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2019/5/1,数字电路与逻辑设计,1,第二章 逻辑代数基础,2.1 概述,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2.4 逻辑代数的基本定理,2.5 逻辑函数及其表示方法,2.6 逻辑函数的化简方法,2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,2,概念：,2.1 概述,1、逻辑： 2、二值逻辑： 3、逻辑代数： 4、逻辑变量： 5、逻辑运算：,描述客观事物逻辑关系的数学方法工具，又称为布尔代数、开关代数。它是分析和设计逻辑电路的数学工具。,在逻辑代数中的变量称为逻辑变量。逻辑变量只能有两种可能的取值0或1。注意：这里的0、1不是表示数值大小，而是表示两种不同的逻辑状态。,逻辑变量以及常量之间逻辑状态的推理运算。 不是数量之间的运算。,事物间的因果关系.,只有两种对立逻辑状态的逻辑关系称为二值逻辑。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,3,第二章 逻辑代数基础,2.1 概述,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2.4 逻辑代数的基本定理,2.5 逻辑函数及其表示方法,2.6 逻辑函数的化简方法,2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,4,与（AND） 或（OR） 非（NOT）,以A=1表示开关A合上，A=0表示开关A断开； B=1表示开关B合上，B=0表示开关B断开； 以Y=1表示灯亮，Y=0表示灯不亮； 三种电路的因果关系不同：,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,5,一、基本逻辑运算：,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,三种基本逻辑运算,1、 与(AND) “ ”,真值表,电路功能表,(一) 基本逻辑关系举例,Y,与运算的运算法则：,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,6,3、非(NOT) 变量右上角的“ ” 或变量上面加“”,2、或(OR) “”,真值表,真值表,Y,或运算的运算法则：,或运算的运算法则：,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,7,1、“与逻辑”符号：,（三）基本逻辑运算,（二）基本逻辑关系,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,8,（三）基本逻辑运算,（二）基本逻辑关系,2、“或逻辑”符号：,Y=A+B,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,9,（三）基本逻辑运算,（二）基本逻辑关系,3、“非逻辑”符号：,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,10,二、常用逻辑运算：,1、与非运算：,2、或非运算：,3、与或非运算：,4、异或运算：,5、同或运算：,Y,Y,Y,YAB ,表达式：,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,11,异或运算定义：,AB ,异或运算公式：,多变量异或关系：在多变量异或运算中，如果变量为1的个数为奇数， 异或运算结果为1；如果变量为1的个数为偶数，异或运算结果为0。, 常量与变量之间：, A 0 1,异或运算：A、B取值相异时其值为1，相同时其值为0.,同或运算：是异或运算的反， AB =,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,12,几种常用的复合逻辑运算图形符号,与非 或非 与或非,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,13,几种常用的复合逻辑运算图形符号,异或 同或,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,14,第二章 逻辑代数基础,2.1 概述,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2.4 逻辑代数的基本定理,2.5 逻辑函数及其表示方法,2.6 逻辑函数的化简方法,2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,15,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,16,二、 常用公式,1 A+AB ,公式的含义：在一个与或表达式中，如果一个与项是另一个与项的一个因子，则另一个与项是多余的（吸收律） 。,含义：在一个与或表达式中，如果一个与项的非是另一个与项的一个因子，则这个因子是多余的。,4,3,2,A,AB,A+B,A,含义：在一个表达式中，如果一个或项的非是另一个或项的一个因子，则这个因子是多余的。,含义：在一个表达式中，如果一个变量和包含这个变量的和相乘，其结果等于这个变量。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,17,二、 常用公式,含义：在一个与或表达式中，一个与项包含了一个变量的原变量，而另一个与项包含了这个变量的反变量，则这两项其余因子的乘积构成的第三项是多余的（又称为冗余定理） 。,7,5,6,A,A,含义：在或与表达式中，若两个或项中分别包含了一个变量的原变量和反变量，而其余因子又相同，则可合并成一项，保留其相同的因子。,8,含义：在一个或与表达式中，一个或项包含了一个变量的原变量，而另一个或项包含了这个变量的反变量，则这两项其余因子的和构成的第三项是多余的。,含义：在与或表达式中，若两个与项中分别包含了一个变量的原变量和反变量，而其余因子又相同，则可合并成一项，保留其相同的因子。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,18,如何验证公式的正确性,真值表 化简公式 卡诺图,例：真值表验证摩根定理,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,19,第二章 逻辑代数基础,2.1 概述,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2.4 逻辑代数的基本定理,2.5 逻辑函数及其表示方法,2.6 逻辑函数的化简方法,2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,20,2.4 逻辑代数的基本定理,一、代入定理 ： 在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之以一个函数，则等式仍然成立。,反演规则为求取已知的逻辑式的反逻辑式提供了方便，但需注意两点： 1、仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算优先次序; 2、不属于单个变量上的反号应保留不变。 德摩根定理是反演规则的一个特例，故又称为反演律。,二、反演定理： 对于任意一个函数表达式Y，如果将Y中所有的“”换成“+”， “+” 换成“”；“0”换成“1”， “1” 换成“0”；原变量变反变量，反变量变原变量，那么所得表达式就是Y的反函数 。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,21,对偶式：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将式中所有的“”换成“+”， “+” 换成“”；“1” 换成“0”， “0”换成“1”；而变量保持不变，原表达式的运算优先顺序也不变，那么得到的这个新表达式称为Y的对偶式YD。,Y(A、B、C),其反函数为,或,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,22,第二章 逻辑代数基础,2.1 概述,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2.4 逻辑代数的基本定理,2.5 逻辑函数及其表示方法,2.6 逻辑函数的化简方法,2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,23,2.5 逻辑函数及其表示方法,逻辑函数 Y=F(A,B,C,) -若以逻辑变量为输入，运算结果为输出，则输入变量值确定以后，输出的取值也随之而定。这种输入/输出之间的函数关系称为逻辑函数。 注：在二值逻辑中，输入/输出都只有两种 取值0/1。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,24,一、逻辑函数的表示法：,逻辑函数式、逻辑真值表、逻辑图、波形图、卡诺图 和硬件描述语言等。,（一）逻辑函数式 由逻辑变量、常量和运算符所构成的式子。将输出 与输入之间的逻辑关系写成与、或、非等运算的组 合式。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,25,（二）逻辑真值表,把变量的各种可能取值与相应的函数值，以表格形式一一列举出来，这种表格就叫真值表。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,26,1、列写方法：每个变量均有0、1两种取值。n个变量共有2n种不同取值组合，将它们按顺序（一般按二进制递增顺序）排列起来，同时在相应位置上写上函数的值，便可得到逻辑函数的真值表。 2、特点：直观明了；把实际逻辑问题抽象成数学表达形式时，使用真值表最方便。（当变量比较多时，在真值表中可只列出使函数值为1的输入变量取值）,（二）逻辑真值表,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,27,（三）逻辑图 用代表逻辑运算的逻辑门符号所构成的逻辑关系图形，叫逻辑图。 在工作中，用逻辑图来了解某个数字系统或者数控装置的逻辑功能；另外，在制作数字设备时，首先也要通过逻辑设计，画出逻辑图，然后再把逻辑图变成实际电路。,（五）波形图 反映输入与输出变量对应取值，随时间按照一定规律变化的图形，就叫波形图。也称时间图。,（四）卡诺图 将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。 卡诺图变量取值必须按循环码的顺序排列。 特点：用几何相邻性形象直观地表示了函数各个最小项在逻辑上的相邻性， 便于用来求逻辑函数的最简与或式。 适用于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,28,举 例,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,29,二、各种表示方法的转换,（一）由真值表到逻辑图的转换：,1、一般步骤： (1)根据真值表写出函数的与或表达式或者画出函数的卡诺图。 A、 找出真值表中使逻辑函数Y=1的那些输入变量取值的组合； B、 每组输入变量取值的组合对应一个乘积项，其中取值为1的 写入原变量，取值为0的写入反变量； C、 将这些乘积项相加，即得逻辑函数式。 (2)用公式法或者图形法进行化简，求出函数的最简与或表达式。 (3)根据表达式画逻辑图，有时还要对与或表达式做适当变换才能画出所需要的逻辑图。 用逻辑图形符号代替逻辑函数式中的逻辑符号并按运算优先顺序连接他们，输出端得到所求逻辑函数式。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,30,1,A 1 & B 1 & C 1 & Y &,解：根据题意列出真值表：,A B C Y 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1,写表达式：,化简得：,画逻辑图：,例：输出变量Y是输入变量A、B、C的函数，A、B、C取值中有奇数个1时，Y1， 否则Y0，而且输入变量取值不会出现全为0的情况，画出对应的逻辑图。,2、例题：,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,31,（二）由逻辑图到真值表的转换:,一般步骤： (1)从输入到输出或从输出到输入，用逐级推导的方法， 写出输出变量（函数）的逻辑表达式; (2)进行化简，求出函数的最简与或式； (3)将变量各种可能取值代入与或式中进行运算，列出函 数的真值表,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,32,逻辑图 逻辑函数式 真值表 例：,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,33,波形图 真值表 逻辑函数式 例：波形如图所示 A B Y,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,34,三、逻辑函数的两种标准形式：,逻辑函数表达式两种基本形式: “积之和”表达式 “和之积”表达式,所谓“积之和”，是指一个函数表达式中包含着若干个“积”项， 每个“积”项中可有一个或多个以原变量或反变量形式出现的字母，所有这些“积”项的“和”就表示一函数。（与或表达式）,所谓“和之积”，是指一个函数表达式中包含着若干个“和”项，每个“和”项中有任意个以原变量或反变量形式出现的字母，所有这些“和”项的“积”就表示一个函数。（或与表达式）,逻辑函数的最大项之积的形式 任何一个逻辑函数都可化为最大项之积的标准形式。,逻辑函数的最小项之和的形式 一个函数完全由最小项所组成的标准形式。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,36,最小项的概念：,在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这几个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称乘积项m为该组变量的最小项。,把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数就是该最小项的编号。（原变量取值1，反变量取值0）,最小项： （1）概念： （2）性质： （3）编号：,A、每一个最小项都有一组也只有一组使其值为1的对 应变量取值； B、全体最小项之和为1； C、任意两个最小项的乘积为0； D、具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去 一对因子。 (两个最小项只有一个因子不同),析：,m3,n个变量有2n个最小项,例：,用符号“”表示累计的逻辑“加”运算,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,37,三变量最小项的编号表,最 小 项,最小项为1的变量取值,A B C,对应的十进制数,编号,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,1,2,3,4,5,6,7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,38,（原变量取值0，反变量取值1） 如M0ABC,最大项： （1）概念： （2）性质： （3）编号：,最大项的概念：,A、在输入变量的任何取值下必有一个最大项，而且 只有一个最大项的值为0； B、全体最大项之积为0； C、任意两个最大项的之和为1； D、只有一个变量不同的两个最大项的乘积等于各相 同变量之和。,用符号“”表示累计的逻辑“乘”运算,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,39,三变量最大项的编号表,任意逻辑函数表达式都可以转换成标准形式，方法：,逻辑函数表达式的转换,转换成最小项之和形式：,转换成最大项之积形式：,利用 可以把任何一个逻辑函数化为最小项之和的标准形式标准与或表达式 （唯一）。,如果已知逻辑函数为Ym i 时，则将Y化为最大项之积的形式为：,1、代数转换法,利用 化最大项之积的形式(标准或与表达式)。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,41,解：,例 将下列逻辑函数表达式变换成“最小项之和”的形式：,=m3+m5+m7+m6=m（3,5,6,7）,第一步，将函数表达式变换成“与或”表达式,第二步，利用 将“与或”表达式中与项扩展成最小项,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,42,2、真值表转换法,转换成最小项之和(标准与或表达式)：,转换成最大项之积(标准或与表达式) ：,只要在真值表中，挑出那些使函数值为1的变量取值，变量为1的写成原变量，为0的写成反变量，这样对应于函数值为1的每一种取值，都可以写出一 个乘积项，只要把这些乘积项相加所得即为。,在函数F的真值表中有n组变量，其取值使函数F的值为0，那么函数F的“最大项之积”形式由这n组变量取值对应的n个最大项组成。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,43,第二章 逻辑代数基础,2.1 概述,2.2 逻辑代数中的三种基本运算,2.3 逻辑代数的基本公式和常用公式,2.4 逻辑代数的基本定理,2.5 逻辑函数及其表示方法,2.6 逻辑函数的化简方法,2.7 具有无关项的逻辑函数及其化简,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,44, 逻辑电路所用门的数量少,2.6 逻辑函数的化简方法, 每个门的输入端个数少, 逻辑电路构成级数少, 逻辑电路保证能可靠地工作,逻辑函数的公式化简法,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,45,最简表达式,1、最简与或式： 2、最简与非与非式： 3、最简或与式： 4、最简或非或非式： 5、最简与或非式：,乘积项的个数最少，每个乘积项中相乘的变量个数也最少的与或表达式。 非号最少，每个非号下面相乘的变量个数也最少的与非与非式。 括号个数最少，每个括号中相加的变量个数也最少的或与式。 非号最少，非号下相加的变量个数也最少或非或非式。 在非号下面相加的乘积项个数最少，每个乘积项中相乘变量个数也最少的与或非式 。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,46,求出函数的最简与或式，用摩根定理进行适当变换，可获得其它几种最简式：,两次取反 摩根定理去反,反函数最简与或式取反摩根定理去反,反函数最简与或式取反,摩根定理,两次取反 摩根定理去反,在各种逻辑函数表达式中，最常用的是与或表达式。 判别与或表达式是否最简条件是：(1)乘积项(与项)最少； (2)每个乘积项中变量最少。, 与或表达式的化简 原理：反复使用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数式中多余的乘积项和多余的因子，以求得函数式的最简形式。,最简式的标准,利用公式 或,1、并项法： 2、吸收法： 3、消因子法： 4、消项法： 5、配项法：,利用公式,利用公式 A+AB A,利用公式,公式化简法, 首先是式中乘积项最少,与门的输入端个数少,利用公式,例、将函数化简为最简与或式:,解:,利用德摩根定理,利用吸收法,利用消因子法,利用吸收法,利用消项法,例、将函数化简为最简与或式:,解:,利用德摩根定理,利用德摩根 定理,利用常用公式,利用分配律,利用分配律,一、逻辑函数的卡诺图表示法： 1、卡诺图概念：,将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻的排列起来，所得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。,(1)几何相邻：包括几种情况：相接、相对 (2)逻辑相邻：两个最小项，除了一个变量形式不同外，其 余都相同,这两个最小项就叫逻辑相邻. (在逻辑上相邻的最小项是可以合并的),卡诺图化简法,2.6 逻辑函数的化简方法,2、变量卡诺图的画法 ：,(2)卡诺图行列两侧标注的0和1表示使对应方格内最小项为1的变量值。同时这些0和1组成的二进制数大小就是对应最小项的编号，且几何相邻的最小项具有逻辑相邻性。因此，变量的取值按循环码排列，而不是二进制数的顺序排列。,一、逻辑函数的卡诺图表示法：,(1)变量卡诺图一般都画成正方形或矩形。n个变量，小方格数为2n个(最小项总数),如二变量卡诺图，由4个方格组成，每个方格代表一个最小项。图中 每一列和每一行上的1和0分别代表变量A和B的值：写着0的一行代表 ， 而写着1的一行表示A；同样，0代表 ，而1表示B。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,52,二变量卡诺图,三变量卡诺图,四变量卡诺图,五变量卡诺图,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,53,例：画出函数 Y 的卡诺图 。,解：Y的变量是A、B、C、D，先画出四变量卡诺图： 按（2）法，“与项” 对应图中所示卡诺图中AB10这一行四个方格， “与项”ACD对应CD11这一列与A1第三、四两行交盖的面积的两个方格,类推其它两个与项，在这些方格中分别填入1， 便得到函数Y的卡诺图。,(2)对于函数的一般的与或表达式，也可直接将其填在卡诺图中。方法：找出表达式中“与项”同卡诺图面积的对应关系，在“与项”所覆盖面积里的方格上填1，便得到函数的卡诺图。,(3)已知逻辑函数的真值表，则只要将真值表中每组变量取值所对应的函数值填入相应的最小项方格中，即可得到该函数的卡诺图。,(1)已知逻辑函数表达式，把函数化为最小项之和的形式，然后在卡诺图中与这些最小项对应的位置填1，在其余位置上填上0或不填。,3、逻辑函数在卡诺图上的表示,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,54,二、用卡诺图化简逻辑函数,1、化简步骤： （1）画出逻辑函数的卡诺图； （2）合并逻辑函数的最小项(对卡诺图中的1方格画卡诺圈)； （3）选择乘积项写出最简与或式：,利用卡诺图化简逻辑函数的方法称为卡诺图化简法或图形化简法。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,55,(1)合并最小项规则：在n变量卡诺图中，若有2k个“1”格相邻，它们可以圈在一起加以合并，合并时可消去k个不同的变量，合并后结果仅包含这些1项(最小项)的公共变量。若k=n则合并时可消去全部变量，结果为1。,2、卡诺图上最小项的合并,卡诺图化简逻辑函数的基本原理是根据逻辑代数定理：,(2)在用卡诺图化简过程中，最关健的是画卡诺圈这一步，画圈应注意： A、卡诺圈越大越好，但必为2k个方格； B、每个圈至少包含一个新的最小项(新的“1”格)，否则这个圈是多余的； C、卡诺圈的个数应尽可能少；(一个圈与一个与项对应) D、必需把组成函数的全部最小项圈完。（“1”要圈完）,(3)选取的原则： A、每个乘积项所含的因子应该最少； B、选用的乘积项的总数应该最少； C、包含函数的全部最小项。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,56,卡诺图中相邻小方格画圈,2k个“1”格相邻，它们可以圈在一起加以合并，合并时可消去k 个不同的变量： 任何一个标“1”的小方格画一个圈，不消除变量。 任何两个标“1”的小方格画一个圈，消除一个变量。 任何四个标“1”的小方格画一个圈，消除两个变量。 任何八个标“1”的小方格画一个圈，消除三个变量。 任何十六个标“1”的小方格画一个圈，消除四个变量。,每一个圈写一个最简与项，规则是，取值为1的变量用原变量表示，取值为0的变量用反变量表示，将这些变量相与。然后将所有与项进行逻辑加，即得最简与或表达式。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,57,（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,58,（2）任何4个（22个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,59,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,60,（3）任何8个（23个）标1的相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,61,注意：在画卡诺圈时 A、 卡诺圈越大越好，但必为2k个方格； B、 每个圈至少包含一个新的最小项(新的“1”格)，否则 这个圈是多余的； C、 必需把组成函数的全部最小项圈完；(“1”要圈完) D、 卡诺圈的个数应尽可能少。(一个圈与一个与项对应),说明：通过比较，检查得出最简与或表达式； 在卡诺图化简得到的最简与或式不一定是唯一的。,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,62,例1：比较下列卡诺图画法，判断正误。,不正确(多画一个圈),正确,正确,不正确(圈面积不够大),2019/5/1,数字电路与逻辑设计,63,例2、利用图形法化简函数F,2)合并最小项 3)写出最简与或表达式,解：1) 画Y 的卡诺图,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,64,1 1,CD AB 00 01 11 10 00 01 11 10,例3、利用图形法化简函数,3)合并最小项 4)写出最简与或表达式,解：1)将Y转换成与或表达式,0 0 0 0 0 0,1 1 1 1,1 1 1 1,2)画卡诺图,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,65,例4：求最简与或函数式,A,BC,A,BC,A,BC,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,66,例4：,化 简 结 果 不 唯 一,2019/5/1,数字电路与逻辑设计,67,(1)在函数F的卡诺图中，合并那些使函数值为0的最小项，则可得反函数 的最简与或式。,2