如何处理棘手的非线性问题.doc

如何处理棘手的非线性问题最近，我的工程师团队遭遇到了一个真正棘手的的问题。这是那种正在变得越来越典型的问题，它真真切切地反映出现今来自于实际问题的挑战和复杂性。为了设计出了一种可膨胀的防泄漏系统，我们需要采用某种非纺织聚合材料作为气囊结构，这种气囊材料像纸一样具有高度的柔韧性，但在特殊的应用中，它会更坚韧，并且具有更多的功能。我们的任务在于：对于某个给定的气囊尺寸，挑选出最优秀地非纺织聚合材料，保证防泄漏系统可以承受14 psi的内压而不破裂。尽管我们解决过一些其他的高度非线性问题，例如，减少复印机中纸张阻塞的问题，改进手机在严重冲击情况下（如跌落）的坚固性问题，以及分析可以承受100 mph风暴袭击的房屋状况，气囊是个棘手的非线性问题。第一步：搞明白我们到底知道什么 首先，我们从已知的事情开始。我们知道气囊结构在未膨胀之前的尺寸，我们有若干种候选材料的数据，包括薄片厚度，以及标准失效实验的单向应力应变曲线。通过一些测试，我们观察到，这些气囊结构会显著地伸长，当压力接近破裂值时，气囊结构大约伸长了20。这个结果是令人迷惑的，因为根据单方向测试获得的极限失效数据显示，我们本应该观察到相对较低的破裂应力。此外，我们发现对于这种材料，得到的Mullen破裂压力（片状结构失效行为TAPPI工业标准）显示出大约100的可变性，然而，当实际气囊充气达到破裂的时候，我们观察到的可变性要低很多。结论是，经典压力容器计算方程对于这种气囊结构的分析是过于简单了它低估了应力和应变的作用，误差甚至达到300的程度！第二步：判断建模是否会起作用使用吸管向一个样本气囊结构内吹气，这就可以实际观察到我们所要面对的挑战，包括褶皱在内的膨胀后复杂的形状表明。我们成功分析的最佳方法是采用显式动态方法（Explicit Dynamics）。这是一种特殊的非线性有限元分析方法，汽车设计工程师们常用这种方法对汽车碰撞过程中安全气囊的展开过程进行模拟分析。首先：判断我们是否可以作出一个有限元模型，这个模型可以模拟类似吸管实验中的气囊结构的膨胀过程。根据单向材料数据，我们建立了一个未充气的气囊结构的ABAQUS/Explicit FEA模型，然后分析当其内压达到1 psi的情况（1 psi是我们估计我们可以加于测试气囊内的压强）。FEA模型的膨胀与真实气囊的膨胀非常相像，甚至模拟了包括所有的复杂褶皱和凸出部位在内的情况。这个初步的努力花费了好几天时间，“是的，这的确可以建模。”能够建模吗？在工作间内，我们用吸管向一个样本气囊结构内充气，令其膨胀，与最初有限元分析预计相比，这些模型清楚的表明，动态有限元分析可以预计气囊结构的膨胀过程，甚至包括复杂的起皱现象。第三步： 描述材料特征我们需要说明与材料行为有关的两个令人迷惑的矛盾：1. 轴向拉伸测试中的失效应力远远低于在气囊破裂测试中的失效应力。 2. 对比在实际气囊破裂测试中观察到的情况，Mullen破裂数据显示，在气囊破裂测试方面，材料表现出更大的可变性。 非纺织材料的表面的是无规律的，导致材料具有薄弱点和坚固点。在单向测试中，就像众所周知的链条上的脆弱环节一样，一个长而细的测试棒总在其薄弱点发生破坏。然而，在膨胀时，片状结构加载的二维特性允许在片状结构表面存在多种加载路径，这使片状结构不像“最脆弱环节问题”那样易于破坏。在气囊形式中，材料的薄弱区域会获得来自临近坚固区域的支持。这可以解释为什么在气囊膨胀时，单向失效应变数据往往低于材料的实际失效应变极限。我们根据Mullen测试数据设计了一个直径一英寸的测试样本，对于我们的材料而言，这大致相当于表面情况变化（薄弱点或坚固点）的尺寸。所以，在Mullen破裂实验中，我们能够很容易地获得完全是薄弱区或完全是坚固区的样本，这样可以得到观察时剧烈变化时的Mullen破裂值。然而，当我们采用典型的气囊时，例如1010英寸，气囊已经足够大，使它上边地坚固区域能够分担薄弱区域的载荷，从而显著的降低了所观测到的破裂情况的变化过程。这些观察导致我们采用我们自己的“起泡检测器” 一个大尺寸版本的Mullen监测器来获取破裂数据。起泡检测器的直径设置为六英寸，可在气囊材料中产生足够的“周边支持”，并使材料的尺寸处于有实用性的气囊尺寸范围以内。不幸的是，无论是对于起泡检测还是Mullen检测，直接得到材料的极限应力都是不可能的。这些检测仅仅能记录测试样本的应变，以及所加的压力。改进材料的失效特性起泡检测数据与非线性FEA模型相结合，用于对材料最终应力极限和统计偏差进行评估。在起泡检测中，针对某一材料要进行无数次的样本测试试验，记录每一个样本的实际破裂压力。通过计算起泡检测的非线性FEA模型，获得实际起泡检测压力与材料应力的关系。这种离散的FEA数据输入到Mathcad软件中，采用样条插值和曲线拟合的计算方法，拟合出膨胀压力对材料应力的非线性传递函数。最后，通过非线性传递函数，将实物起泡检测中所有的破裂压力值都转换为极限材料应力值（每个样本有一个极限应力值）。在文中所述的例子中，为了评估极限应力的偏差，我们测试了12个样本，并算出了12个极限应力值。在Mullen破裂测试和我们的起泡检测中，我们夹紧扁平的圆片的圆周，并加压充气至鼓泡的形状。这种变形的特点在于，对于任何一个给定的气压，应变以及应力在鼓泡的表面不同区域是不同的，这与理想的单向拉伸测试或理想的球面膨胀测试不同，因为这两种理想测试在给定负载下具有均布的应力状态。对于均匀材料，鼓泡的最大应变出现在鼓泡上表面的中心点。对于非纺织品这样的表面不均匀材料，最大应变点出现在鼓泡上表面中心点的附近。通过将单向拉伸数据以及起泡检测数据一起分析，并结合针对起泡检测的非线性FEA模型，我们能够得出一个实用的方法，模拟材料行为的统计偏差。我们使用单向拉伸数据得到非线性应力/应变曲线的形状，采用起泡检测的破裂测试结果获得材料的失效应变以及应力的极限值。由于在起泡检测中观察到的失效极限高于单向拉伸数据，我们简单的利用二阶曲线拟合，外推了单向拉伸数据。之后用实际起泡测试的非线性FEA模型验证这一拟合。我们通过以下方法描述某个给定材料的特性：采用经过外推的单向材料数据，运用起泡膨胀测试单一的非线性FEA模型，设置模型使其不至于失效。这样可以得到起泡膨胀压力和预计的在鼓泡中心的材料应变/应力之间的一般关系。来自于模型的离散数据，即鼓泡中心的应力/应变数据，被输入到Mathcad工程计算程序中。在Mathcad中，采用三次样条插值以及曲线拟合，可以很容易获得这个非线性传递函数的虚拟解析形式。之后，可以通过起泡检测获得一系列实验样本的破裂压力值，然后输入到Mathcad的工作表中，使用非线性传递函数，绘制破裂压力相对极限应力估计值变化的曲线。使用这一方法，材料失效行为以及它们的变差的实测观察值被转换为在近似于真实气囊材料的加载状态下的单独样本的极限应力值。方法的主要特点在于，所有的材料变化特性都被汇总到失效行为之中，基本的应力应变曲线形状代表了通常的情况，无论对材料特性的分析还是气囊特性的分析，这种方法都显著简化了分析过程，提高了分析的效率。相对于下面这种方法即生成众多FEA模型，每一个模型都是由随机分布的薄弱材料或坚固材料块组成，之后采用蒙特卡罗方法进行分析我们的非线性传递函数方法，对每种材料仅采用了一个单独的FEA模型，是一种更加可行、更有效的方法。不停地充气，直到破裂我们对气囊不停地充气，直到它们涨破为止，将气囊的形状以及应变的情况与FEA模型相对比。在低压及适度的压力下，边缘附近的褶皱是可见的。在高压下，这些褶皱消失。非接触式激光变形测量计会记录整个膨胀测试过程中多个样本的应变，帮助进行数值上的模型验证。FEA模型对数值的预计是非常出色的。需要注意的是，这种预计是来自于FEA模型，而不是根据气囊应变测量数据而拟合得到的曲线。第四步：验证模型为了进一步验证我们的气囊膨胀模型，我们将气囊膨胀实验与我们的FEA模型进行了对比，不过这个FEA模型是基于我们改进后的材料性能设计的。在膨胀过程中，我们的对比着眼于气囊的形状、气囊中心的局部应变以及破裂压力这几个方面。Gotcha! 当使用三次样条插值和曲线拟合方法从离散数据中产生虚拟分析函数时，我们需要格外小心。上图显示了三次样条插值如何在外推的过程中溢出原始数据的情景。以及仅使用最后的几个数据点计算曲线拟合系数的二阶拟合曲线。在Mathcad中，可以采用“if”逻辑将这两种曲线结合起来。FEA模型采用了和起泡分析方法