灿烂的古希腊数学.ppt

灿烂的古希腊数学,古希腊的地理范围，除了现在的希腊半岛外，还包括整个爱琴海区域和北面的马其顿和色雷斯、意大利半岛和小亚细亚等地。公元前5、6世纪，特别是希、波战争以后，雅典取得希腊城邦的领导地位，经济生活高度繁荣，生产力显著提高，在这个基础上产生了光辉灿烂的希腊文化，对后世有深远的影响。,希腊数学的发展历史可以分为三个时期。 第一期从伊奥尼亚学派到柏拉图学派为止，约为公元前七世纪中叶到公元前三世纪； 第二期是亚历山大前期，从欧几里得起到公元前146年，希腊陷于罗马为止； 第三期是亚历山大后期，是罗马人统治下的时期，结束于641年亚历山大被阿拉伯人占领。,1.1 万物皆数,米利都是伊奥尼亚的最大城市，也是泰勒斯的故乡，泰勒斯是公认的希腊哲学鼻祖。早年是一个商人，曾游访巴比伦、埃及等地，很快就学会古代流传下来的知识，并加以发扬。以后创立伊奥尼亚哲学学派，摆脱宗教，从自然现象中去寻找真理，以水为万物的根源。,当时天文、数学和哲学是不可分的，泰勒斯同时也研究天文和数学。他曾预测一次日食，促使米太(在今黑海、里海之南)、吕底亚(今土耳其西部)两国停止战争，多数学者认为该次日食发生在公元前585年5月28日。他在埃及时曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，使法老大为惊讶。,泰勒斯在数学方面的贡献是开始了命题的证明，它标志着人们对客观事物的认识从感性上升到理性，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。伊奥尼亚学派的著名学者还有阿纳克西曼德和阿纳克西米尼等。他们对后来的毕达哥拉斯有很大的影响。,毕达哥拉斯公元前580年左右生于萨摩斯，为了摆脱暴政，移居意大利半岛南部的克罗顿。在那里组织一个政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体。后来在政治斗争中遭到破坏，毕达哥拉斯被杀害，但他的学派还继续存在两个世纪之久。,毕达哥拉斯学派企图用数来解释一切，不仅仅认为万物都包含数，而且说万物都是数。他们以发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。,这个学派还有一个特点，就是将算术和几何紧密联系起来。他们找到用三个正整数表示直角三角形三边长的一种公式，即勾股定理。在一個直角三角形，斜边的平方是兩条直角边的平方和。這個定理中国人（周朝的商高）和巴比倫人早在毕氏提出前一千年就在使用，但一般人仍將定理归属於毕达哥拉斯，是因为他证明了定理的普遍性。毕氏认为寻找证明就是寻找认识，而這种认识比任何训练所累积的经验都不容置疑，数学逻辑是真理的仲裁者。,它的重要意义可以概括为以下几个方面： （1）它的证明是论证数学的发端； （2）它是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即第一个把几何与代数联系起来的定理； （3）它导致了不可公度量的发现，由此引发了第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解； （4）它是欧式（欧几里得）几何的基础定理，并有巨大的使用价值。,毕达哥拉斯又注意到从 1起连续的奇数和必为平方数等等，这既是算术问题，又和几何有关，他们还发现五种正多面体。 公元前五世纪，雅典成为人文荟萃的中心，人们崇尚公开的精神。在公开的讨论或辩论中，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等知识，于是“智人学派”应运而生。他们以教授文法、逻辑、数学、天文、修辞、雄辩等科目为业。,在数学上，他们提出“三大问题”：三等分任意角；倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。 希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。,这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题，这是近代极限理论的雏形。先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、边形。安提丰深信“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合。,公元前三世纪，柏拉图在雅典建立学派，创办学园。他非常重视数学，但片面强调数学在训练智力方面的作用，而忽视其实用价值。他主张通过几何的学习培养逻辑思维能力，因为几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。,这个学派培养出不少数学家，如欧多克索斯就曾就学于柏拉图，他创立了比例论，是欧几里得的前驱。柏拉图的学生亚里士多德也是古代的大哲学家，是形式逻辑的奠基者。他的逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。,1.2 几何学无王者之路,公元前四世纪以后的希腊数学，逐渐脱离哲学和天文学，成为独立的学科。数学的历史于是进入一个新阶段初等数学时期。 这个时期的特点是，数学(主要是几何学)已建立起自己的理论体系，从以实验和观察为依据的经验科学过渡到演绎的科学。由少数几个原始命题(公理)出发，通过逻辑推理得到一系列的定理。这是希腊数学的基本精神。,在这一时期里，初等几何、算术初等代数大体己成为独立的科目。和17世纪出现的解析几何学、微积分学相比，这一个时期的研究内容可以用“初等数学”来概括，因此叫做初等数学时期。 埃及的亚历山大城，是东西海陆交通的枢纽，又经过托勒密王的加意经营，逐渐成为新的希腊文化中心，希腊本土这时已经退居次要地位。几何学最初萌芽于埃及，以后移植于伊奥尼亚，其次繁盛于意大利和雅典，最后又回到发源地。经过这一番培植，已达到丰茂成林的境地。,从公元前四世纪到公元前146年古希腊灭亡，罗马成为地中海区域的统治者为止，希腊数学以亚历山大为中心，达到它的全盛时期。这里有巨大的图书馆和浓厚的学术空气，各地学者云集在此进行教学和研究。其中成就最大的是亚历山大前期三大数学家欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。,欧几里得的几何原本是一部划时代的著作。其伟大的历史意义在于它是用公理法建立起演绎体系的最早典范。过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的，可以比作砖瓦木石；只有借助于逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭露彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中，才能建成宏伟的大厦。几何原本体现了这种精神，它对整个数学的发展产生深远的影响。,数学界的一代宗师,欧几里得大约生于公元前325 年，他是古希腊数学家，他的名字与几何学结下了不解之缘，他因为编著几何原本而闻名于世，但关于他的生平事迹知道的却很少，他是亚历山大学派的奠基人。早年可能受教于柏拉图，应托勒密王的邀请在亚历山大授徒，托勒密曾请教欧几里得，问他是否能把证明搞得稍微简单易懂一些，欧几里得顶撞国王说：“在几何学中是没有皇上走的平坦之道的。”他是一位温良敦厚的教育家。,另外有一次，一个学生刚刚学完了第一个命题，就问：“学了几何学之后将能得到些什么？”欧几里得随即叫人给他三个钱币，说：“他想在学习中获取实利。”足见，欧几里得治学严谨，反对不肯刻苦钻研投机取巧的思想作风。,在公元前6 世纪，古埃及、巴比伦的几何知识传入希腊，和希腊发达的哲学思想，特别是形式逻辑相结合，大大推进了几何学的发展。在公元前6世纪到公元前3 世纪期间，希腊人非常想利用逻辑法则把大量的、经验性的、零散的几何知识整理成一个严密完整的系统，到了公元前3 世纪，已经基本形成了“古典几何”，从而使数学进入了“黄金时代”。柏拉图就曾在其学派的大门上书写大型条幅“不懂几何学的人莫入”。欧几里得的几何原本正是在这样一个时期，继承和发扬了前人的研究成果，取之精华汇集而成的,千古佳作几何原本,欧氏几何原本推论了一系列公理、公设，并以此作为全书的起点。共13 卷，目前中学几何教材的绝大部分都是欧氏几何原本的内容。勾股定理在欧氏几何原本中的地位是很突出的，在西方，勾股定理被称作毕达哥拉斯定理，但是追究其发现的时间，在我国和古代的巴比伦、印度都比毕达哥拉斯早几百年，所以我们称它勾股定理或商高定理。,在欧氏几何原本中，勾股定理的证明方法是：以直角三角形的三条边为边，分别向外作正方形，然后利用面积方法加以证明，人们非常赞同这种巧妙的构思，因此目前中学课本中还普遍保留这种方法。据说，英国的哲学家霍布斯一次偶然翻阅欧氏的几何原本，看到勾股定理的证明，根本不相信这样的推论，看过后十分惊讶，情不自禁地喊道：“上帝啊，这不可能”，于是他就从后往前仔细地阅读了每个命题的证明，直到公理和公设，最终还是被其证明过程的严谨、清晰所折服。,欧氏几何原本的部分内容与早期智人学派研究三个著名几何作图问题有关，特别是圆内接正多边形的作图方法。欧氏的几何原本只把用没有刻度的直尺画直线，用圆规画圆列为公理，限定了“尺规”作图。于是几何作图就出现了“可能”与“不可能”的情况。在这里欧几里得只给出了正三、四、五、六、十五边形的作法，加上连续地二等分弧，可以扩展到正2n、32n、52n、152n边形。因此，我们可以想象欧几里得一定还尝试过别的正多边形的作图方法，只是没有作出来而已。,所以欧氏几何原本问世后，正多边形作图引起了人们的极大兴趣。欧氏几何原本中的比例论，是全书的最高成就。在这之前，毕达哥拉斯派也有比例论，但并不适用于不可公度的量的比，欧几里得为了摆脱这一困境，在这里叙述了欧道克索斯的比例论。定义了两个比相等即定义了比例，适用于一切可公度与不可公度的量，它挽救了毕氏学派的相似形等理论，是非常重要的成就。,据说有一位捷克斯洛伐克的牧师布尔查诺，在布拉格度假时，突然间生了病，浑身发冷，疼痛难耐。为了分散注意力便拿起了欧氏的几何原本，当他阅读到比例论时，即被这种高明的处理所震撼，无比兴奋以致完全忘记了自己的疼痛。事后，每当他的朋友生病时，他就推荐其阅读欧氏几何原本的比例论。,证明和演绎推理，完整的体现了亚里士多得的数学逻辑思想，成为公理化方法建立演绎体系的最早典范，更是数学逻辑思维训练的最好教材。但是，它在某些方面还存在着逻辑上的缺陷，并曾经引发了数学史上著名的“第五公设试证”活动，19 世纪初因此而诞生了罗巴切夫斯基几何。罗氏几何的诞生，打破了欧氏几何一统空间的观念，促进了人类对几何学广阔的领域作进一步的探讨。,随后，展开了大规模的欧氏几何原本公理系统的逻辑修补工作。德国数学家希尔伯特，用近代的观点集修补之精华，在1879 年发表了几何基础，提出了欧氏几何一个完整的简洁的公理系统，使欧氏几何达到了高度的抽象化、逻辑化、数学化，把公理化方法推向了现代化，建立起了一种统一的公理体系。这也是欧氏几何原本对几何学发展作出的重大贡献。,欧氏几何原本一出世就迅速而且彻底地取代了在它之前的一切同类型著作，甚至使它们就此消声匿迹。最早的中译本是1607 年（明代万历35 年）由意大利传教士利玛窦和徐光启合译出版的，只译了15 卷本的前6 卷，它是我国第一部数学翻译著作。取名为几何原本，中文“几何”的名称就是从这里开始的。而后9 卷的引入是在两个半世纪后的1857 年由清朝的学者李善兰和英国人韦列亚力翻译补充的。,1.3 我将撬动地球,“给我一个支点，我将撬动地球。” 阿基米德与欧几里得同是亚历山大时期的伟大的数学家。他代表了亚历山大时期的最高数学成就，他的许多创造在今天仍然具有重要的科学价值。他怀着把科学的理论研究和实际应用结合起来的思想，创造了许多机器，这些机器在他的祖国叙拉古的守卫战中起了很大的作用。阿基米德的墓碑上刻有他最引为自豪的数学发现的象征图形球及其外切圆柱，足见他对数学的热爱。,阿基米德生于叙拉古城（今意大利西西里岛），父亲是天文数学家，阿基米德从小就受到良好的家庭教育，他11岁时到了智慧之都亚历山大城。在那里追随欧几里得的门生学习。阿基米德才智高超，回到叙拉古以后，就专心于数学研究。这些研究使他在力学（静力学，液体力学）和技术方面也有了一些发现。,阿基米德的数学著作的最大特点是：用严格的数学方法对力学和物理学问题进行详尽的研究。这是数学阐述的典范，在一定程度上类似于现代杂志的论文。写得完整、简练，显示出巨大的创造性、计算技能和证明的严谨性。,阿基米德第一个提出圆周长、圆面积和扇形面积的准确公式。并提出了这些公式中的一个常数的近似值。他在这些计算中已经利用了穷竭法圆可以被它的内接多边形所“穷竭”，即两者的面积之差可以小于任意给定的量。,他不仅要求出圆周对直径的比的近似值，而且还要确定这样所造成的误差的极限。为此他写了一本份量不多但是非常重要的著作“圆的量度”。圆的周长介于边数相同的内接多角形和外切多角形的周长之间。把这个内接多角形和外切多角形的边数一次又一次地加上去就能无限制地接近圆周的长度。阿基米德从正三角形开始，极其巧妙地算到了正96边形，得到所谓阿基米德值= 22/7 ，用小数来表示就得到准确度达0.01的近似值（3.14）。,现在我们绝大多数时候用阿基米德值来计算圆周长、圆面积和球体积。这个伟大的发现的重要意义是十分明显的。阿基米德所用的方法是以穷竭法的最简单的形式提出来的，我们有充分的理由把这种方法认作是积分计算现代数学中最重要的方法的先驱。穷竭法是极限理论的最初形式。阿基米德把它作为一种工具，算出了各种曲线围成的面积和各种曲面围成的体积，并且得出的结果与初等微积分课本所用的定积分计算的结果相符。,阿基米德在“圆的度量”中奠定了积分计算的基础，而在“论螺线”这篇著作中引入数学史上第一个足够微小的三角形。它在本质上扮演着17世纪提出的微分三角形的角色，成为把握微分概念和方法的关键。如果说莱布尼兹和牛顿是现代微积分之父的话，那阿基米德就要算是它的“老祖宗”了。,阿基米德除了是伟大的数学家，还是杰出的力学家与军事家。他使用天平，用实验的方法研究机械学。首次使用了“重心”概念，他一生发明的实用机械共有40多种，被誉为“力学之父”。著名的“阿基米德原理”和“阿基米德螺线”等仍然收入现行中学物理和数学课本中。,我们学过的浮力定律据说是在这样的情况下发现的。 希伦王怀疑王冠被首饰匠偷掺了银子，国王请阿基米德去测定首饰匠刚刚为其做好的王冠是纯金的还是掺有银子的混合物，并且告诫他不得毁坏王冠。起初，阿基米德茫然不知所措。直到有一天，当自己泡大一满盆洗 澡水里时，溢出水量的体积等于他身体浸入水中的那部分体积。,就说明王冠是纯金的；假如掺有银子的话，王冠的体积就会大一些。他兴奋地从浴盆中跃出，全身赤条条地奔向皇宫，大喊着：“我找到了！找到了！”他为此而发明了 浮力原理。 这个故事可能会令我们发笑，但阿基米德那种全神贯注于自己研究的精神却很值得我们学习。,古代的历史学家把阿基米德描写成一位天才的军事工程师。据说，在保卫叙拉古反击罗马的围攻中，他运用他提出的杠杆原理，第一个使用滑轮组，配合其它的简单机械，设计了灵巧的机械装置。他发明了可调整射程且带活动射杆的射石机；可把敌舰从水中吊起的简易