2019届高考数学复习专题二2第2讲三角恒等变换与解三角形学案.docx

第2讲三角恒等变换与解三角形年份卷别考查内容及考题位置命题分析2018卷利用正、余弦定理求边或角T171.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现2若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第49题或第1315题位置上3若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等.卷利用余弦定理求边长T6三角恒等变换T15卷倍角公式T4三角形的面积公式T92017卷正、余弦定理、三角形的面积公式及两角和的余弦公式T17卷余弦定理、三角恒等变换及三角形的面积公式T17卷余弦定理、三角形的面积公式T172016卷正、余弦定理、两角和的正弦公式T17卷诱导公式、三角恒等变换、给值求值问题T9正弦定理的应用、诱导公式T13卷正、余弦定理解三角形T8三角恒等变换与求值(基础型) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin .(2)cos()cos cos sin sin .(3)tan(). 二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos .(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan 2. 三角恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45等(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦考法全练1已知，tan 2，则cos_解析：因为，tan 2，所以sin ，cos ，所以coscos cossin sin.答案：2已知cos ，cos()，且，则cos()_解析：因为，所以2(0，)因为cos ，所以cos 22cos21，所以sin 2，又，所以(0，)，所以sin() ，所以cos()cos2()cos 2cos()sin 2sin().答案：3已知sin ，且sin()cos ，则tan()_解析：因为sin ，且，所以cos ，tan .因为sin()sin cos cos sin cos ，所以tan ， 所以tan()2.答案：2正、余弦定理在解三角形中的应用(综合型) 正弦定理及其变形在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等 余弦定理及其变形在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A. 三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.典型例题命题角度一求解三角形中的角 已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcos Cbsin Ca.(1)求角B的大小；(2)若BC边上的高等于a，求cos A的值【解】(1)由bcos Cbsin Ca，得sin Bcos Csin Bsin Csin A.因为ABC，所以sin Bcos Csin Bsin Csin(BC)，即sin Bcos Csin Bsin Csin Bcos Ccos Bsin C，因为sin C0，所以sin Bcos B.因为B(0，)，所以B.(2)设BC边上的高为AD，则ADa.因为B，所以BDADa，所以CDa，所以ACa，ABa.由余弦定理得cos A.利用正、余弦定理求三角形的角，常见形式有：(1)已知两边及其夹角，先由余弦定理求第三边，再由正弦定理求角(2)已知三边，直接由余弦定理求角(3)已知两边及其中一边的对角，先由正弦定理求另一边的对角，再由三角形内角和求第三角，注意此类问题有一解、两解或无解的情况 命题角度二求解三角形中的边与面积 如图所示，在ABC中，点D为BC边上一点，且BD1，E为AC的中点，AE，cos B，ADB.(1)求AD的长；(2)求ADE的面积【解】(1)在ABD中，因为cos B，B(0，)，所以sin B，所以sinBADsin(BADB).由正弦定理知，得AD2.(2)由(1)知AD2，依题意得AC2AE3，在ACD中，由余弦定理得AC2AD2DC22ADDCcosADC，即94DC222DCcos，所以DC22DC50，解得DC1(负值舍去)，所以SACDADDCsinADC2(1)，从而SADESACD.利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，如该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性而三角形的面积主要是利用两边与其夹角的正弦值求解 对点训练1(2018高考全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解：(1)在ABD中，由正弦定理得.由题设知，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.2(2018山西八校第一次联考)在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且(ac)2b23ac.(1)求角B的大小；(2)若b2，且sin Bsin(CA)2sin 2A，求ABC的面积解：(1)由(ac)2b23ac，整理得a2c2b2ac，由余弦定理得cos B，因为0B0，所以sin B2sin Bcos C，所以cos C.因为C(0，)，所以C.(2)由(1)及余弦定理得cos C，又c2，所以a2b212ab，所以(ab)2123ab3，即(ab)248(当且仅当ab2时等号成立)所以ab4，abc6.所以ABC周长的最大值为6.2(2018武汉调研)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足cos 2Acos 2B2coscos0.(1)求角A的值；(2)若b且ba，求a的取值范围解：(1)由cos 2Acos 2B2coscos0，得2sin2B2sin2A20，化简得sin A，又ABC为锐角三角形，故A.(2)因为ba，所以ca，所以C，B，所以sin B.由正弦定理，得，所以a，由sin B得a，3)A组夯基保分专练一、选择题1(2018高考全国卷)已知函数f(x)2cos2xsin2x2，则()Af(x)的最小正周期为，最大值为3Bf(x)的最小正周期为，最大值为4Cf(x)的最小正周期为2，最大值为3Df(x)的最小正周期为2，最大值为4解析：选B.易知f(x)2cos2xsin2x23cos2x1(2cos2x1)1cos 2x，则f(x)的最小正周期为，当xk(kZ)时，f(x)取得最大值，最大值为4.2在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，则sin B为()A.B.C. D.解析：选A.由bsin Basin Aasin C，且c2a，得ba，因为cos B，所以sin B .3(2018洛阳第一次统考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2c2acbc，则()A. B.C. D.解析：选B.由a，b，c成等比数列得b2ac，则有a2c2b2bc，由余弦定理得cos A，故A，对于b2ac，由正弦定理得，sin2 Bsin Asin Csin C，由正弦定理得，.故选B.4(2018昆明模拟)在ABC中，已知AB，AC，tanBAC3，则BC边上的高等于()A1 B.C. D2解析：选A.法一：因为tanBAC3，所以sinBAC，cosBAC.由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC5229，所以BC3，所以SABCABACsinBAC，所以BC边上的高h1，故选A.法二：因为tanBAC3，所以cosBAC0，则BAC为钝角，因此BC边上的高小于，故选A.5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A. B.C. D.解析：选B.因为sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得sin C(sin Acos A)0.因为sin C0，所以sin Acos A0，所以tan A1，因为A(0，)，所以A.由正弦定理得sin C，又0C，所以C.6.如图，在ABC中，C，BC4，点D在边AC上，ADDB，DEAB，E为垂足若DE2，则cos A等于()A. B.C. D.解析：选C.依题意得，BDAD，BDCABDA2A.在BCD中，即，由此解得cos A.二、填空题7若sin，则cos_解析：依题意得coscoscos2sin2121.答案：8(2018高考全国卷改编)在ABC中，cos，BC1，AC5，则AB_解析：因为cos C2cos2 121，所以由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C25125132，所以AB4.答案：49(2018惠州第一次调研)已知a，b，c是ABC中角A，B，C的对边，a4，b(4，6)，sin 2Asin C，则c的取值范围为_解析：由，得，所以c8cos A，因为16b2c22bccos A，所以16b264cos2A16bcos2A，又b4，所以cos2A，所以c264cos2A64164b.因为b(4，6)，所以32c240，所以4c2.答案：(4，2)三、解答题10(2018沈阳教学质量监测(一)在ABC中，已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2ccos B2ab.(1)求C；(2)若ab6，ABC的面积为2，求c.解：(1)由正弦定理得2sin Ccos B2sin Asin B，又sin Asin(BC)，所以2sin Ccos B2sin(BC)sin B，所以2sin Ccos B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B，所以2sin Bcos Csin B0，因为sin B0，所以cos C.又C(0，)，所以C.(2)因为SABCabsin C2，所以ab8，由余弦定理，得c2a2b22abcos Ca2abb2(ab)2ab28，所以c2.11(2018石家庄质量检测(二)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且tan Atan B.(1)求角A的大小；(2)设AD为BC边上的高，a，求AD的取值范围解：(1)在ABC中，因为tan Atan B，所以，即，所以，则tan A，所以A.(2)因为SABCADBCbcsin A，所以ADbc.由余弦定理得cos A，所以0bc3(当且仅当bc时等号成立)，所以0AD.12(2018郑州质量检测(二)已知ABC内接于半径为R的圆，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，c3.(1)求A；(2)若AD是BC边上的中线，AD，求ABC的面积解：(1)对于2R(sin2Bsin2A)(bc)sin C，由正弦定理得，bsin Basin Absin Ccsin C，即b2a2bcc2，所以cos A，因为0A180，所以A60.(2)以AB，AC为邻边作平行四边形ABEC，连接DE，易知A，D，E三点共线在ABE中，ABE120，AE2AD，在ABE中，由余弦定理得AE2AB2BE22ABBEcos 120，即199AC223AC，得AC2.故SABCbcsinBAC.B组大题增分专练1(2018长春质量监测(二)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积Sb2sin A.(1)求的值；(2)设内角A的平分线AD交于BC于D，AD，a，求b.解：(1)由Sbcsin Ab2sin A，可知c2b，即2.(2)由角平分线定理可知，BD，CD，在ABC中，cos B，在ABD中，cos B，即，解得b1.2(2018贵阳模拟)已知在ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，AB边上的高hc.(1)若ABC为锐角三角形，且cos A，求角C的正弦值；(2)若C，M，求M的值解：(1)作CDAB，垂足为D，因为ABC为锐角三角形，且cos A，所以sin A，tan A，所以AD，BDABAD，所以BC，由正弦定理得：sinACB.(2)因为SABCccabsinACBab，所以c2ab，又a2b2c22abcosACBab，所以a2b2abc2，所以a2b2c2abc2abab2ab，所以M2.3(2018合肥质量检测)已知ABC中，D为AC边上一点，BC2，DBC45.(1)若CD2，求BCD的面积；(2)若角C为锐角，AB6，sin A，求CD的长解：(1)在BCD中，CD2BC2BD22BCBDcos 45，即208BD24BD，解得BD6，所以BCD的面积S26sin 456.(2)在ABC中，由得，解得sin C.由角C为锐角得，cos C，所以sinBDCsin(C45).在BCD中，即，解得CD.4(2018高考天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对