论文资料：编码是信息从一种形式或格式转换为另一种形式的过程.docVIP

精品文档 免费阅读 免费分享 如需请下载！數一甲47931117莊雅捷目錄Chapter 1 編碼31-1資料儲存準備31-2ASCII（as-kee two）31-2-1介紹31-2-2編碼方式.41-2-3內碼41-3BIG-551-4UNICODE51-4-1介紹51-4-2Unicode 組織（The Unicode Consortium）6Chapter 2 整數系統72-1二、八、十六進位表示法72-1-1二進位表示法72-1-2八進位表示法72-1-3十六進位表示法72-2不同進位的互換82-3四位元二補數的整數系統82-4四則運算與溢位92-4-1四則運算92-4-2演算溢位（arithmetic overflow）10Chapter 3 浮點數(Floating Point)113-1二、十進位對於小數的表示法及其互換113-2浮點數的表示法113-3上課筆記123-3-1二進位、十進位表示式與互換123-3-2二進位小數正規化13Chapter 4 數學定理與公式154-1勾股弦定理154-2歐拉線與九點圖154-2-1歐拉線154-2-2九點圓164-2-3GSP圖164-3微積分的一些重要的定義與定理164-3-1極限定義164-3-2導數的定義174-3-3均值定理174-4線性代數的一些基本性質184-4-1線性聯立方程式184-1-2矩陣表示式184-1-3矩陣相乘18Chapter 5 數學家的故事195-1約翰馮紐曼(摘自維基百科)195-2 歐拉(Euler Lonhard)(摘自數學家的故事-歐拉)205-3柏拉圖(Plato)22Chapter 6 數學難嗎？25Chapter 1 編碼編碼是信息從一種形式或格式轉換為另一種形式的過程。1-1資料儲存準備 我們首先要先了解位元。位元指二進位中的一位，是二進位最小信息單位。Bit，乃BInary digiT（二進位數位）的縮寫，是數學家John Wilder Tukey提議的術語（可能是1946年提出，但有資料稱1943年就提出了）。這個術語第一次被正式使用，是在香農著名的論文通信的數學理論(A Mathematical Theory of Communication)之第1頁中。 一個bt僅能儲存一個0或1。 5bt：只能代表32個符號，依此類推。Ex.7bt= =128 一個檔案最少需要8bt。基本上只要127就夠了，不過現在會超過，以前第8個bt是來做檢查用。Parity 同等、相似Parity check 同位檢查 同位元檢查法分為：偶數(even)檢查及奇數(add)檢查法，其中檢查的實行方式牽涉到邏輯閘使用，而其檢查方式即以資料中的個數做比對，當然此方式不能完全偵測出錯誤，亦無法更正。1-2ASCII（as-kee two）1-2-1介紹ASCIIAmerican Standard Code for Information Interchange美國資訊交換標準碼是基於拉丁字母的一套電腦編碼系統。它主要用於顯示現代英語和其他西歐語言。它是現今最通用的單位元組編碼系統，並等同於國際標準ISO646。ASCII第一次以規範標準的型態發表是在1967年，最後一次更新則是在1986年，至今為止共定義了128個字元，其中33個字元無法顯示(這是以現今作業系統為依歸，但在DOS模式下可顯示出一些諸如笑臉、撲克牌花式等8-bit符號)，且這33個字元多數都已是陳廢的控制字元，控制字元的用途主要是用來操控已經處理過的文字，在33個字元之外的是95個可顯示的字元，包含用鍵盤敲下空白鍵所產生的空白字元也算1個可顯示字元（顯示為空白）。ASCII在電腦問世後僅能處理英文，而顯得不足，因此才會有其他的五大碼0 的出現。1-2-2編碼方式.主要以八個bits(一個byte)表示一個字元.EX1.97=64+33=64+32+1=2+2+27654321001100001EX2.48=32+16=2+276543210001100001-2-3內碼 內碼，相對於外在的經過學習之後，可直接了解的編碼形式（例如：文字或語音符號），是將資訊編碼後，透過某種方式儲存在特定記憶裝置時，裝置內部的編碼形式。在計算機科學及相關領域當中，內碼指的是資訊儲存在計算機當中的編碼；通常特指文字資訊儲存在計算機當中的編碼。a 的內碼：97(10進位)61(16進位)141(8進位)123456789ABCDEF123456789101112131415EX1. 小 A470 1010 0100 0111 0000A=10(16進位)=4=依此類推Chapter 2practice莊B2F8 1101001011111000B=11=+ +110120010F=15=8+4+2+1=+111181000雅B6AE 1101011010101110B11016=4+2=+0110A=10=8+2=+1010E=14=8+4+2=+1110捷B1B6 1101000111010110B110110001B11016=4+2=+01101-3BIG-5 Big5，又稱為大五碼或五大碼，是使用繁體中文（正體中文）社群中最常用的電腦漢字字符集標準，共收錄13,060個漢字。 中文碼分為中文內碼及中文交換碼兩類，Big5屬中文內碼，知名的中文交換碼有CCCIIChinese Character Code for Information Interchange中文資訊交換碼、CNS11643國家標準中文交換碼。1-1-1 Example1BYTE位元組=8bts中文字共約 6萬 字需要 16 bts 或 2 bytes 來儲存一個中文字台灣使用：Big51-4UNICODE 詳細資料可參照維基百科/w/index.php?title=UNICODE&variant=zh-tw1-4-1介紹 在電腦科學領域中，Unicode（統一碼、萬國碼、單一碼、標準萬國碼）是業界的一種標準，它可以使電腦得以呈現世界上數十種文字的系統。Unicode 是基於通用字元集（Universal Character Set）的標準來發展，並且同時也以書本的形式（The Unicode Standard，目前第五版由Addison-Wesley Professional出版，ISBN-10: 0321480910）對外發表。Unicode 包含了超過十萬個字元（在西元 2005 年， Unicode 的第十萬個字元被採納且認可成為標準之一）、一組可用以作為視覺參考的代碼圖表、一套編碼方法與一組標準字元編碼、一套包含了上標字、下標字等字元特性的列舉等。1-4-2Unicode 組織（The Unicode Consortium）The Unicode ConsortiumUnicode 組織Unicode 組織（The Unicode Consortium）是由一個非營利性的機構所運作，並主導 Unicode 的後續發展，其目標在於：將既有的字元編碼方案，以 Unicode 編碼方案來加以取代，特別是既有的方案在多語環境下，皆僅有有限的空間以及不相容的問題。Unicode 在字元集認可的成功，使其得以在電腦軟體的國際化與本地化領域中，廣泛且具優勢的被採用。這標準已在近年來的多種新科技當中被加以採用，包含了可擴展置標語言（XML）、Java程式語言、以及最新的作業系統中。Chapter 2 整數系統2-1二、八、十六進位表示法X進位：n(10進位)=2-1-1二進位表示法 二進位是逢2進位的進位制，0、1是基本算符。 現代的電子計算機技術全部採用的是二進位，因為它只使用0、1兩個數字元號，非常簡單方便，易於用電子方式實現。2-1-2八進位表示法 八進位是以8為底的進位制，使用數字0,1,2,3,4,5,6,7。 從二進位的數轉換到八進位的數，可以將3個連續的數字拼成1組，再獨立轉成八進位的數字。例如十進位的74即二進位的1001010，3個1組變成1 001 010，再變成八進位中的112。 二進位有時取代了十六進位在電腦的功用，其中一個解釋是UNIX系統的檔案權限（見Chmod）。它有優點如不必用數字以外的符號（十六進位除了0-9之外，要用到A-F）。可是它不是完美的1位元組只需用2個十六進位數字來記，但八進位要用3個。 以八進位數數目在古代有時用來取代以十進位數。八進位的數法要用手指之間的空隙或非拇指的手指。這解釋了拉丁語中的novem（9）和novus（新）這麼相似它可能表示新的數。2-1-3十六進位表示法 十六進位(簡寫為hex或下標16)在數學中是一種逢16進1的進位制，一般用數字0到9和字母A到F表示。(其中:AF即1015) 例如十進位數79，在二進位寫作01001111，在16進位寫作4F(4 = 0100, F = 1111)。 現在的16進位則普遍應用在計算機領域，這是因為將4個比特(Bit，即位元)化成單獨的16進位數字不太困難。1位元組可以表示成2個連續的16進位數字。可是，這種混合表示法容易令人混淆，因此需要一些字首、字尾或下標來顯示。 真正的整數系統(牽涉到寫程式) 由於加法器有先天限制(32位元電腦其加法器僅能做32位元整數+32位元整數)，對於4位元整數系統，4位元共有種不同表示法。 16個非負的正整數，分割成一半正一半負。非負負00000100081000110019200101010103001110111140100110012501011101136011011101470111111115Ex.3+(-3)=00011+1101100003-32-2不同進位的互換舉例：二進位轉換成八進位方法：由右而左每3個一組110000010602(8進位)3個bts形成9進位above：符號只有0到71231027Chapter 1)2-3四位元二補數的整數系統2s complement (2補數)：將1補數再加上1。Ex1.3(4位元)0011(1s complement)1100(+1)1101Ex2.-41100(1s complement)0011+101004 1s complement(1補數)：將0變成1，1變成0。Ex3.0010其1s complement是1101兩個互為2s complement 將之視為非負整數其和為100000011+1101100003-31100+0100100004-43001110000_00111101-3補數一般而言可分為退化型和未退化型退化型：未退化型則是：其中表示所欲求取補數之數字，為之位數，則為其進位制度之數字。2-4四則運算與溢位2-4-1四則運算四則運算Four Arithmetic Operations，即加減乘除，是數學最基本的運算。%加減乘除餘四位元整數000001111-1000111110-2001021101-3001131100-4010041011-5010151010-6011061001-7011171000-8整數運算EX1.2+3=50010+00110101EX2.4+5=97(0)0100+01011007-72-4-2演算溢位（arithmetic overflow） 可簡稱為溢位(Overflow)Happens when a number is too big to be represented.即顯示器之位數不足時所發生的錯誤，一般而言可用於硬體偵錯。簡單的來說即是正正負，負負正稱之為溢位。EX.72313是721是7%2Chapter 3 浮點數(Floating Point)3-1二、十進位對於小數的表示法及其互換 十進位整數對應二進位以除法運算，而小數則以乘法（若是具整數亦具小數則須分開運算）；原理如下：3-2浮點數的表示法 如此可以一例表示：而其中exponent欄位中所田的將由mantissa code之進位數決定，如例中進二位，表示成上，則以次方數決定所填之數目，於此應填上，而exponent之數字表示責較異常於一般二進位表示法.。(3=111 2=110 1=101 0=100 -1=011 -2=010 -3=001 -4=000)3-3上課筆記3-3-1二進位、十進位表示式與互換12.375=二進位的表示為 小數部分0小於等於小於等於1101.011 (二進位)= 101.011 (二進位)= 101.011=1*22+0*21+1*20+0*(1/2)2+1*(1/2)3=4+0+1+0+1/4+1/8=5.25+0.125=5.37512=8+4=23+22 1100(二進位)0.375=a1(1/2)1+a2*(1/2)2+a3*(1/2)3+0.75=a1+a2*(1/2)+a3*(1/2)2+0.84= 0.110101 0.84*2=1.680.68*2=1.360.36*2=0.720.72*2=1.440.44*2=0.880.88*2=1.760.76*2=1.520.52*2=1.040.04*2=0.080.08*2=0.160.16*2=0.320.32*2=0.640.64*2=1.280.28*2=0.56依此類推，直到發現循環小數3-3-2二進位小數正規化正規化=科學符號任意非0的浮點數都可以化成(1.(a1)(a2)*2n normal fromn屬於Z12.375=1100.011正規化後的形式為1.100011*230.010101=1.0101*2(-2)單精準32位元浮點數格式31 30 29 28 27 26 25 24 23 . 0正 - -負 8bits偏差指數 23bits小數Bit31是1表示該浮點數是負數Bit31是0表示該浮點數是非負偏差指數=127+正規化後的指數對於12.375其指數是三其偏差指數是127+3對於8位元而言127(十進位)=01111111(二進位)其偏差指數的8位元是 01111111+ 1110000010對於正規化後的浮點數整數部分1不要儲存省了1bit對於12.375(十進位)=1.100011*23小數部分100011儲存在bit22.bit21因此12.375儲存在32bit其內容為bit31 30 23 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1000110.0正 偏差指數將01000001010001100以16近位表示即為4146000(將四個數變為一個數)例.32位元浮點數內容為1 10001110010100代表的浮點數(十進位)為第31bit為1 所以該數為負數偏差指數為 10001110(3023bit)實際指數=偏差指數-127 100 0 1 1 1 0- 01 1 1 1 1 1 1 01 1 0 1 1 1 1 10001000- 0111 1111 000010011.01101*215=-(215+213+212+210)=-(1024+2048+4096+16394)=-23562Chapter 4 數學定理與公式4-1勾股弦定理勾股弦定理指出： 直角三角形兩直角邊（即勾、股）邊長平方和等於斜邊（即弦）邊長的平方。 也就是說，設直角三角形兩直角邊為a和b，斜邊為c，那麼 只要知道直角三角形的任意兩條邊，便可計算出第三條邊。 勾股弦定理同時是餘弦定理中的一個特例。 勾股弦定理現約有400種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。4-2歐拉線與九點圖4-2-1歐拉線 在平面幾何中，歐拉線（圖中的紅線）是指過三角形的垂心（藍）、外心（綠）、重心（黃）和九點圓圓心（紅點）的一條直線。萊昂哈德歐拉證明了在任意三角形中，以上四點共線。歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。4-2-2九點圓 在平面幾何中，對任何三角形ABC都可以構造出九點圓（又名歐拉圓）。九點圓穿過三角形的三邊的中點Ii，三高的垂足Hi，和頂點到垂心的三條線段的中點Ji，因而得名。九點圓定理指出對任何三角形，這九點必定共圓。而九點圓的圓心則在歐拉線上，在垂心H到外心的線段的中點。它的半徑是外接圓的一半。九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切。4-2-3GSP圖4-3微積分的一些重要的定義與定理4-3-1極限定義4-3-2導數的定義4-3-3均值定理4-4線性代數的一些基本性質4-4-1線性聯立方程式4-1-2矩陣表示式 在數學，矩陣理論是一門研究矩陣在數學上的應用的科目。矩陣理論本來是線性代數的一個小分支，但其後由於陸續在圖論、代數、組合數學和統計上得到應用，漸漸發展成為一門獨立的學科。 有關矩陣理論所用到的名詞的定義，請參考矩陣理論專有名詞表。4-1-3矩陣相乘 矩陣相乘最重要的方法當然是一般矩陣乘積了，它只有在第一個矩陣的列數和第二個矩陣的行數相同時才有定義。一般單指矩陣乘積時，指的便是一般矩陣乘積。若A為mn矩陣，B為np矩陣，則他們的乘積AB(有時記做A B)會是一個mp矩陣。Chapter 5 數學家的故事5-1約翰馮紐曼(摘自維基百科) 約翰馮紐曼（匈牙利語：Neumann Jnos；英語：John von Neumann，1903年12月28日1957年2月8日）是出生於匈牙利的美國籍猶太人數學家，現代電子計算機創始人之一。他在計算機科學、經濟、物理學中的量子力學及幾乎所有數學領域都作過重大貢獻。馮紐曼是Neumann Miksa和Kann Margit的三個孩子中最大的一個。小時候外號Jancsi的他已經顯出驚人的記憶力：六歲已能用古希臘語同父親閒談，還可以心算八位數除法。年少的他不但對數學很有興趣，亦喜歡閱讀歷史、社會的書籍，讀過的書籍和論文能很快一句不漏地將內容複述出來，而且多年以後仍是如此。1913年，父親買了一個爵位，諾伊曼得到德國名von，成為Jnos von Neumann。 1926年以22歲的年齡獲得了布達佩斯大學數學博士學位，相繼在柏林大學和漢堡大學擔任數學講師。1930年接受了普林斯頓大學客座教授的職位，初來美國時，他在紐約對當地居民表演過默記電話簿的驚人記憶力，1931年成為該校終身教授。1933年轉到該校的高級研究所，與愛因斯坦等人成為六教授之一，不須上課。這一年，他解決了希爾伯特第5個問題，證明了局部歐幾里得緊群是李群。1937年成為美國公民，1938年獲頒博修獎（Bcher Memorial Prize），一生結過兩次婚，馮紐曼是個不重視生活細節的人，他在一間房子住上多年，有一次卻心事忡忡的問老婆杯子放在哪裡。1954年任美國原子能委員會委員。1954年夏天，右肩受傷，手術時發現患有骨癌，治療期間，依然參加每週三次的原子能委員會會議，甚至美國國防部長，陸、海、空三軍參謀長聚集在病房開會。1957年2月8日，在華盛頓德里醫院去世。晚年，有學生請教他做事的方法，他說：簡單（simple）。1994年被授予美國國家基礎科學獎。 他被後人尊稱為計算機之父及博弈論之父。1945年6月，紐曼與戈德斯坦、勃克斯等人，聯名發表了一篇長達101頁紙的報告，即計算機史上著名的101頁報告，是現代電腦科學發展里程碑式的文獻。明確規定用二進制替代十進制運算，並將計算機分成五大組件，這一卓越的思想為電子計算機的邏輯結構設計奠定了基礎，已成為計算機設計的基本原則。1951年，EDVAC計算機宣告完成。由於他在計算機邏輯結構設計上的偉大貢獻，他被譽為計算機之父。在經濟學領域，1944年諾伊曼與奧斯卡摩根斯特恩合著的巨作博弈論與經濟行為出版，標志著現代系統博弈理論的的初步形成。他被稱為博弈論之父。博弈論被認為是20世紀經濟學最偉大的成果之一。5-2 歐拉(Euler Lonhard)(摘自數學家的故事-歐拉) 歐拉於 1707 年 4 月 15 日誕生於瑞士的巴塞爾(Basel)，歐拉的父親希望他學習神學但他最感興趣的是數學。 1720年，在雅各伯努利(Jacob, Bernoulli)的提議和推薦下，進入巴塞爾大學聽課，在大學時，受到約翰伯努利(Jahann, Bernoulli)的特別指導，專心研究數學，1726年，發表了第一篇科學論文，討論船桅最佳位置的選擇，1727年因而獲得巴黎科學院的表揚。1727年，在丹尼爾伯努利和尼古拉伯努利兩兄弟的推薦下，應邀到俄國的彼得堡科學院從事研究工作。在 1733 年接替丹尼爾伯努利，成為數學教授。1735年，著手於解決一個彗星軌道的計算問題，僅三天就獲得成功，因過度勞累使他的右眼失明。1736年，解決了哥尼斯堡七座橋問題。得出現在變分法中所謂的基本微分方程。1741年，他受到普魯士腓特烈大帝的邀請到德國科學院。歐拉一生最好的作品都在柏林科學院十五年的歲月中完成的，如 無 窮 小 分 析 引 論 （ 1748 ） ， 微 分 學 原 理 （ 1755 ）。1766年，他應俄國沙皇敦聘重回彼得堡，不久，他的左眼得病慢慢完全失明。但 他 以 其 驚 人 的 記 憶 力 和 心 算 技 巧 繼 續 從 事 科 學 創 作 。 他 通 過 與 助 手 們 的 討 論 以 及 直 接 口 授 等 方 式 完 成 了 大 量 的 科 學 著 作 ， 直 至 生 命 的 最 後 一 刻 。 該年，他出版了 關於曲面上曲線的研究 ，這是對微分幾何最重要的貢獻，更是微分幾何發展史上一個里程碑。 積 分 學 原 理 （ 1768 - 1770 ）。1783年9月18日逝世於俄 國 的 聖彼得堡。 歐拉是數學史上最多產的數學家，我們現在習以為常的數學符號很多都是歐拉所發明介紹的，例如：函數符號 f(x)、圓週率、自然對數的底 e、求和符號 、log x、sin x、cos x以及虛數單位 i 等。喬治西蒙曾稱他為數學界的莎士比亞。 歐拉常數的值，其值近似為 0.57721566490153286060651209.歐拉線：三角形垂心和外心的連線(重心必在歐拉線上)歐拉點：三角形各頂點與重心的連接線段之中點(有三點)歐拉圓：三角形三邊中點、三垂線的垂足和三個歐拉點共圓，此圓即歐拉圓 歐拉在分析學上引入了G函數和B函數，這證明了橢圓積分的加法定理，以及最早引入二重積分。在代數學方面，他發現了每個實系數多項式必分解為一次或二次因子之積，即 a+bi 的形式。歐拉還給出了費馬小定理的三個證明，並引入了數論中重要的歐拉函數 (n) 。 歐拉對數學的產生興趣，主要是看到這樣一個奇怪的現象：我們將展開，我們得到的至到無窮。如果現在令x=2，我們就得到，而是一個正數而且是無窮大，這樣說來就等於無窮大! 若我們將展開，我們得到的至到無窮。令x = 2，左邊 = ，右邊是一個正的整數，這也是非常奇怪的事。歐拉就由此研究級數理論，建立了可以說是近代數學分析的基礎理論。哥尼斯堡七座橋問題 原來在當時的東普魯士有一個小城鎮叫哥尼斯堡，有一條普雷格爾河橫貫市內，河中心有二個小島。在當時有七座橋把這小島和對岸聯結起來。 在週末當地的市民喜歡在城裏蹓躂，有人曾想法子從家裏出發，走過所有的橋回到家裏，他們想是否能每座橋只走過一次。許多人試過都不成功。現在是否有一個方法能走過?歐拉的朋友知道這個青年人很聰明，並且喜歡思考問題，就告訴他這個 哥尼斯堡七橋問題，要他想法子解決。 歐拉並沒有跑到哥尼斯堡去走走。他把這個問題化成了這樣的問題來看:把二岸和小島縮成一點，橋化為邊，二個頂無有邊聯結，當且僅當(if and only if)這點代表的地區有橋聯結起來。這樣歐拉就得到了一個圖了。 歐拉現在考慮這個圖是否能一筆畫完成，如果能夠的話，對應的七橋問題也就解決了。他先研究一般能一筆畫完成的圖應該具有什麼性質?他發現它們大體上有二類，不是全都是偶點就是有二個奇點。 這個情形是可以這樣的看:如果一個圖能一筆畫成，那麼一定有一個起點開始畫，也有一個終點。有一條邊進這點，那麼就要有一條邊出去，不可能是有進無出，它就會變成終點，也不可能有出無進，它就會變成起點。因此在過路點進出的邊總數應該是偶數，即過路點是偶點。如果起點和終點是同一點，那麼它也是屬於有進有出的類型，因此必須是偶點，這樣圖上全體的點是偶點。 如果起點和終點是不一樣，那麼它們必須是奇點了。因此這圖最多只能有二個奇點。現在對應七橋問題的圖，所有的頂點都是奇點，共有四個，故這個圖肯定不能一筆畫成。5-3柏拉圖(Plato) 公元前427年，柏拉圖出生於雅典，他自幼受到良好而完備的教育，少年時代勤奮好學、多才多藝且體格健壯。除了家庭的薰陶之外，給他影響最為深遠的莫過於正直善辯的哲學家蘇格拉底Socrates了，而蘇格拉底以不敬神和蠱惑青年的罪名被處死的悲劇給柏拉圖極大的刺激，隨著年歲的增長，他對當時的政客、法典和習俗愈來愈感到厭惡，從而決心繼承蘇格拉底的哲學思想，并從事於締造理想國家的理論研究。柏拉圖曾在非洲海岸昔蘭尼跟狄奧多魯斯Theodorns學數學，并成為著名的阿爾希塔斯的知心朋友。約公元前387年，他回到雅典創辦他的著名學園，這是一所為系統地研究哲學和科學而開設的高等院校，成為早期畢氏學派和後來長期活躍的亞歷山大里亞數學學派之間聯系的紐帶。公元前347年，柏拉圖以八十歲高齡死於雅典。 作為一位哲學家，柏拉圖對於歐洲的哲學乃至整個文化的發展，有著深遠的影響。特別是他的認識論，數學哲學和數學教育思想，在古希臘的社會條件下，對於科學的形成和數學的發展，起了不可磨滅的推進作用。 我們從柏拉圖的著作中，可以看到數學哲學領域的最初的探究。柏拉圖的數學哲學思想是同他的認識論，特別是理念論分不開的。他認為數學所研究的應是可知的理念世界中的永恒不變的關係，而不是可感的物質世界中的變動無常的關係。因此，數學的研究對象應是抽象的數和理想的圖形。他在理想國中說：我所說的意思是算術有很偉大和很高尚的作用，它迫使靈魂就抽象的數進行推理，而反對在論證中引入可見的和可捉摸的對象。他在另一處談到幾何時說：你豈不知道，他們雖然利用各種可見的圖形，并借此進行推理，但是他們實際思考的并不是這些圖形，而是類似於這些圖形的理想形象。他們力求看到的是那些只有用心靈之日才能看到的實在。 如果說數學概念的抽象化定義始於畢達哥拉斯學派，那麼，柏拉圖及其學派則把這一具有歷史意義的工作大大地向