0,-4,+3; 第二组：+6，-5，0，+1，-1 (各组中真误差个数应大于10)。 由(5.4)得两组的中误差分别为 因为第一组误差较小，故其观测精度较高。, m1小于m2,说明第一组观测值的误差分布比较集中， 其精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比 较离散，其精度较低：,m1=3.0是第一组观测值的中误差； m2=3.5是第二组观测值的中误差。,2 平均误差,在相同的观测条件下，一组独立的真误差设为1，2，n，则平均误差的定义式为 (5.5) 式中 为真误差的绝对值；n为观测次数。 当观测次数为有限时，平均误差的估值为 上例两组观测的平均误差为 我国统一采用中误差作为衡量精度的指标。,3、容许误差(极限误差),4、相对误差(相对中误差) 误差绝对值与观测量之比。,用于表示距离的精度。 用分子为1的分数表示。 分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。,K2K1，所以距离S2精度较高。, 观测值的算术平均值(最或是值) 用观测值的改正数v计算观测值的 中误差 (即:白塞尔公式),5.3 算术平均值及其中误差,5.3.1 观测值的算术平均值(最或是值、最可靠值),上式等号两边分别相加得和：,L=,当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。,观测值改正数特点,5.3.2 观测值的改正数V ：,Vi = L - i (i=1,2,n),精度评定,5.3.3 精度评定,用观测值的改正数V计算中误差,证明两式根号内相等,对上式取n项的平方和,由上两式得,其中:,证明两式根号内相等,中误差 定义:,白塞尔 公式:,5.3.4 算术平均值的中误差,算术平均值的中误差，可由下式计算,或,由此可见，对一个量增加观测次数取其平均值，可以提高精度。但增加次数较多时，不仅工作量大，而且精度的递增亦趋缓慢。例如， n=16时，精度提高4倍，n=36时，观测次数比n=16时增多了20次，而精度仅比前者提高两倍。因此，当要求精度较高时，在可能的情况下，应考虑选用较精密的仪器和改善观测方法。,例l 有一段距离，在相同的观测条件下用30 m钢尺测量4次，其结果如表5.2的第二栏。求该段距离的最或然值及其中误差。,解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计 算其中误差：,例：使用同一经纬仪观测某水平角5测回，观测数据 如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。,算例2:,6421068.7 ,利用计算器进行统计运算 1进入统计功能：2ndf STAT 2数据输入： 1）单个数据输入：（数据）DATA 2）多个相同数据输入： （数据数据个数）DATA 3数据删除：（待删除数据） 2ndf CD,4成果输出,一般函数的中误差,令 的系数为 ，用观测值代入偏导数式， fi 为常量， (c)式为：,5.4 误差传播定律及其应用,对Z观测 了k次， 有k个式,(d),由偶然误差的抵偿性知：,(g)式最后一项极小于前面各项， 可忽略不计，则：,即,(h),(h),考虑 ，代入上式，得中误差关系式：,(5-19),上式为一般函数的中误差公式，也称为误差传播定律。,通过以上误差传播定律的推导，我们 可以总结出求观测值函数中误差的步骤：,1.列出函数式； 2.对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。,解：列函数式 求全微分 中误差式,解：该水平角真值未知，可用算术平均值的改正数V计 算其中误差：,例：使用同一经纬仪观测某水平角5测回，观测数据 如下表，求其算术平均值及观测值的中误差。,124.3843.4mm,例 在ABC中直接观测A、B，其中误差分别为mA=3，mB=4，求mC 解： 1列函数式 C = 180-A - B 2求全微分 dC = - dA dB 即f1 = -1，f2 = -1 3应用误差传播定律 mC =5,5-5 权的概念,权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。,5.5.1 权与中误差的关系 设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为：,称Pi为观测值l i 的权。,权的定义：,对于一组已知中误差mi的观测值而言，选定一个大于零的常数值，就有一组对应的权；由此可得各观测值权之间的比例关系：,权的性质 （1）权表示观测值的相对精度；（2）权与中误差的平方成反比，权始终大于零，权大则精度高；（3）权的大小由选定的值确定，但测值权之间权的比例关系不变，同一问题仅能选定一个值。,设对某量进行了n次非等