圆锥曲线的综合应用及其求解策略.doc

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(1) 求点Q的坐标；(2) 当P为抛物线上位于线段AB下方(含点A、B) 的动点时, 求OPQ面积的最大值.解析:(1) 解方程组 得 或者； 即A(4,2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1). 由kAB=,直线AB的垂直平分线方程y1=(x2). 令y=5, 得x=5, Q(5,5) (2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x, x24). 点P到直线OQ的距离； d=, ,SOPQ=. P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, 4x44或44x8. 函数y=x2+8x32在区间4,8 上单调递增, 且当x=4时，|x2+8x32|=48 当x=8时，|x2+8x32|=96 当x=8时, OPQ的面积取到最大值.NOACByx 点拨：本题中“直线AB的垂直平分线方程”的求解，主要是抓住两个条件(1)、垂直；（2）、中点；从而完成所求。 【例题8】、（2007年湖北高考题14分）在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由解析：（）依题意，点的坐标为，可设，NOACByxl直线的方程为，与联立得消去得由韦达定理得，于是，当时，（）假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，则，点的坐标为，令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线 点拨：本题中“点是点关于坐标原点的对称点”，利用中点坐标公式，很快就得出点N的坐标了。五、实际应用问题：此类问题要建立好平面直角坐标系，建立好数学模型，实现应用问题向数学问题的转化。 【例题9】如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km。现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物。经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（ ）A(22)a万元 B5a万元C(2+1) a万元 D(2+3) a万元解析：这是福建省2004年的一道高考题。 、首先，建立如图所示的直角坐标系，则点A（-2，0），B（2，0），C（3，）；、 PQ曲线是以A、B为焦点的双曲线的右支，其轨迹方程为： ，其离心率为e=2,准线方程为x= 、 考查修建这两条公路的总费用y =|MB|a+|MC|2a=(|MB|+2|MC|)a，由于点B为曲线的焦点，则有 = e = 2,则|MB|=2|MH|，从而有y =(2|MH|+2|MC|)a=(|MH|+|MC|)2a,由图显然可知，当H、M、C三点共线时，y费用最少，最少费用为（3-）2a = 5a万元；所以本题选（B）。 点拨：本题首先要建立好平面直角坐标系，再依据双曲线的第二定义去转化所求，从而得出答案。总之，圆锥曲线的常见综合问题的处理思路和方法可归纳概括如下：1、 直线与圆锥曲线的位置关系： 、要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或关于y）的一元二次方程，再考查其，从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数：（1）若0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点； 、从几何角度来看：直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交（有两个交点）、相切（有一个公共点）、相离（没有公共点）三种情况；这里特别要注意的是：当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行时，属于相交的情况，但只有一个公共点。2、 直线被圆锥曲线截得的弦长问题：、直线与圆锥曲线有两个交点A（x1,y1)、B(x2,y2) ，一般将直线方程L：y=kx+m代入曲线方程整理后得到关于x的一元二次方程则应用弦长公式：|AB|=；或将直线方程L:x= y +t代入曲线方程整理后得到关于y的一元二次方程则应用弦长公式：|AB|=；、过焦点的弦长的求解一般不用弦长公式去处理,而用焦半径公式会更简捷; 、垂直于圆锥曲线的对称轴的焦点弦长称为圆锥曲线的通径,其中椭圆、双曲线的通径长都为,而抛物线的通径长为2p； 、对于抛物线y2=2px（p0)而言，还有如下的焦点弦长公式，有时用起来很方便：|AB|=x1+x2+p；|AB|= (其中a为过焦点的直线AB的倾斜角）3、 直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种：、设直线方程为y=kx+m，代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系去处理（由于直线方程与圆锥曲线方程均未定，因而通常计算量较大）；、利用点差法：例如在椭圆内有一定点P（x0,y0),求以P为中点的弦的直线方程时，可设弦的两端点为A（x1,y1)、B(x2,y2) ，则A、B满足椭圆方程，即有两式相减再整理可得： = - ；从而可化出k= = = ；对于双曲线也可求得：k= = = ;抛物线也可用此法去求解，值得注意的是，求出直线方程之后，要根据图形加以检验。4、 解决直线与圆锥曲线问题的一般方法是：、解决焦点弦（过圆锥曲线的焦点的弦）的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式；、已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法；、圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解决此类问题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解。 膄薃蚀螃羇葿虿袅膂莄蚈羇羅芀螇蚇膀膆螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螃芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈螁肀肈莄袁螀芄芀蒇袂肆膆蒆羅节蒄蒅蚄肅蒀蒅袇莀莆蒄罿膃节蒃肁羆薁蒂螁膁蒇蒁袃羄莃薀羆膀艿蕿蚅羂膅蕿袇膈薃薈羀肁葿薇肂芆莅薆螂聿芁薅袄芄膇薄羆肇蒆蚃蚆芃莂蚃螈肆芈蚂羁芁芄蚁肃膄薃蚀螃羇葿虿袅膂莄蚈羇羅芀螇蚇膀膆螇蝿羃蒅螆袂腿莁螅肄羂莇螄螃芇芃螃袆肀薂螂羈芅蒈