结构可靠度设计原理与应用.doc

华 中 科 技 大 学研究生课程考试答题本考生姓名 考生学号 系、年级 结构工程硕1401班 类 别 学术型 考试科目 结构可靠度设计原理与应用 考试日期 2015年1月20日 评 分题 号得 分题 号得 分总分：评卷人：注：1、无评卷人签名试卷无效。2、必须用钢笔或圆珠笔阅卷，使用红色。用铅笔阅卷无效。题号回 答 内 容得分中心点法1.如图所示圆截面直杆，承受拉力，已知材料的强度设计值的均值，标准差，杆直径的均值，标准差，在功能函数为：1）； 2) ，在这两种情况下，试用中心点法求其可靠度指标和可靠度。 （5分）解：（1）clear all;clc; mufy=310;sigmafy=25;mud=30;sigmad=3;P=120000;syms fy d; %定义符号变量fy和dZ=(pi*d2/4)*fy-P; %定义目标函数pdfy=diff(Z,fy,1); %Z对fy求一阶偏导pdd=diff(Z,d,1); %Z对d求一阶偏导fy=mufy;d=mud; %将均值赋给fy和da=subs(pdfy); %求在均值点处的偏导数b=subs(pdd);c=subs(Z); %求功能函数在均值点的值muZ=c;sigmaZ=(a2*sigmafy2+b2*sigmad2)(1/2);beta=muZ/sigmaZ %求得beta=2.0977Pr=1-normcdf(-beta) %求得可靠概率Pr=0.9820 （2）clear all;clc; mufy=310;sigmafy=25;mud=30;sigmad=3;P=120000;syms fy d; %定义符号变量fy和dZ=fy-4*P/(pi*d2); %定义功能函数pdfy=diff(Z,fy,1); %Z对fy求一阶偏导pdd=diff(Z,d,1); %Z对d求一阶偏导fy=mufy;d=mud; %将均值赋给fy和da=subs(pdfy); %求在均值点处的偏导数b=subs(pdd);c=subs(Z); %求功能函数在均值点的值muZ=c;sigmaZ=(a2*sigmafy2+b2*sigmad2)(1/2);beta=muZ/sigmaZ %求得beta=3.3259Pr=1-normcdf(-beta) %求得可靠概率Pr=0.9996 2.粒状土承受剪切应力，其剪切面法向应力服从正态分布，均值为，标准差为，土的磨擦角服从正态分布，均值为35 ，标准差为5 (=0.0873弧度)。 和相互独立，极限状态方程为：，用中心点法计算值和失效概率。（5分）提示： 解：clear all;clc;muw=100;sigmaw=20;mufai=0.6109;sigmafai=0.0873;tao=52;%角度输入要用弧度制，注意单位要统一syms w fai; %定义变量类型为符号变量Z=w*tan(fai)-tao;pdw=diff(Z,w,1);pdfai=diff(Z,fai,1);w=muw;fai=mufai;a=subs(pdw);b=subs(pdfai);c=subs(Z);muZ=c;sigmaZ=(a2*sigmaw2+b2*sigmafai2)(1/2);beta=muZ/sigmaZ %求得beta=0.9436Pf=1-normcdf(beta) %求得失效概率Pf=0.1727 验算点法3.某钢梁承受确定性弯矩，抗弯截面模量，服从正态分布；钢材强度服从对数正态分布，极限状态方程为。试用中心点法和验算点法求可靠指标及梁的失效概率并比较其计算结果。（20分）解：（1）中心点法clear all;clc;muW=890*10(-6);deltaW=0.05;muf=262000;deltaf=0.1;M=138; %单位统一为kN-msigmaW=muW*deltaW;sigmaf=muf*deltaf;syms f W;Z=f*W-M;pdf=diff(Z,f,1);pdW=diff(Z,W,1);f=muf;W=muW;a=subs(pdf);b=subs(pdW);c=subs(Z);muZ=c;sigmaZ=(a2*sigmaf2+b2*sigmaW2)(1/2);beta=muZ/sigmaZ %求得beta=3.6509Pf=1-normcdf(beta) %求得失效概率Pf=1.3066e-6 （2）验算点法（对于非正态分布，根据等概率原则，将随机变量的分布转化为标准正态分布）clear all;clc;muW=890*10(-6);deltaW=0.05;muf=262000;deltaf=0.1;M=138;sigmaW=muW*deltaW;sigmaf=muf*deltaf;syms Y1 Y2 f W F; %F=log(f)，Y1和Y2服从标准正态分布Z=f*W-M;muF=log(muf/(1+deltaf2)(1/2); %根据f的期望和变异系数求F的期望和标准差sigmaF=(log(1+deltaf2)(1/2);Y1=0;Y2=0; %以均值点作为初始验算点W=muW+sigmaW*Y1;a=sigmaW;%pdW/pdY1=af=exp(muF+sigmaF*Y2);b=f*sigmaF;%pdf/pdY2=bc=subs(Z);d=(f*a)2+(W*b)2)(1/2);beta=(c-(f*a*Y1+W*b*Y2)/d %beta=3.7476alphaY1=-f*a/d;alphaY2=-W*b/d;Y10=beta*alphaY1;Y20=beta*alphaY2;while (Y1-Y10)2+(Y2-Y20)2)(1/2)0.1 %容许误差为0.1 Y1=Y10; Y2=Y20; W=muW+sigmaW*Y1;a=sigmaW;%pdW/pdY1=a f=exp(muF+sigmaF*Y2);b=f*sigmaF;%pdf/pdY2=b c=subs(Z); d=(f*a)2+(W*b)2)(1/2); beta=(c-(f*a*Y1+W*b*Y2)/d alphaY1=-f*a/d;alphaY2=-W*b/d; Y10=beta*alphaY1;Y20=beta*alphaY2;end %beta=4.6001Pf=1-normcdf(beta) %求得失效概率Pf=2.1113e-64.已知某钢筋混凝土受压短柱的极限状态方程为，抗力R服从对数正态分布；恒载,服从正太分布；活载Q服从极致I型分布，。试用JC法求目标可靠指标时，构件截面的抗力平均值 (20分)（提示：;）解：JC法 clear all;clc;muX=319.52;53;70;cuX=0.17;0.07;0.29;sigmaX =cuX.*muX ; sLn=sqrt(log(1+(sigmaX(1)/muX(1)2);mLn=log(muX(1)-sLn2/2;aEv = sqrt(6)*sigmaX(3)/pi;uEv = 0.5772*aEv-muX(3);muX1 =muX;sigmaX1= sigmaX;x = muX ; normX = eps; count = 0;while abs(norm(x)-normX)/normX1e-6 normX = norm(x); g = x(1)-x(2)-x(3); gX = 1;-1;-1; cdfX=logncdf(x(1),mLn,sLn);1-evcdf(-x(3),uEv,aEv); pdfX=lognpdf(x(1),mLn,sLn);evpdf(-x(3),uEv,aEv); nc = norminv(cdfX); sigmaX1(1:2:3) = normpdf(nc)./pdfX; muX1(1:2:3) = x(1:2:3)-nc.*sigmaX1(1:2:3); gs = gX.*sigmaX1; ccosX = -gs/norm(gs); count =count+1; x = muX1+ 3.7*sigmaX1.*ccosXendxR = x(1)cosR = ccosX(1);sigmaX1 = x.*sqrt(log(1+cuX);sigmaRs = sigmaX1(1);muX1 = x-3.7*sigmaX1.*ccosX;muRs = muX1(1);muR=sqrt(1+cuX(1)2).*exp(log(x(1)-1+muX1(1)./x(1)displayString1 = 抗力平均值,num2str(muR)displayString2 = 迭代次数为,num2str(count)%结论：JC法求解，当目标可靠指标=3.7时，经过8次迭代，抗力平均值为519.7522。蒙特卡罗法5.设某构件正截面强度计算的极限状态方程为Z=R-S=0。其中R和S分别为正态和极值I型分布的随机变量，其统计量为R(100,20)和S(80,24)，20和24为标准差。试用JC法和蒙特卡罗模拟分别求解构件失效概率。（20分） 解：（1）JC法clear all;clc;syms R S;muR=100;sigmaR=20;muS=80;sigmaS=24;Z=R-S;alpha=0.78*sigmaS;k=muS-0.5772*alpha; %alpha和k为极值I型分布的两个参数syms x;Scdf=exp(-exp(-(x-k)/alpha); %S概率分布函数Spdf=exp(-(x-k)/alpha-exp(-(x-k)/alpha)/alpha; %S概率密度函数r=muR;s=muS; %初始验算点x=s;a=subs(Scdf);b=subs(Spdf); %求S在均值点处的分布函数值和概率密度值a1=norminv(a); %求其逆概率分布值sigmaS1=normpdf(a1)/b; %S1为NL当量正态化后的变量，服从（muS1,sigmaS1)的正态分布）muS1=s-a1*sigmaS1;c=(sigmaR2+sigmaS12)(1/2);beta=(muR-muS1)/c %beta=0.7906alphaR=-sigmaR/c; %求方向余弦alphaS1=sigmaS1/c;r1=muR+alphaR*beta*sigmaR; %求新的验算点s1=muS1+alphaS1*beta*sigmaS1;while (r-r1)2+(s-s1)2)(1/2)0.1 %容许误差为0.1 r=r1;s=s1; %初始验算点 x=s; a=subs(Scdf);b=subs(Spdf); %求S在均值点处的分布函数值和概率密度值 a1=norminv(a); %求其逆概率分布值 sigmaS1=normpdf(a1)/b; %S1为NL当量正态化后的变量，服从（muS1,sigmaS1)的正态分布） muS1=s-a1*sigmaS1; c=(sigmaR2+sigmaS12)(1/2); beta=(muR-muS1)/c alphaR=-sigmaR/c; %求方向余弦 alphaS1=sigmaS1/c; r1=muR+alphaR*beta*sigmaR; %求新的验算点 s1=muS1+alphaS1*beta*sigmaS1;end %beta=0.7654/0.7651/0.7651/0.7651beta %beta=0.7651pf=normcdf(-beta) %pf=0.2221（2）蒙特卡罗法clear all;clc;syms R S;muR=100;sigmaR=20;muS=80;sigmaS=24;Z=R-S;r=normrnd(muR,sigmaR,1000,1000);s=rand(1000,1000);alpha=0.78*sigmaS;k=muS-0.5772*alpha; %极值I型分布的两个参数syms x;y=exp(-exp(-(x-k)/alpha); %y为S的概率分布函数f=finverse(y);x=s;s1=subs(f);R=r;S=s1;z=subs(Z);m=0;n=0;for i=1:1000 for j=1:1000 if z(i,j)=0; m=m+1; end n=n+1; endendpf=m/n %pf=0.23936.设构件的极限状态方程为：。式中，服从对数正态分布；，为正态分布；，为正态分布；，为正态分布。试用蒙特卡洛法计算该结构构件的可靠度。（10分）解：clear all;clc;syms x1 x2 x3 x4 x111;%x111=log(x1)mux1=25;deltax1=0.23;sigmax1=mux1*deltax1;mux111=log(mux1/(1+deltax12)(1/2);sigmax111=(log(1+deltax12)(1/2);mux2=0.0113;sigmax2=0.3;mux3=0.00006;sigmax3=0.3;mux4=0;sigmax4=0.1;Z=1-x1*x2-x12*x3-x4;x1=lognrnd(mux111,sigmax111,1000,1000);x2=normrnd(mux2,sigmax2,1000,1000);x3=normrnd(mux3,sigmax3,1000,1000);x4=normrnd(mux4,sigmax4,1000,1000);z=subs(Z);m=0;n=0;for i=1:1000 for j=1:1000 if z(i,j)=0; m=m+1; end n=n+1; endendpf=m/n %pf=0.49887.设构件的极限状态方程为，式中，为对数正态分布；，为对数正态分布；，为正态分布；，为极值I型分布。试用蒙特卡洛法计算该结构构件的可靠度。（10分）解：clear all;clc;syms x1 x2 x3 x4 x111 x222;%x111=log(x1)、x222=log(x2)mux1=2234.32;sigmax1=0.1;deltax1=sigmax1/mux1;mux111=log(mux1/(1+deltax12)(1/2);sigmax111=(log(1+deltax12)(1/2);mux2=949.59;sigmax2=0.1;deltax2=sigmax2/mux2;mux222=log(mux2/(1+deltax22)(1/2);sigmax222=(log(1+deltax22)(1/2);mux3=1521.9;sigmax3=0.109;mux4=496.1;sigmax4=0.292;alpha=0.78*sigmax4;k=mux4-0.5772*alpha; %极值I型分布的两个参数syms x;y=exp(-exp(-(x-k)/alpha); %y为x4的概率分布函数f=finverse(y); %求反函数Z=x1+x2-x3-x4;x1=lognrnd(mux111,sigmax111,3000,3000);x2=lognrnd(mux222,sigmax222,3000,3000);x3=normrnd(mux3,sigmax3,3000,3000);x=rand(3000,3000);x4=subs(f);z=subs(Z);m=0;n=0;for i=1:3000 for j=1:3000 if z(i,j)=0; m=m+1; end n=n+1; endendpf=m/n %pf=08.英文翻译（近三年）（20分）2012年现代水利工程国际会议随机响应面法在结构可靠度方面的应用刘英（南昌工程学院土木与建筑工程学院，南昌 330099）摘要：基于随机域的卡亨南-洛维变换展开理论，本文利用埃尔米特多项式混沌展开理论来建立随机响应面函数，其未知量可以通过概率搭配方法计算得到，结构的可靠度可以通过几何方法求得。此方法和蒙特卡罗法比较，可以得出：在分析二阶和三阶随机响应面的性质时，前者可以得到较高的计算精度，同时计算效率也比较高。关键词：随机响应面法；结构可靠度；随机域；蒙特卡罗模拟1 引言在结构工程中，可靠度分析已经被越来越广泛的使用。对于大型而又复杂的工程结构，可靠度代表结构对荷载和环境的承载能力。因此，如何高效的计算结构的可靠度有很重要的实践意义。各种各样的可靠度分析方法，如蒙特卡罗模拟法和扰动随机有限元法等等，已经在文化领域得到认可。一般情况下，第一步就是建立结构的极限状态方程。响应面法是计算结构可靠度的有效方法中的一种。法拉韦利【1】根据大量的实验研究建立了确定性响应面法；巴赫尔【2】建立了插值迭代技术，主要用来模拟极限状态面，尽管计算量较小，检查点也是近似的，但仍具有很重要的意义；卡伊马兹【3】提出了一种加权回归法，此方法的关键就是要求所选的试验点在最可能的地方。随机响应面法（SRSM）是传统响应面法的扩展。两种方法最显著的区别在于建立极限状态函数的方式不同。本文所用的随机响应面法被用来模拟输入的不确定性和系统反应之间的复杂关系，并将输出结果通过埃尔米特多项式混沌展开理论转化为标准随机变量。2 谱随机有限元法2.1 随机域离散化一般地，随机域不仅是空间坐标轴的函数，而且也是随机变量的函数。零平均值随机域表示为： （1） 其中和是随机域的均值和协方差函数。 通常情况下，是有界限的、对称的和正定的，同时也不局限于同一领域，因此它可以分解为： （2） 其中特征值和相关函数可以从下面的积分等式的解中得到。 （3） 因此随机域可以被近似地离散为随机变量，如下式所示： （4） 其中是一组不相关的高斯随机变量，其均值为0，当其展开项达到第三项时，其计算结果就会比较精确。此外，随机变量也满足下面这个等式。 （5）2.2 随机刚度方程的扩展 对于随机结构而言,它的刚度方程可以表示为 （6） 其中刚度矩阵可以表示为 （7）考虑材料属性的随机性，弹性刚度矩阵可以用下式表示： （8）其中是一个确定的矩阵，表示材料属性的随机域，其均值和正确的结构模型都是已知的。因此，联立方程（4）和（8）可以得到方程（9），其表达式如下： （9） 将式（4）和式（8）代入式（7），则可得到扩展刚度矩阵，其表达式如下： （10） 其中是单元刚度矩阵的平均值，是随着的变化而有微小变化的单元刚度矩阵。将上式与随机域的离散化方程联合，可以得到随机结构有限元方程，其表达式如下： （11）3 基于随机响应面法（SRSM）的结构可靠度计算在运用随机响应面法之前，控制点P的随机域可以通过一组不相关的随机变量根据式（4）近似得到，其表达式可表示为：（12） 其中，是未知系数，多维数组P服从埃尔米特多项式，且能用下式表示出来： （13） 因此，式（12）可以被改写为： （14） 其中是待定系数。和与和不同。 在的样本空间里，每一组都相当于一个配置点。将每一个配置点代入式（11），可以得到结点位移矩阵。所以，随机响应面法的关键步骤是如何合理地选择配置点。为了得到更高的计算精度，配置点应该从下一个高阶埃尔米特多项式的根中进行选择。与此同时，配置点应该接近于原点，且与原点对称【4】。一般地，基于回归的方法可以通过选择系数数量两倍多的点来得到更高的计算精度【5】。 将和代入式（14），可以得到一个线性的代数方程，如下式所示： （15）其中是待定系数，可以通过线性最小平方法得到。将代入式（12），可以得到指定点P的极限状态方程，如下所示： （16）其中代表结构失效的临界值，是控制点的随机响应表达。根据的计算结果，结构的可靠度指标可以通过几何方法计算得到。4 数值模拟如图1所示，连续梁承受多种已知荷载作用。假定弹性模量是一个高斯随机过程，其均值，相关系数，协方差函数表达式为。可靠度函数可用下式表示：图1 连续梁基于随机响应面法，连续梁跨中挠度第二阶和第三阶可以通过下式计算得到： （17）图2显示的是可靠度指标与弹性模量的标准差之间的关系。取用较高阶的响应面可以得到更高的计算精度。图3显示的是采用蒙特卡罗法在大量数据基础上进行的收敛性分析。经过对比分析，本文给出了一种基于随机响应面法的高效率方法，分别取九个点和十七个点在二阶和三阶响应面进行分析。 （18） 图2 弹性模量标准差和可靠度指标之间的关系图3 蒙特卡罗法收敛性分析5 结论基于随机响