2007年考研数学四大题出题点预测及例题.doc

蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃薇袆芆腿薆羈聿蒈薅蚈芅莄蚄螀肇芀蚄袂芃膆蚃肅肆薄蚂螄羈蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节虿虿膂膈蚈螁羅蒇螈袃膁莃螇羆羃艿螆蚅腿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀莅螂螂芅芁荿袄肈膇蒈羆芄蒆蒇蚆肇莂蒆袈节莈蒆羁膅芄蒅肃羈薃蒄螃膃葿蒃袅羆莅蒂羇膁芁薁蚇羄膇薀蝿膀蒅薀羂羃蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃薇袆芆腿薆羈聿蒈薅蚈芅莄蚄螀肇芀蚄袂芃膆蚃肅肆薄蚂螄羈蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节虿虿膂膈蚈螁羅蒇螈袃膁莃螇羆羃艿螆蚅腿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀莅螂螂芅芁荿袄肈膇蒈羆芄蒆蒇蚆肇莂蒆袈节莈蒆羁膅芄蒅肃羈薃蒄螃膃葿蒃袅羆莅蒂羇膁芁薁蚇羄膇薀蝿膀蒅薀羂羃蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃薇袆芆腿薆羈聿蒈薅蚈芅莄蚄螀肇芀蚄袂芃膆蚃肅肆薄蚂螄羈蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节虿虿膂膈蚈螁羅蒇螈袃膁莃螇羆羃艿螆蚅腿芅螅袈肂薃螄羀芇葿螃肂肀莅螂螂芅芁荿袄肈膇蒈羆芄蒆蒇蚆肇莂蒆袈节莈蒆羁膅芄蒅肃羈薃蒄螃膃葿蒃袅羆莅蒂羇膁芁薁蚇羄膇薀蝿膀蒅薀羂羃蒁蕿肄芈莇薈螄肁芃薇袆芆腿薆羈聿蒈薅蚈芅莄蚄螀肇芀蚄袂芃膆蚃肅肆薄蚂螄羈蒀蚁袇膄莆蚀罿羇节虿虿膂膈蚈螁羅蒇螈袃膁莃螇羆羃艿螆蚅腿芅 2007年考研数学四大题出题点预测及例题2007年考试就要到了，今年考试都考些什么呢？同学们关心，我也关心。自从辅导班完成之后，我一直在琢磨这个问题，下面我列举可能出大题的知识点，帮大家复习。数学四有三个地方是必考的：必考极限的求法，必考二重积分的计算，必考二次型。以下题目都不会考，要注意其中的方法。1.极限的求法极限的求法，年年都考。今年大家要注意以下类型：及无穷小量的阶的比较方面的题目。例1：极限分析: 本题属型未定式，化为指数函数求极限即可.详解: = =例2:求极限.解1 原式 解2 原式 评论：常常用对数恒等式求解，等价无穷小代换是极限计算的精髓！好几年没考连续与间断点方面的题目了，今年有可能考。这类题目有可能函数用极限的形式给出。例3：设, 求的间断点【分析】本题属于确定由极限定义的函数的连续性与间断点.对不同的,先用求极限的方法得出的表达式, 再讨论的间断点.解：显然当时,; 当时, ,所以 ,因为 故为的间断点.又如例4：求在（，）内的间断点，并判断其类型例5：a=？时在x=0点连续，x=0是可去间断点。.关于函数的连续性与可导性的讨论例6：设函数，其中在x=1处连续，讨论f(x)在x=1处的连续性与可导性 【分析】被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用f(x)在x=1处左右导数定义讨论即可.解： f(x)在x=1处的连续 ， ，可见，f(x)在x=1处可导的充分必要条件是 .例7：设函数在（）上有定义, 在区间上, , 若对任意的都满足, 其中为常数.()写出在上的表达式;()问为何值时, 在处可导.解：()当,即时, .()由题设知 . .令, 得.即当时, 在处可导.积分的计算在历年的考研试题中,关于反三角函数的考题最多。主要涉及arcsin(x),arctan(x)，另外还要注意广义积分和定积分的换元积分法。例8:计算不定积分 【分析】 被积函数含有根号，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx，同样可考虑作变换：arctanx=t，即 x=tant.解：设，则=又= =，故 因此 = =【评注】本题也可用分布积分法： = = = =，移项整理得 =4.不等式的证明或问题这一问题考过多年了，2006年数学四考了不等式的证明，今年该考问题了。这一问题一般在a,b的使用拉格朗日中值定理或可栖中值定理，有时学要结合介值定理或先用几分中值定理处理等方法解决问题:例9设函数f(x)在0，3上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在，使【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c，使得，然后在c,3上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在0，3上连续，所以f(x)在0，2上连续，且在0，2上必有最大值M和最小值m，于是 ， .故由介值定理知，至少存在一点，使 因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在c,3上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在，使例10:设函数在a,b上连续，在(a,b)上可导，证明：在(a,b)内存在,使得 例11:设在，上连续，（，）内可导，且证明：在（，）内至少存在一点使得例12:设函数在0,1上连续，在(0,1)上可导，证明：在（，）内存在，使得这三个题目都讲过了，望大家能举一反三。5.微分方程与几何(积分)综合题微分方程年年都考，大多与其他课程结合命题，与切线、边动上限的积分、无穷级数、偏导数、曲线积分与路径无关问题联合出题。例13：在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）.() 求的方程；() 当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值.分析()利用导数的几何意义建立微分方程，并求解；()利用定积分计算平面图形的面积，确定参数.解：() 设曲线的方程为，则由题设可得 ，这是一阶线性微分方程，其中，代入通解公式得 ，又，所以. 故曲线的方程为 . () 与直线（）所围成平面图形如右图所示. 所以 ， 故.又如：1. 设函数，满足=， =2 且=0，=2，求2.对任意0,曲线上点处的切线在轴上的截距为,求的表达式. 6.微导数与二元极（最）值 这一章今年可能考某经济问题的极值问题,无条件极值或条件极值.例14：设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又, 求【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用【详解】 ，故 ，所以 =例15：假设某企业在两个相互分割的市场上独立出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是，价格单位：万元/吨，需求量单位：吨；成本函数是（1）如果实行价格差别策略，试确定两个市场上的销量和价格,使企业利润最大?用无条件极值做,答案(4,5),(10,7)(2) 如果实行价格无差别策略，试确定两个市场上的销量和统一价格,使企业利润最大?变成一元函数问题,当然也可用条件极值做,条件是.答案(5,4),88.二重积分的计算一定考二重积分的计算有两种基本方法：化二重积分为累次计分，用极坐标变换计算二重积分；三个技巧：利用函数的奇偶性化简积分，把X型区域转化为Y型区域，对计分区域分割等例16：计算二重积分，其中是由直线所围成的平面区域.【分析】画出积分域，看成X型区域不好算，看成Y型区域处理。【详解】积分区域如右图.因为根号下的函数为关于的一次函数，“先后”积分较容易，所以 例17：计算二重积分，其中.【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】 记，于是 =+=【评注】 形如积分、等的被积函数均应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分.线性代数要考二次型（1）用正交线性替换把二次型化为标准型。例18：已知二次型的秩为()求的值；()求正交变换，把二次型化为标准型；【分析】 （I）根据二次型的秩为2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值；（II）是常规问题，先求出特征值、特征向量，再正交化、单位化即可找到所需正交变换.【详解】 （I） 二次型对应矩阵为 ，由二次型的秩为2，知 ，得a=0.（II） 这里， 可求出其特征值为.解 ，得特征向量为：，解 ，得特征向量为：由于已经正交，直接将，单位化，得：令，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形：=例19：的特征值之和为，特征值之积为 -12（） a,b的值（） 正交变换将二次型华为标准型，并写出所用的正交变换。（2）判别一个矩阵式正定矩阵（可能性大） 判别一个矩阵是正定矩阵，首先应说明A是(实)对称矩阵,然后用 方法一:用正定二次型的定义 例20：设A是的实矩阵，为n阶单位矩阵，已知，证明当时，B为正定矩阵。 证： 所以B是对称的 对于任意的非零列向量，因为 所以B为正定矩阵。 方法二:用特征根全大于0的方法（可能考）例21：为三阶实对称矩阵，且满足A2+2A=0,已知A的秩为2（1）求A全部特征值（2）当k为何值时,矩阵A+kE是正定的?解：设是A的一个特征根， ，。 A为实对称矩阵，所以A的特征值全部为实数。A的秩为2，所以A的全部特征值为-2，-2，0A+kE的全部特征值为k-2，k-2，k,当k2时，特征值全部大于0，A+kE是正定的。评注：特征值特征向量问题是历年考试的重点，特别是实对称矩阵的特征值特征向量问题更是重点。实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交，频频出现在试题中。 例22：三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3，矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别是（1）求矩阵A的属于特征值3的特征向量（2）求矩阵A 解：设A的属于特征值3的特征向量为所以 ，求得基础解系， 令，求A就容易了。方法三:用顺序主子式全大于0的方法(一般是填空题)例23：设二次型是正定的，求t的取值范围。10.概率论的题目(1)边缘分布的求法,二维随机变量的函数的分布例24：设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 求：（I） (X,Y)的边缘概率密度； （II） 的概率密度 ( III ) 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.解 （I） 关于X的边缘概率密度=关于Y的边缘概率密度= （II） 令，1） 当时，；2） 当时， =; 3) 当时，即分布函数为： 故所求的概率密度为：（III） (2)数学期望、方差、相关系数。例24 ：设，为两个随机事件,且, , , 令 求() 二维随机变量的概率分布;() 与的相关系数 ; () 的概率分布. 【分析】本题的关键是求出的概率分布，于是只要将二维随机变量的各取值对转化为随机事件和表示即可解 () 因为 ，于是，则有，( 或)，即的概率分布为： 0 1 0 1 ()方法一：因为，所以与的相关系数 方法二： X, Y的概率分布分别为 X 0 1 Y 0 1 P P 则，DY=, E(XY)=,故 ，从而 () 的可能取值为：0，1，2 ，即的概率分布为： 0 1 2 真诚祝福同学们考试成功！ 膁芄蒈罿膀莆蚃袅艿蒈蒆螁芈膈蚁蚇袅芀蒄薃袄蒂蚀羂袃膂薂袈袂芄螈螄袁莇薁蚀袁葿莄罿羀腿蕿袅罿芁莂螁羈莃薇蚇羇膃莀蚃羆芅蚆羁羅莈蒈袇羅蒀蚄螃羄膀蒇虿肃节蚂薅肂莄蒅袄肁肄蚁螀肀芆蒃螆肀莈蝿蚂聿蒁薂羀肈膀莄袆肇芃薀螂膆莅莃蚈膅肅薈薄膄膇莁羃膄荿薇衿膃蒂葿螅膂膁蚅蚁膁芄蒈罿膀莆蚃袅艿蒈蒆螁芈膈蚁蚇袅芀蒄薃袄蒂蚀羂袃膂薂袈袂芄螈螄袁莇薁蚀袁葿莄罿羀腿蕿袅罿芁莂螁羈莃薇蚇羇膃莀蚃羆芅蚆羁羅莈蒈袇羅蒀蚄螃羄膀蒇虿肃节蚂薅肂莄蒅袄肁肄蚁螀肀