2018高考数学（理）第一次模拟试卷(含答案.docx

2018高考数学（理）第一次模拟试卷(含答案数学(理科)本试卷共4页，满分150分考试用时120分钟注意事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1）已知集合 ， ，则 （A） （B） （C） （D） （2）已知复数 ，则 （A）4 （B）6 （C）8 （D）10（3）已知向量 ， ，若 ，则 （A） （B） （C） （D） （4）一个圆柱形水桶，底面圆半径与高都为2（桶底和桶壁厚度不计），装满水后，发现桶中有一个随处悬浮的颗粒，用一个半径为1的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为（A） （B） （C） （D） （5）已知 ，实数 满足 ，则 （A） （B） （C） （D） （6）与中国古代数学著作算法统宗中的问题类似，有这样一个问题：“四百四十一里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天行走的路程为（A）3.5里 （B）7里 （C）14里 （D）28里（7）函数 的部分图象大致为 （A） （B） （C） （D）（8）已知两条直线 与 被圆 截得的线段长均为 ，则圆 的面积为（A） （B） （C） （D） （9）某几何体三视图如图1示，则此几何体的表面积为（A） （B） （C） （D） （10）已知F1、F2是双曲线C的两个焦点，P是C上一点，线段 的垂直平分线经过点F2，且 ，则此双曲线C的离心率为（A） （B） （C） （D） （11）某地铁站有A、B、C、D、E五个自动检票口，有4人一同进站，恰好2人通过同一检票口检票进站，另2人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为（A）60 （B）180 （C）360 （D）720（12）已知 是函数 的极值点，且满足 ，则符合要求的 的个数为（A） （B） （C） （D） 第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第(22)题第(23)题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上（13）图2是一个算法流程图，若输入x的值为 ，则输出的y的值是 .（14）已知实数 满足约束条件 ，则 的取值范围为是 （15）已知数列 满足 ，设数列 的前n项和为 ，则 =_. （16）已知抛物线 的焦点为 ，抛物线上的动点 （不在原点）在 轴上的投影为 ，点 关于直线 的对称点为 ，点 关于直线 的对称点为 ，当 最小时，三角形 的面积为 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 ， ， .（）求角A的值；（）求ABC的面积（18）（本小题满分12分）如图3，在三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC和PAC都是正三角形， ，E、F分别是AC、BC的中点，且PDAB于D. （）证明：平面PEF平面PED；（）求二面角 的正弦值（19）（本小题满分12分） 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 100元，在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个250元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得图4的条形图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在 图4购买易损零件上所需的费用（单位：元）, 表示购机的同时购买的易损零件数.（I）若 =19，求y与x的函数解析式；（II）以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率（）若要求“需更换的易损零件数不大于 ”的概率不小于0.5，求 的最小值；（）假设 取19或20，分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？（20）（本小题满分12分）已知A是椭圆 上的动点，点 ，点 与点 关于原点对称.（I）求PAC面积的最大值；（II）若射线 、 分别与椭圆T交于点 、 ，且 ， ，证明： 为定值（21）（本小题满分12分） 已知 ，函数 . （I）讨论 的单调性；（II）已知当 时，函数 有两个零点 和 （ ），求证： 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分（22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为 （t为参数），直线l2的参数方程为 （m为参数），当k变化时，设 l1与l2的交点的轨迹为曲线C （I）以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程；（II）设曲线C上的点A的极角为 ，射线OA与直线 的交点为B，且 ，求 的值（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数 ，a为实数（I）当 时，求不等式 的解集； （II）求 的最小值揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数四、只给整数分数 一、选择题题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D B A A B C A B D C B解析: （9）由三视图知，该几何体是一棱长为2的正方体和一底面半径为 、高为1的圆柱的组合体，其表面积 .（10）不妨设点P在第一象限，依题意有 ， ，又由 得 .（11） ；（12）法1：由 是函数 的极值点可得 ，即 ，故 因 ，当 时， ， 成立；当 时， ；当 时， ， ；综上知，满足题意的 时，共 个【法:2：由题意知 ，得 ( )；由 图象得 的解为 或 ，即 或 ，即 或 ，因 ( )故 无解，由 得 时，共 个】二、填空题题序 13 14 15 16答案 2 解析（16）显然 ，即 的最小值为 ，仅当 、 、 共线且点 在 、 之间时取等号，此时 ，即直线 的斜率为 （取 也可），联立 ，可得 ，故 三、解答题（17）解：（）由已知及 ，得 ，-2分即 ，得 -4分又 ， ，即 ；-6分（）由已知及正弦定理得 ，-7分由余弦定理 ，得 ， -9分解得 ，-10分ABC的面积为 -12分（18）解：（）E、F分别是AC、BC的中点，EF/AB，-1分在正三角形PAC中，PEAC，又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，PE平面ABC，-3分PEAB，又PDAB，PEPD=P，AB平面PED， -5分又EF/AB，EF平面PED，又 平面PEF，平面PEF平面PED.-6分（）解法1：平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，BEAC，BE平面PAC，-7分以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，则 , ,-8分 , ,设 为平面PAB的一个法向量，则由 得 ，令 ，得 ，即 -10分设二面角 的大小为 ，则 , ，即二面角 的正弦值为 . -12分】【解法2：由（）知EF平面PED，EFED， 以点E为坐标原点，ED所在的直线为x轴，EF所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，AE=1，EAD=60，AD= , , ,又 , , ,则 , , -8分平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，BEAC，BE平面PAE，故 为平面PAE的法向量，-9分设 为平面PAD的一个法向量，则由 得 ，令 得 ，故 -10分设二面角 的大小为 ，则 , ，即二面角 的正弦值为 . -12分】【解法3：二面角 即二面角C-PA-B， 在平面PAB内过点B作 于G，连结GE, 平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，BEAC，BE平面PAC， ,又 ， , 平面BEG，PAGE，EGB为二面角C-PA-B的平面角，-8分 , ， ， ，-11分即二面角 的正弦值为 . -12分】（19）解：（I）依题意得 -3分（）（）由条形图知, ， ， ， ，故 ，-5分 ，-6分由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故 的最小值为19.-7分（）n取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为 元和 元,则 的可能取值为：1900,2150,2400.且 , , ，故 (元) -9分 的可能取值为：2000,2250.且 ， ，故 （元） -11分 ，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件. -12分（20）解：（）设 ，依题意得点 ,-1分 则 -2分点A在椭圆 上， ，-3分 （当且仅当 时等号成立）PAC面积的最大值为1. -4分（）证法1：当直线AP的斜率存在时，设其方程为 ，由 ，消去 ，得 ，-5分设 ，由韦达定理，得 ，而由 ，得 ，故 ， ，代入、，得 两式相除，得 ，代入，整理得 ；-7分对于射线 ，同样的方法可得 ，故 是方程 的两个根， -9分由韦达定理， ； -10分当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0,1）时，则B、C重合于点（0.-1），D、A重合，由 ， ，得 这时 ；-11分若点A为椭圆T的下顶点（0,-1），同理可得 ；综上可知 为定值，该值为 .-12分【证法2：当直线AP的斜率存在时，这时点A不在y轴上，即x10，设其方程为 由 ，消去 ，得 ，-5分设 ，由韦达定理，得 ，-6分又 ，代入上式得 ，-7分由 ，得 ，故 ，得 ，-8分对于射线 ，同样的方法可得 ，-9分 -10分当直线AP的斜率不存在时，点A为椭圆T的上顶点或下顶点，当点A为（0,1）时，则B、C重合于点（0.-1），D、A重合，由 ， ，得 这时 ；-11分若点A为椭圆T的下顶点（0,-1），同理可得 ；综上可知 为定值，该值为 .-12分】（21）解：（） ， ，若 ，显然 恒成立， 在 上单调递增；-2分若 ，当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增；-4分若 ，当 时， ，当 时，由 ，得 ，由 ，得 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增；-6分（）证法1： ，故 ，结合 的单调性知， 的两个零点 和 满足 以及 ，且 ，-7分 ， ，于是 ，-8分令 ，（ ）则 ，-9分记 ， ，则 ， 在 上单调递减， ，故 ，即函数 在 上单调递减， ， ，-11分又 在 上单调递减， -12分【证法2： ，故 ，结合 的单调性知， 的两个零点 和 满足 以及 ，且 ，-7分要证明 ，只需证 ，即证 ，-8分注意到 、 ，且 在 上单调递减，故只需证 ，即证 ，-9分而 ，记 ， ， ，记 ， ，则 ，故 即 单调递减， ，-11分故 单调递减， ，于是 成立，原题得证-12分】选做题：（22）解：（）直