2019届高考数学复习专题二1第1讲三角函数的图象与性质学案.docx

第1讲三角函数的图象与性质年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷三角函数的最值T16高考对此部分内容主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第612题或第14、15题位置上，命题的热点主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.卷三角函数的单调性T10卷三角函数图象的应用T152017卷三角函数的图象变换T9卷三角函数的最值T14卷余弦函数的图象与性质T62016卷三角函数的图象变换与性质T7卷同角三角函数的基本关系T5三角函数的图象变换T14三角函数的定义、诱导公式及基本关系(基础型) 三角函数的定义若角的终边过点P(x，y)，则sin ，cos ，tan (其中r) 利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定注意“奇变偶不变，符号看象限” 基本关系sin2xcos2x1，tan x.考法全练1若sin，且，则tan()()A.B.C D解析：选A.由sincos ，且，得sin ，所以tan()tan .2(2018唐山模拟)已知是第三象限的角，且tan 2，则sin()A B.C D.解析：选C.因为是第三象限的角，tan 2，则所以cos ，sin ，则sinsin coscos sin，故选C.3已知，则 _解析：因为 |sin cos |，又，所以原式sin cos .答案：sin cos 4已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边上一点P(4，3)，则的值为_解析：因为tan ，所以tan .答案：5(2018武汉调研)若tan cos ，则cos4_解析：tan cos cos sin cos2，故cos4cos4sin cos4sin sin2sin2sin 1sin2cos21112.答案：2三角函数的图象与解析式(综合型)函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图设zx，令z0，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得(2)图象变换ysin x的图象ysin(x)的图象ysin(x)的图象yAsin(x)的图象典型例题命题角度一由“图”定“式” (一题多解)已知函数f(x)2sin(x)，的图象如图所示，若f(x1)f(x2)，且x1x2，则f(x1x2)的值为()A0B1C. D.【解析】法一：由f(x)2sin(x)，x的图象，得最小正周期T，所以2，所以f(x)2sin(2x)，将点代入，得sin1，又，解得，所以f(x)2sin，由f(x1)f(x2)得sin sin，因为x，所以02x，所以2x12x2，所以x1x2，所以f(x1x2)2sin 1，故选B.法二：由f(x)2sin，x的图象，得最小正周期T，所以2，所以f(x)2sin(2x)，将点代入，得sin1，又，解得，所以f(x)2sin(2x)，因为f(x1)f(x2)且x1x2，由图象得x1x2，所以f(x1x2)2sin1，故选B.【答案】B由“图”定“式”找“对应”由三角函数的图象求解析式yAsin(x)B(A0，0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则MAB，mAB，解得B，A.(2)T定：由周期的求解公式T，可得.记住三角函数的周期T的相关结论：两个相邻对称中心之间的距离等于.两条相邻对称轴之间的距离等于.对称中心与相邻对称轴的距离等于.(3)点坐标定：一般运用代入法求解值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A，B已知)，也可代入图象与直线yB的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)注意在确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解 命题角度二图象变换 (1)(一题多解)(2018南昌调研)函数ysin的图象可以由函数ycos 的图象()A向右平移个单位长度得到B向右平移个单位长度得到C向左平移个单位长度得到D向左平移个单位长度得到(2)(2018石家庄质量检测(一)若0，函数ycos的图象向右平移个单位长度后与函数ysin x的图象重合，则的最小值为()A. B.C. D.【解析】(1)法一：由ycos sin，ysinsin，知函数ysin的图象可以由ycos的图象向右平移个单位长度得到法二：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选B.(2)函数ycos的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为ycoscos，其图象与函数ysin xcos，kZ的图象重合，所以2k，kZ，所以6k，kZ，又0，所以的最小值为，故选B.【答案】(1)B(2)B (1)平移规律由函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法(2)图象变换的实质图象变换的实质点的坐标的变换，三角函数图象的伸缩、平移变换，可以利用两个函数图象上的两个特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取与y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点右侧的第一个中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的长度与方向等命题角度三图象的应用 已知函数f(x)4sincos x，若函数g(x)f(x)m在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围为_【解析】方程g(x)0同解于f(x)m，在平面直角坐标系中画出函数f(x)2sin在上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当m，2)时，方程f(x)m有两个不同的解【答案】，2)巧用图象解决三角方程或不等式问题解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象，然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集准确作出对应函数的图象是解决问题的关键，尤其是作出函数在指定区间上的图象，需要准确把握函数图象的端点值以及最值对点训练1.(2018开封模拟)如果存在正整数和实数使得函数f(x)sin2(x)的图象如图所示(图象经过点(1，0)，那么的值为()A1 B2C3 D4解析：选B.由f(x)sin2(x)及其图象知，1，即，即，得cos 20)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则的最小值为()A. B.C. D.解析：选A.由y2sinsin可得y2sincossin，该函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g(x)sinsin，因为g(x)sin为奇函数，所以2k(kZ)，(kZ)，又0，故的最小值为，选A.三角函数的性质(综合型) 三角函数的单调区间(1)ysin x的单调递增区间是(kZ)，单调递减区间是(kZ)(2)ycos x的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)(3)ytan x的单调递增区间是(kZ) 三角函数的奇偶性、对称轴方程(1)yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得(2)yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得(3)yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数典型例题 (1)(2018柳州模拟)下列函数中同时具有以下性质的是()最小正周期是；图象关于直线x对称；在 上是增函数；图象的一个对称中心为.AysinBysinCysin Dysin(2)(2018郑州第一次质量预测)若将函数f(x)3sin(2x)(0)图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，若函数g(x)是奇函数，则函数g(x)的单调递增区间为()A. (kZ)B. (kZ)C. (kZ)D. (kZ)【解析】(1)因为最小正周期是，所以2，排除A选项；当x时，对于B，ysin0，对于D，ysin，又图象关于直线x对称，从而排除B，D选项，因此选C.(2)由题意知g(x)3sin3sin，因为g(x)是奇函数，所以k(kZ)，即k(kZ)，又00，0)的单调区间，是将x作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为yAsin(x)的增区间(或减区间)，但是当A0，0时，需先利用诱导公式变形为yAsin(x)，则yAsin(x)的增区间即为原函数的减区间，减区间即为原函数的增区间 对点训练1(2018西安八校联考)已知函数f(x)cos(x)(0)在x时取得最小值，则f(x)在0，上的单调递增区间是()A， B，C0， D，解析：选A.因为0，所以，又f(x)cos(x)在x时取得最小值，所以，所以f(x)cos.由0x，得x.由x，得x，所以f(x)在0，上的单调递增区间是，故选A.2(一题多解)(2018高考全国卷)若f(x)cos xsin x 在a，a是减函数，则a的最大值是()A.B.C.D解析：选A.法一：f(x)cos xsin xcos，且函数ycos x在区间0，上单调递减，则由0x，得x.因为f(x)在a，a上是减函数，所以解得a，所以0a，所以a的最大值是，故选A.法二：因为f(x)cos xsin x，所以f(x)sin xcos x，则由题意，知f(x)sin xcos x0在a，a上恒成立，即sin xcos x0，即sin0在a，a上恒成立，结合函数ysin的图象可知有解得a，所以0a，所以a的最大值是，故选A.三角函数图象与性质的综合问题(综合型)典型例题 已知函数f(x)sincos2sin xcos x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)先将函数yf(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求yg(x)在上的值域【解】(1)f(x)sincos2sin xcos xsin 2xcos cos 2xsin cos 2xcos sin 2xsin sin 2xcos 2xsin 2x2sin，所以函数f(x)的最小正周期T.(2)由(1)知f(x)2sin，先将函数yf(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y2sin的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)2sin的图象令tx，则函数g(x)可转化为y2sin t.因为x2，所以t，所以当t，即x时，ymaxg2；当t，即x2时，yming(2)1.所以函数yg(x)在上的值域为1，2求解三角函数的最值或值域，最基本的方法就是换元法，通常有两种类型：(1)“一角一函数”型：通过三角恒等变换，将问题转化为函数yAsin(x)B(或yAcos(x)B)的最值或值域问题，可利用tx换元转化为基本的三角函数yAsin t(或yAcos t)的最值或值域问题求解(2)“二次函数”型：将问题转化为yasin2(x)bsin(x)c的最值或值域问题，可通过tsin(x)换元转化为yat2btc的最值或值域问题求解求解函数在指定区间上的最值或值域，要注意换元后“元”的取值范围 对点训练已知函数f(x)sin(x)图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在x时取得最大值1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x时，若方程f(x)a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3，求x1x2x3的取值范围解：(1)T2，所以sinsin1，所以2k，kZ，所以2k，kZ，因为0，所以，所以f(x)sin.(2)画出该函数的图象如图，当a1时，方程f(x)a恰好有三个根，且点(x1，a)和(x2，a)关于直线x对称，点(x2，a)和(x3，a)关于直线x对称，所以x1x2，x3，所以x1x2x3.一、选择题1(2018南宁模拟)如图，函数f(x)Asin(2x)的图象过点(0，)，则函数f(x)的解析式为()Af(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sin解析：选B.由函数图象可知，A2，又函数f(x)的图象过点(0，)，所以2sin ，即sin ，由于|0)在区间上单调递增，则的取值范围为()A.B.C. D.解析：选B.因为x，所以x，因为函数f(x)sin(0)在区间上单调递增，所以又0，所以00，|)的部分图象如图所示，已知点A(0，)，B，若将它的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)图象的一条对称轴方程为()Ax BxCx Dx解析：选A.因为f(0)2sin ，所以sin ，又|0，且，所以0)的部分图象如图所示，且f(a)f(b)0，对不同的x1，x2a，b，若f(x1)f(x2)，有f(x1x2)，则()Af(x)在上是减函数Bf(x)在上是增函数Cf(x)在上是减函数Df(x)在上是增函数解析：选B.由题图知A2，设ma，b，且f(0)f(m)，则f(0m)f(m)f(0)，所以2sin ，sin ，又|，所以，所以f(x)2sin，令2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，此时f(x)单调递增所以选项B正确6(2018河北“五个一名校联盟”模拟)已知函数f(x)12cos xcos(x3)是偶函数，其中，则下列关于函数g(x)cos(2x)的正确描述是()Ag(x)在区间上的最小值为1Bg(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得到Cg(x)的图象的一个对称中心是Dg(x)的一个单调递减区间是解析：选C.因为函数f(x)12cos xcos(x3)是偶函数，y1，y2cos x都是偶函数，所以ycos(x3)是偶函数，所以3k，kZ，所以，kZ，又00，00，0)为奇函数，所以cos 0(0)，所以，所以f(x)4sin x，又A(a，0)，B(b，0)是其图象上两点，且|ab|的最小值是1，所以函数f(x)的最小正周期为2，所以，所以f(x)4sin x，所以f4sin 2.答案：28已知函数f(x)sin(x)(0，0)，f(0)f，若将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得函数的图象关于原点对称，则_解析：因为f(0)f，则sin sin，所以4k2，kZ，将f(x)的图象向左平移个单位长度后所得函数ysin的图象关于原点对称，则k，kZ，由0，0得10，.答案：9已知函数f(x)sin(2x)acos(2x)(0)的最大值为2，且满足f(x)f，则_解析：因为f(x)f，所以函数f(x)的图象关于直线x对称，由函数的解析式可得2，即a23.若a，则f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，由函数图象的对称性可得2k(kZ)，所以k(kZ)，因为0，所以；若a，则f(x)sin(2x)cos(2x)2sin，由函数图象的对称性可得2k(k