结构位移计算1.ppt

第6章 结构位移计算,6-1 概述,6-2 变形体系的虚功原理,6-3 位移计算的一般公式,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,6-5 图乘法,6-6 静定结构温度变化时的位移计算,6-7 静定结构支座移动时的位移计算,6-8 线弹性结构的互等定理,3,前面所学5种静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结构) 的内力计算可归结为强度问题, 而结构力学的重要任务之一是解决刚度问题结构位移计算。,本章依据虚功原理，先推导出杆件结构位移计算的一般公式，再讨论具体结构的位移。,6-1 概 述,1. 变形和位移,变形形状的改变； 位移各截面位置的移动。,结构由可变形(固体)材料组成，在荷载作用下会产生变形和位移。,2. 位移的分类,截面的线位移，,截面的角位移，,A,绝对 位移,杆件的角位移，,AB,A,B,C,D,相对 位移,广义的位移角、线位移；相对、绝对位移,3. 引起位移的原因,（1）荷载作用内力变形位移,（2）温度变化结构变形位移,（3）支座位移几何位置改变位移,4计算结构位移的目的,铁路钢板桥和钢桁梁：最大挠度 1/700 和1/900跨度,吊车梁: 允许挠度 1/600 跨度；,高层建筑: 最大位移1/1000高度；最大层间位移1/800层高,1）校核刚度不超过许用值，以防变形过大影响，正常使用。,2）满足施工要求,悬臂拼装架梁: 正常使用时最大挠度在跨中，施工时悬臂端挠度最大。,结构的变形(可能与正常使用时完全不同)。,B,设定起拱高度：,3）解超静定问题 平衡条件+变形协调条件(求结构的位移) 4）动力计算的需要,5位移计算的有关假定 1）线弹性 2）小变形 3）理想联结,功=力力作用点沿其方向的位移,6-2 变形体系的虚功原理,功的定义,常力功,变力功,力偶功,M=Fd,广义力集中力，力偶，一对力偶； 广义位移沿力方向的线位移，沿力偶转向的角位移，相对位移。,d,功=广义力广义位移,其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的乘积表示：,1) 集中力做功,2) 集中力偶作功,4) 两等值反向的集中力偶做功,3) 两等值反向的集中力作功,功=广义力广义位移,2. 实功与虚功,实功,A,B,F1,1,虚功力在非自身原因（其它力、温度改变、支座移动、制造误差等）所产生的位移上作的功, 力与位移毫不相干。,W12=F12,力在其本身引起的位移上作的功：,1,2,F2,理想约束的刚体系处于静力平衡时，外力在任何可能的虚位移上所做的虚功总和为零。,=1.5F1,根据力矩平衡条件,3. 刚体的虚功原理,力与虚位移无关，为分析方便，力状态与位移状态分开。 力状态所有外力(包括反力)处于平衡状态； 位移状态其它原因(别的力、温度变化、支座移动等)引起的虚位移，约束条件允许的微小位移。,4. 变形体的虚功原理,力状态：静力平衡,位移状态：其它原因引起,14,微段ds上所有的力(6内1外)所做的虚功: 按外力虚功与内力虚功计算:,j,相邻微段k、j、i连续，变形协调，位移相等，而力为作用力 与反作用力，,虚功相互抵消，即W内=0，故：,(2) 按刚体虚功与变形虚功计算,微段ds处于平衡状态，dW刚，故：,将ds的虚位移分解：,(1)刚体虚位移: ABCD ABCD,由(a)(b)两式，变形体的虚功原理：,(2)变形虚位移: ABCD ABCD,变形体的虚功原理：处于平衡状态的变形体产生虚位移时，所受外力在该虚位移上所做的总虚功(外力虚功)，等于各微段截面上的内力在其变形上所做的虚功之和(变形虚功)。,适用于任何材料(弹、非弹性，线、非线性)、任何类型的结构；,外力与虚位移独立，毫不相干，虚位移由其它原因引起，外力在此虚位移上做虚功。,外力,虚位移,外力虚功,内力,变形,变形虚功,=,两种应用情形： 1)虚位移原理给定力状态，另设一位移状态，用虚功方程求力状态的未知力。,2)虚力原理给定位移状态，另设一力状态，用虚功方程求位移状态的未知位移。,17,5变形虚功的计算,d=kds,轴向变形虚功： dW=FNdu= FNdds,剪切变形虚功： dW=Fsds,弯曲变形虚功： dW=Md=Mkds,微段变形虚功： dW变=FNdds+ Fsds+Mkds =(FNd+Fs+Mk)ds,总变形虚功： W变=(FNd+Fs+Mk)ds,由变形体的虚功原理： W外=(FNd+Fs+Mk)ds,1. 位移计算的一般公式,设一刚架因外荷载(F1、F2)、温度变化(t1、t2)及支座移动(C1、C2、C3)等引起位移，求任一截面K沿k-k的位移K 。,6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法,19,实际位移状态,K，ci,虚拟力状态,由虚功原理：,du、d、ds,可得：,位移计算的一般公式，若计算结果为正，所求位移K与假设的 FK=1同向, 称为单位荷载法。,2 力的虚设方法,大小 一般虚设单位力；,作用点 作用在所求位移的点及方向上；,方向随意假设，若求出的位移为正，与假设方向一致。,性质与所求的位移对应。,据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。,求线位移加单位集中力； 求转角加单位力矩； 求二点的相对位移加一对相反的单位集中力； 求二点相对转角加一对单位力矩。,1. 求Ax,虚拟状态,A,1,A,2. 求A,1,虚拟状态,A,A,虚拟状态,虚拟状态,B,3. 求AB,1,1,B,4. 求AB,1,1,课 堂 练 习,给结构设置相应的虚拟力状态，以便用单位荷载法计算位移。,5.求A、B两点相对竖向位移,6. 求A、B两点相对水平位移,7. 求C点相对转角位移,C,L,8. 求CD杆相对转角位移,广义力与广义位移对应,6-4 静定结构在荷载作用下的位移计算,当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位移KP。,KP=,1. 一般公式,因没有支座位移，故一般公式为：,由材料力学知：,dP=,duP=,Pds=,代入，得：,平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式,2. 公式简化,1. 梁和刚架：,K=,2.桁架：,K=,3. 组合结构：,K=,实际计算时，根据结构的具体情况，一般公式可以简化：,弯曲变形为主，轴向、剪切变形可略去：,只有轴力，同一杆件轴力为常数：,3. 计算步骤,1） 虚设单位力,2） 求,3） 求,4） 代入相应的简化公式求解。,例 6-1 求图示刚架A点的竖向移Ay。E、A、I为常数。,A,B,C,q,L,L,A,实际状态,虚拟状态,A,B,C,1,解：1）设置虚拟状态,x,x,选取坐标如图。,则各杆弯矩方程为:,x,x,AB段：,BC段：,2. 实际状态各杆弯矩方程：,3. 代入公式,得：,Ay=,(),=,(-x)(-,2,qx,2,),EI,dx,+,(-L),(-,2,qL,2,),EI,dx,注：若同时考虑轴向、剪切变形的影响，则结果见P101。,28,2. 图示桁架结点C水平位移不等于零。,1. 求图示梁铰C左侧截面的转角时，其虚拟状态应取：,课 堂 练 习,29,3.图示桁架各杆EA相同，结点A和结点B的竖向位移均为零。,0,0,0,0,0,0,0,0,拉,压,压,压,0,0,0,0,6-5 图 乘 法,MP(x),dA,x,公式推导 梁和刚架在荷载作用下的位移，需积分:,C,=xCtg,Vereshagin于1925年提出，当时是莫斯科铁路运输学院学生,几何意义-一个弯矩图的面积A乘以其形心对应的另一直线弯矩图的竖标 yC，再除以EI，即得结构上某截面处的位移。,若结构上各杆段均可图乘则位移计算公式可写成：,注意:,（2）竖标yC只能取自直线图形；两图均为直线时，yC可任取；,（3）若A与yC在基线同侧则乘积为正；,（4）不要漏掉1/EI。,（1）必须符合上述前提条件；,2. 熟记常见图形的面积和形心,直角三角形,标准二次抛物线,标准二次抛物线,顶点抛物线上切线平行于底边的点； 标准抛物线顶点在中点或端点的抛物线。,图,B,A,q,例 求图示梁( EI= 常数，跨长为l ) B截面的转角 。,MP图,解： 1. 作MP图、,2. 图乘计算。,例 6-4 求刚架C、D两点间距离的改变量，EI=常数。,解：,作实际状态的MP图，,设置虚拟状态并作,1,1,h,h,yC=h,图乘计算：,（）,36,1) 当yC所属M图为折线，或各段截面不等时，应分段图乘。,A1,A2,A3,y1,y2,y3,A1,A2,A3,y1,y2,y3,=,(A1y1+A2y2+ A3y3),I1,I2,I3,练习： P118 6-5 判断正误,3.复杂图形图乘时的分解,2）当面积和形心不易确定时，分解成简单图形，分别与另一图形相乘，最后再叠加。,MP图,a,b,c,d,l,y1=2c/3+d/3 y2=c/3+2d/3,y2,y1,A1,A2,a,b,c,d,l,两梯形之间图乘的速记公式：,a、b、c、d在基线同侧时乘积为正，反之为负。,练习：,MA,FsA,FsB,MB,3）均布荷载作用下，M图可视为梯形与标准抛物线的叠加。,叠加后与原抛物线图形的面积大小和形心位置以及形心处竖标仍然相同。,A,B,L,例 6-5 求图示刚架A点的竖向位移Ay 。,F,F,FL,MP图,1,L,解： 1. 作MP图、,2. 图乘计算。,图,1,y2,y3,+,解：,2. 图乘计算,y1,MP图,A2,A3,例 6-6 求外伸梁C点的竖向位移Cy。EI=常数。,A1,例 刚架EI=1.5105kN.m2，求Cy和C 。,6m,44,课 堂 练 习,1.用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移。,（X）,2.图示刚架B点的水平位移是： A不定，方向取决于a的大小 B向左 C 等于零 D 向右,45,3 求Ay和A 。,46,受弯杆件抗弯刚度EI，压杆抗拉刚度EA，且A=I/(30m2)， 求D端的转角。,D,8kN/m,3m,2m,2m,-0.5,16kN.m,-32,47,6-6 静定结构温度变化时的位移计算（自学）,温度变化时不产生内力，但热胀冷缩将使其产生变形和位移。,设结构外侧温升 t1，内侧温升 t2 ,求K点的竖向位移Kt 。,任一微段ds, 温度变化产生的变形：,dt,伸长：dut=(t1ds+t2ds)/2= tds,式中,转角：dt=(t2ds-t1ds)/h=,Kt=,剪切角：t=0,t= t2t1,若各杆均为等截面：,乘积的正负：当实际温度变形与虚拟内力方向一致为正，不一致则为负。,梁和刚架略去轴力影响：,桁架可简化为：,P110例题6-8自学。,49,L,L,t1,t2,实,解：外侧温变：,绘,图，,A,A,1,虚,1,代入公式，注意正负号(判断)：,L,Ay,t1= -10-20=-30,内侧温变：,t2=0-20=-20,t=(t1+t2)/2=-25,例6-5 刚架施工时温度为20，求冬季外侧温度为-10，内侧温度为0时A点位移 Ay。已知L=4m，=105，各杆均为矩形截面，高度h=0.4m。,6-7 静定结构支座移动时的位移计算,支座移动会使某些截面产生位移，但不会使其变形，,计算公式可化简:,实际状态的支座移动,?,注:,例6-9 三铰刚架右支座位移By=0.06m，Bx=0.04m，已知 L=12m，h=8m。求A 。,实,解：虚拟状态如图。,=0.0075rad (),虚,A,解： 虚拟状态如图。,=0.005rad (),又例. 刚架支座A位移a=3cm和b=1.5cm，求支座C截面转角 。,A,B,C,虚,实,制造误差引起的位移计算,原理与温度变化位移计算相同，只需将制造误差引起的实际变形视为虚拟状态的虚位移。由一般公式：,对桁架：,虚拟状态的杆轴力,杆件的制造误差,解：虚拟状态如图。,= - 0.01a (),2、图 示 桁 架 ， 设 其 制 作 完 工 后 ， 各 杆 均 发 生 1 / 1000 的 收 缩 ， 则 结 点 C 的 竖 向 位 移,例. 桁架制作时两上弦杆均比设计尺寸长了1/100，求结点C 的竖向位移 。,6-8 线弹性结构的互等定理,1. 功的互等定理,第一状态 M1、FN1、FS1、F1、21,第一状态的外力在第二状态相应的位移上所作的虚功W12;,两组外力F1、F2分别作用于同一线弹性结构上，分别称为第一状态和第二状态。,第二状态 M2、FN2、FS2、F2、12,第一状态的内力在第二状态相应的变形上所作的虚功W12i;,原因,方位,W12=,F112,W21=,F221,同理有：,结论：在线弹性体系中： 第一状态的外力在第二状态相应的位移上所作的虚功W12等于第二状态的外力在第一状态相应的位移上所作的虚功W21。,注意：F1,F2可以是广义力,12, 21为相应广义位移,2. 位移互等定理,112=121,12= 21,如：,若一、二两状态中荷载都是单位力，F1=1，F2=1，据功的 互等定理，有：,第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向的位移，等于 第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向的位移。,. 反力互等定理,1=1,2=1,据功的互等定理,r121= r212,即,r12= r21,